Grafische Darstellung der komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen können auch im klassischen kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden. Die Ebene, in der wir komplexe Zahlen darstellen, wird als Ebene der komplexen Zahlen oder auch als Gaußsche Ebene bezeichnet.

Darstellung in der Gaußschen Ebene

Jede komplexe Zahl z = x + yi wird in der Ebene durch einen Punkt mit den Koordinaten [x, y] dargestellt. Die Achse x wird in der Gaußschen Ebene als Achse der reellen Zahlen und die Achse y als Achse der imaginären Zahlen bezeichnet. Wir haben also zwei komplexe Zahlen, z₁ = 2 + 5i und z₂ = 4 − 3i. In der Gaußschen Ebene würden wir sie wie folgt darstellen:

Kehrwert und komplexe Zahl

Wir können die reziproken und komplex assoziierten Zahlen leicht in der Gaußschen Ebene darstellen. Betrachten wir die komplexe Zahl z = 3 + 5i. Der Kehrwert von z, der die Form −3 − 5i hat, ist symmetrisch zum Ursprung der Gaußschen Ebene:

Bei einer komplex assoziierten Zahl ändert sich das Vorzeichen des Imaginärteils, so dass die komplex assoziierte Zahl entlang der reellen Achse (der Achse von x) achsensymmetrisch zur ursprünglichen Zahl ist. Siehe Abbildung ($z^\prime$ bezeichnet eine komplex assoziierte Zahl):

Absoluter Wert

Im Bereich der reellen Zahlen stellt der Absolutwert die positive Version einer bestimmten Zahl dar. Bei den komplexen Zahlen wird der Absolutwert auf etwas kompliziertere Weise berechnet. Denn der Absolutwert einer komplexen Zahl gibt den Abstand eines Punktes in der Gaußschen Ebene vom Ursprung an.

Wir können den Abstand vom Ursprung mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen, der besagt, dass |z|² = x² + y², wobei x und y die Real- und Imaginärteile der komplexen Zahl sind. Wir können dann einfach den Absolutwert von z = x + yi durch Quadratwurzel ziehen:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$