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Komplexe Zahlen

Kapitoly: Komplexe Zahlen, Grafische Darstellung der komplexen Zahlen, Die goniometrische Form einer komplexen Zahl

Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Im Bereich der reellen Zahlen können wir die meisten klassischen Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer Division durch Null) durchführen. Bei den reellen Zahlen können wir auch subtrahieren, aber nur von nichtnegativen Zahlen. Dies stellt eine Schwachstelle dar, zum Beispiel wenn wir eine quadratische Gleichung berechnen und eine negative Diskriminante erhalten. Dieser Riss wird durch komplexe Zahlen geschlossen.

Was ist eine komplexe Zahl?

Komplexe Zahlen unterscheiden sich von gewöhnlichen Zahlen vor allem dadurch, dass sie zwei Teile enthalten - einen Realteil und einen Imaginärteil. Eine komplexe Zahl ist ein Paar geordneter Zahlen [x, y], wobei die Zahl x für den Realteil und die Zahl y für den Imaginärteil steht. Wenn der Realteil gleich Null ist, handelt es sich um eine rein imaginäre komplexe Zahl. Die Zahlen x und y sind selbst reell.

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit dem Großbuchstaben cé bezeichnet: $\mathbb{C}$.

Gleichheit der komplexen Zahlen: Im Gegensatz zu den gewöhnlichen Zahlen enthalten die komplexen Zahlen zwei Komponenten. Wenn also zwei komplexe Zahlen gleich sein sollen, müssen sie in beiden Komponenten gleich sein. Diese komplexen Zahlen sind also verschieden voneinander: [2, 3]≠[0, 3]≠[2, 0] Die komplexen Zahlen z1 = [1,2] und z2 = [1,2] sind gleich: z1 = z2.

Algebraische Form und imaginäre Einheit

Komplexe Zahlen werden häufiger in algebraischer Form geschrieben, die wie folgt aussieht. Die komplexe Zahl [x, y] hat die algebraische Form x + yi, wobei i die imaginäre Einheit ist. Für das Quadrat der imaginären Einheit gilt eine sehr wichtige Beziehung:

$$i^2=-1$$

Diese Gleichung wird im Folgenden häufig verwendet, zusammen mit anderen Potenzen. Höhere Potenzen können bereits auf die übliche Weise berechnet werden. Wenn wir zum Beispiel i3 vereinfachen wollen, können wir den Ausdruck nach den Regeln des Rechnens mit Potenzen in i2 · i zerlegen. Wir wissen bereits, dass i2 gleich minus eins ist. Das zweite E brauchen wir nicht mehr zu zerlegen, also erhalten wir : i3 = −i.

$$\Large i^3=\underbrace{i^2}_{-1}\cdot \underbrace{i}_{i}=-i$$

Ähnlich verhält es sich mit i4. Wir können dies in i2 · i2 zerlegen, wobei wir i2 = −1 nehmen, so dass wir erhalten: −1 · − 1 = 1.

$$\Large i^4=\underbrace{i^2}_{-1}\cdot\underbrace{i^2}_{-1}=-1\cdot-1=1$$

Also i4 = 1. Das können wir uns zunutze machen, wenn wir noch höhere Potenzen der imaginären Einheit berechnen wollen. Wenn wir zum Beispiel i7 berechnen, können wir dies in i4 · i3 zerlegen. Wir wissen, dass i4 = 1, also erhalten wir: 1 · i3. Und wir wissen, dass i3 = −i. Das Ergebnis ist: 1 · (−i) = −i.

Addition und Multiplikation

Wir können komplexe Zahlen addieren und multiplizieren. Wenn wir zwei komplexe Zahlen z1 und z2 addieren, addieren wir einfach die Real- und Imaginärteile getrennt:

$$z_1+z_2=(x_1+y_1i) + (x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Beispiel: z1 = 3 + 7i und z2 = 5 + 8i. Die Summe würde so aussehen: z1 + z2 = (3 + 5)+(7 + 8)i = 8 + 15i.

DasProdukt zweier komplexer Zahlen ist etwas komplizierter, lässt sich aber in die klassische Klammermultiplikation zerlegen. Die Grundformel sieht so aus:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$$

Und wie kommen wir zu diesem Ergebnis? Versuchen wir, z1 · z2 auf die gleiche Weise zu multiplizieren, wie wir eine normale Klammer multiplizieren würden. Wir erhalten:

$$z_1\cdot z_2=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2$$

Weil i2 = −1, erhalten wir nach Anpassung des letzten Terms:

$$z_1\cdot z_2=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2$$

Jetzt setzen wir einfach die Terme ohne und mit der imaginären Einheit zusammen:

$$z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$$

Beispiel. Versuchen wir es mit der Multiplikation der Zahlen 5 + 6i und 4 + 7i. Wir erhalten:

$$(5+6i)\cdot(4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Inverse, invertierte und komplex-assoziierte Zahlen

  • Der Kehrwert der komplexen Zahl x + yi hat die Form −x − yi. Ähnlich wie bei den reellen Zahlen erhalten wir den Kehrwert, indem wir die gegebene komplexe Zahl mit minus eins multiplizieren. Beispiel: Der Kehrwert von 2 + 7i ist −2 − 7i. Der Kehrwert von −5 + 8i ist 5 − 8i, usw.

  • DerKehrwert der komplexen Zahl x + yi ist $\frac{1}{x+yi}$. Der Kehrwert von 4 − 2i ist $\frac{1}{4-2i}$.

  • Diekomplexe Zahl, die der Zahl x + yi zugeordnet ist, hat die Form x − yi. Sie wird gewöhnlich durch einen Balken wie folgt bezeichnet: $\overline{z}$, oder durch ein Sternchen z*. Eine solche Zahl ist die komplexe Zahl, die der komplexen Zahl z zugeordnet ist. Die komplexe Zahl, die der Zahl 2 + 9i zugeordnet ist, ist die Zahl 2 − 9i.

Subtraktion und Division

Nachdem wir den Kehrwert und die Umkehrung einer Zahl definiert haben, können wir auch die Operationen der Subtraktion und der Division definieren. Wenn wir zwei komplexe Zahlen, z1 − z2, subtrahieren wollen, addieren wir den Kehrwert von z2 zur Zahl z1. In der Praxis erhalten wir eine einfache Formel:

$$z_1-z_2=(x_1+y_1i) - (x_2+y_2i) = (x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

In ähnlicher Weise wandeln wir die Division z1 / z2 in eine Multiplikation um, indem wir $z_1\cdot z_2^\prime$ multiplizieren, wobei $z_2^\prime$ der Kehrwert von z2 ist.

Der absolute Wert

Wir berechnen den absoluten Wert der komplexen Zahl z mit Hilfe der folgenden Formel:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\cdot \overline{z}}$$

(Bei der Quadratwurzel ist das Quadrat z die komplexe Zahl, die zu z gehört.) Die Bedeutung dieser Formel ist in der geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen gut zu erkennen.

Jede komplexe Zahl, deren Absolutwert gleich eins ist, wird als komplexe Einheit bezeichnet. Beispiele für komplexe Einheiten: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Eigenschaften des absoluten Werts:

  • Der absolute Wert einer komplexen Zahl ist eine reelle Zahl.
  • |z|≥0
  • |z| = |−z| = |z*|wobei z* eine komplexe Zahl ist.

Video

Wenn Sie lieber zusehen als lesen möchten, sehen Sie sich das folgende Video über komplexe Zahlen von Mirek Olšák an.

http://www.youtube.com/watch?v=Ip69mJyF-8s

Weitere Ressourcen