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Ganze Zahlen

Ganze Zahlen sind Zahlen ohne Dezimalteil, sie enthalten die natürlichen Zahlen, die zu ihnen inversen (negativen) Zahlen und die Null.

Eigenschaften

Fliegende Zahlen

Eine ganze Zahl ist eine Menge, die die Zahlen ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... enthält. Die Menge wird in der Regel mit dem Buchstaben Z bezeichnet, mit einem doppelten Mittelstrich: ℤ, vom deutschen "Zahlen". Eine ganze Zahl ist eine unendliche und abzählbare Menge.

Ganzzahlen haben zum Beispiel die folgenden Eigenschaften:

  1. Sie sind wie die natürlichen Zahlen durch die Operationen Addition und Multiplikation abgeschlossen. Das heißt, wenn wir zwei ganze Zahlen addieren, erhalten wir wieder eine ganze Zahl.
  2. Im Gegensatz zu natürlichen Zahlen sind ganze Zahlen auch für die Operation der Subtraktion geschlossen. Bei den natürlichen Zahlen war das nicht der Fall, denn wenn man die Differenz zweier natürlicher Zahlen bildet, erhält man eine negative Zahl. Das stört uns im Fall der ganzen Zahlen nicht, weil sie die negativen Zahlen enthalten.
  3. Genauso wie natürliche Zahlen nicht für die Operation der Division geschlossen sind. Wir können nach der Division immer noch eine Nicht-Ganzzahl erhalten.
  4. Für jede ganze Zahl c gibt es eine Umkehrung −c. Wenn wir die ganze Zahl 10 haben, ist die Umkehrung −10. Für 55 ist sie −55. Und ebenso mit negativen Zahlen: für −13 ist die Umkehrung 13. Wenn wir die ganze Zahl c und ihre Umkehrung −c haben, dann erhalten wir Null, wenn wir sie addieren: c+(−c) = 0 Das inverse Element zu Null ist also wieder Null.

Gerade und ungerade Zahlen

Wir können ganze Zahlen in gerade und ungerade Zahlen unterteilen. Gerade Zahlen sind Zahlen, die durch zwei teilbar sind, z. B. 2, −4, −8, 40, 124, usw. Ungerade Zahlen haben einen Rest von eins, wenn sie durch zwei geteilt werden, d. h. sie sind −1, 1, 5, 19, −41, usw. Beachten Sie, dass wir sogar bei negativen Zahlen zwischen gerade und ungerade unterscheiden (d. h. die Zahl −5 ist tatsächlich ungerade) und dass die Null eine gerade Zahl ist.

Eigenschaften in Bezug auf die Additionsoperation: Wenn man zwei gerade Zahlen addiert, erhält man wieder eine gerade Zahl. Weitere Eigenschaften sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

$$\begin{eqnarray} \mbox{ Auch }+\mbox{ Auch }&=&\mbox{ Auch }\\ \mbox{ Auch }+\mbox{ Ungerade }&=&\mbox{ Ungerade }\\ \mbox{ Ungerade }+\mbox{ Ungerade }&=&\mbox{ Auch } \end{eqnarray}$$

Ähnliche Tabelle für die Multiplikation:

$$\begin{eqnarray} \mbox{ Auch }\cdot\mbox{ Auch }&=&\mbox{ Auch }\\ \mbox{ Auch }\cdot\mbox{ Ungerade }&=&\mbox{ Auch }\\ \mbox{ Ungerade }\cdot\mbox{ Ungerade }&=&\mbox{ Ungerade } \end{eqnarray}$$

Division mit Rest

Auch auf der Menge der ganzen Zahlen können wir die Division mit Rest definieren, genau wie bei den natürlichen Zahlen, aber wir haben es mit negativen Zahlen zu tun. Die Grunddefinition sieht diesmal wie folgt aus:

$$a=q\cdot b+r,\qquad a,q\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}-\left\{0\right\}, 0\le r<|b|$$

In diesem Ausdruck dividieren wir a:b, die Zahl q steht für das Ergebnis (Quotient) und die Zahl r für den Rest nach der Division. Die Zahl b muss von Null verschieden sein, wir können nicht durch Null dividieren. Der Rest muss positiv und kleiner als der Absolutwert von b sein, was den Fall ausschließt, dass wir durch eine negative Zahl dividieren würden.

Wie würde dann eine solche Division aussehen? Versuchen wir, −21:4 zu dividieren. Dann würden die Zahlen wie folgt aussehen:

$$-21=-6\cdot4+3$$

Das Ergebnis (der Quotient) ist −6 und der Rest ist 3. Es mag Sie überraschen, dass das Ergebnis anders aussieht, als wenn wir nur positive Zahlen hätten:

$$21=5\cdot4+1$$

Hier wäre das Ergebnis (der Quotient) gleich 5 und der Rest gleich 1. Der Unterschied liegt nur in den negativen Zahlen. Bei den positiven Zahlen müssen wir zunächst die größte ganze Zahl finden, die kleiner als 21 und ohne Rest durch vier teilbar ist. Dies ist die Zahl 20. Wir dividieren also 20:4 = 5, um unsere fünf zu erhalten. Dann erhalten wir den Rest, indem wir 21 − 20 dividieren.

Bei negativen Zahlen gehen wir genauso vor. Wir suchen nach der größten Zahl, die kleiner ist als −21 und ohne Rest durch 4 teilbar ist. Aber die Zahl −20 ist nicht kleiner als −21, sie ist größer. Daher ist die größte Zahl, die kleiner ist als −21 und ohne Rest durch 4 teilbar ist, −24. Den Rest erhalten wir wieder durch Dividieren von −21−(−24) = −21 + 24 = 3.

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