Die goniometrische Form einer komplexen Zahl
Kapitoly: Komplexe Zahlen, Grafische Darstellung der komplexen Zahlen, Die goniometrische Form einer komplexen Zahl
Es ist nicht immer sinnvoll, eine komplexe Zahl in algebraischer Form zu haben, deshalb wird noch die goniometrische Form einer komplexen Zahl eingeführt.
Wie kann man einen Punkt in der Ebene ausdrücken?
Wir wissen, dass die komplexe Zahl z = x + yi in geometrischer Hinsicht einen Punkt in der Gaußschen Ebene darstellt. Dieser Punkt hat die Koordinaten [x, y]. Wie lässt sich der Punkt z außer durch die Angabe der Koordinaten [x, y] noch definieren?
Wir können den Winkel berechnen, den die Linie zwischen dem Punkt z und dem Ursprung mit der Achse x (oder ihrer positiven Halbachse) bildet. Dadurch erfahren wir, in welcher Richtung der Punkt z vom Ursprung entfernt liegt. Um herauszufinden, wo genau er liegt, müssen wir noch den Abstand vom Ursprung kennen. Mit diesen beiden Informationen sind wir nun in der Lage, den Punkt z in der Gaußschen Ebene genau zu definieren.
Goniometrische Form
Die folgende Abbildung fasst zusammen, was wir wissen müssen, um eine komplexe Zahl in goniometrischer Form auszudrücken:
Wie man sieht, muss man die Länge der Linie zwischen dem Punkt z und dem Ursprung kennen, die gleich dem absoluten Wert der Zahl z ist - wir können dies bereits berechnen. Wir müssen auch den Winkel $\varphi$ kennen. Die goniometrische Form der komplexen Zahl sieht dann wie folgt aus:
$$z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$
Wie finden wir den Winkel $\varphi$? Wir verwenden dazu die goniometrische Funktion. Hier haben wir ein rechtwinkliges Dreieck und kennen die Länge der Hypotenuse, also den Absolutwert der Zahl z. In der goniometrischen Form haben wir sowohl Sinus als auch Kosinus, also müssen wir den Winkel $\varphi$ mit beiden Funktionen ausdrücken. Aus den Eigenschaften der goniometrischen Funktionen ergibt sich jedoch, dass:
$$\begin{eqnarray} \sin\varphi&=&\frac{y}{|z|}\\ \cos\varphi&=&\frac{x}{|z|} \end{eqnarray}$$
Aus diesen Formeln können wir den Winkel selbst ableiten $\varphi$. Die Ableitung des Winkels ist notwendig, weil wir die goniometrische Form mit Sinus und Kosinus schreiben.
Beispiel
Umrechnung einer komplexen Zahl in algebraischer Form in die goniometrische Form: $z=\sqrt{3}+i$ Als erstes berechnen wir den Absolutwert der Zahl z, der gleich ist:
$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$
Also jetzt:
$$\begin{eqnarray} \sin\varphi&=&\frac{1}{2}\\ \cos\varphi&=&\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$$
An diesem Punkt können wir entweder einen Taschenrechner verwenden, um den Arcussinus und den Arcuskosinus zu berechnen, oder wir können eine Tabelle mit grundlegenden goniometrischen Formeln verwenden. Beide Werte, die wir gefunden haben, sind tabellarisch, so dass wir den Taschenrechner hier nicht benutzen werden.
Wenn $\sin\varphi=\frac12$, dann ist der Winkel $\varphi$ entweder gleich π/6 oder 5π/6. Wenn $\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$, dann ist der Winkel $\varphi$ entweder gleich π/6 oder 11π/6. Der Schnittpunkt dieser Möglichkeiten ist der Winkel π/6, mit diesem Winkel erhalten wir die Werte, die wir in der vorherigen Gleichung notiert haben.
Multiplikation und Division
Natürlich können wir komplexe Zahlen in goniometrischer Form multiplizieren oder dividieren. Mit Hilfe der goniometrischen Summenformeln können wir Formeln für das Produkt und den Quotienten zweier komplexer Zahlen ableiten. Betrachten wir zwei komplexe Zahlen z1 und z2:
$$\begin{eqnarray} z_1&=&|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\\ z_2&=&|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2) \end{eqnarray}$$
Die Formeln selbst sehen wie folgt aus:
$$\begin{eqnarray} z_1\cdot z_2&=&|z_1|\cdot|z_2|\left[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right]\\ \frac{z_1}{z_2}&=&\frac{|z_1|}{|z_2|}\left[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right] \end{eqnarray}$$