Umrechnungen von Systemen
Wie man Zahlen aus dem Dezimalsystem in andere Systeme umwandelt und umgekehrt.
Was ist das Zahlensystem
Wir arbeiten in der Regel mit dem Dezimalsystem. Dieses System hat zehn Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Das Dezimalsystem zeichnet sich dadurch aus, dass wir bei der Multiplikation einer Zahl, z. B. 57, mit zehn, eine Größenordnung nach oben gehen - wir brauchen eine weitere Ziffer, um diese Zahl zu beschreiben: 570.
Es gibt auch andere Zahlensysteme; ein solches oktales System würde nur die Ziffern 0, …, 7 enthalten. Der Ausdruck 7 + 1 wäre dann gleich 10, denn im oktalen System fehlt die Ziffer 8. Das hexadezimale System hätte die Ziffern 0, 1, … 14, 15. Manchmal werden Buchstaben anstelle von Ziffern verwendet, die größer als 9 sind, so dass ein hexadezimales System die Ziffern 0, …9, A, B, C, D, E, F hätte.
Überraschenderweise begegnen wir im täglichen Leben auch anderen Zahlensystemen. Zum Beispiel zählen wir die Zeit - Sekunden und Minuten - im Hexadezimalsystem. Jeder Moment des Tages kann als dreistellige Zahl im Hexadezimalsystem geschrieben werden. Die erste Ziffer steht für die Stunden, die zweite für die Minuten, die dritte für die Sekunden. Wenn wir die Ziffern durch einen Doppelpunkt trennen, erhalten wir beispielsweise die Zahl 14:05:59. Wenn wir zu dieser Zeit eine Sekunde hinzufügen, erhalten wir nicht die Zeit 14:05:60, sondern die Zeit 14:06:00 - weil die Ziffer 60 keine gültige Ziffer des Hexadezimalsystems ist.
Umwandlung von Dezimal in Binär
Nehmen wir an, wir haben die Zahl 70 auf dem Papier. Wir wollen diese Zahl nun in das Binärsystem umwandeln. Das Prinzip ist ganz einfach: Wir teilen die Zahl, die wir umwandeln wollen, immer wieder durch zwei, bis wir bei Null ankommen, und schreiben die Reste nach der ganzzahligen Division auf. Wenn wir eine Zahl in ein anderes System umwandeln wollen, zum Beispiel hexadezimal, dividieren wir durch hexadezimal. Ist die Zahl hexadezimal, dividieren wir durch sechs. In der Praxis sieht es also so aus:
$$\begin{eqnarray} 70 : 2 &= 35 & \longrightarrow 0 \quad(\mbox{ Rest nach der Division })\\ 35 : 2 &= 17 & \longrightarrow 1\\ 17 : 2 &= 8 & \longrightarrow 1\\ 8 : 2 &= 4 & \longrightarrow 0\\ 4 : 2 &= 2 & \longrightarrow 0\\ 2 : 2 &= 1 & \longrightarrow 0\\ 1 : 2 &= 0 & \longrightarrow 1 \end{eqnarray}$$
Die resultierende Zahl im Binärsystem ist der Rest nach der Division. Aber wir nehmen die Reste nicht von oben, sondern von unten. Die Zahl 70 im Binärsystem ist also 1000110.
Umrechnung von binär nach dezimal
In umgekehrter Richtung würden wir wie folgt umrechnen. Wir nehmen die Zahl 1100010 und wandeln sie in Dezimalzahlen um. Diese Richtung ist einfacher, rechnen Sie einfach diese Summe aus:
$$ 1100010_{10} = 1\cdot2^{6}+1\cdot2^{5}+0\cdot2^{4}+0\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+0\cdot2^{0} $$
Jeder Summand hat die Form x · 2i, wobei x eine Ziffer der ursprünglichen Binärzahl ist und i jedes Mal von rechts um eins erhöht wird. Da wir also die Zahl 1100010 umwandeln, sieht die Summe wie folgt aus:
$$ 1100010_{10} = \fbox{1}\cdot2^{6}+\fbox{1}\cdot2^{5}+\fbox{0}\cdot2^{4}+\fbox{0}\cdot2^{3}+\fbox{0}\cdot2^{2}+\fbox{1}\cdot2^{1}+\fbox{0}\cdot2^{0} $$
Die Zahl 1100010 hat sieben Ziffern, so dass die Zweierpotenzen nacheinander 6, 5, …, 1, 0 lauten. Nach dem Multiplizieren und Potenzieren erhalten wir den Ausdruck:
$$ 1100010_{10} = 64 + 32 + 2 = 98. $$
Warum funktioniert das?
Wir können dies anhand des Dezimalsystems demonstrieren. Was bedeuten die Ziffern in einer Zahl wie 7384 eigentlich? Die Ziffer 4 steht für die Anzahl der Einsen, die Ziffer 8 für die Anzahl der Zehner, die Ziffer 3 für die Anzahl der Hunderter und die Ziffer 7 für die Anzahl der Tausender. Wir können also schreiben, dass
$$ 7384 = 7\cdot 1000 + 3\cdot100 + 8\cdot 10 + 4\cdot 1 $$
Wir können diesen Ausdruck weiter modifizieren, so dass wir nicht die Zahlen 100, 10 und 1 verwenden, sondern immer irgendeine Zehnerpotenz darin vorkommt. Da 100 = 1 und 101 = 10 usw. gültig sind, können wir schreiben
$$ 7384 = 7\cdot 10^3 + 3\cdot10^2 + 8\cdot 10^1 + 4\cdot 10^0 $$
Wir können jede Zahl im Dezimalsystem auf die gleiche Weise beschreiben, wobei die einzelnen Summanden die Form x · 10i haben, wobei x die Ziffer von 0 bis 9 ist, wobei diese Ziffern zehn sind. Der Wert von i ist dann eine positive ganze Zahl, die die Reihenfolge angibt. Wenn i = 0, dann gibt der Addierer Einheiten, wenn i = 2, dann gibt er Hunderter (weil 102 = 100).
Versuchen wir nun, die Zahl 7348 vom Dezimalsystem ins, äh..., Dezimalsystem umzurechnen. Es wird Sinn machen. Wir dividieren die Zahl 7348 durch 10:
$$\begin{eqnarray} 7348 : 10 &= 734 & \longrightarrow 8 \quad(\mbox{ Rest nach der Division })\\ 734 : 10 &= 73 & \longrightarrow 4\\ 73 : 10 &= 7 & \longrightarrow 3\\ 7 : 10 &= 0 & \longrightarrow 7\\ \end{eqnarray}$$
Wenn wir den Rest von unten ablesen, haben wir die Zahl 7348 - zurück zu der ursprünglichen Zahl, die wir versucht haben, in ... das gleiche System umzurechnen.
Wenn wir das Binärsystem beschreiben wollen, gehen wir genau so vor - alle Summanden haben die Form x · 2i, wobei x die Ziffer 0 oder 1 ist. Der Wert i gibt wiederum die Reihenfolge an. So wie die aufeinanderfolgende Division durch zehn die Anzahl der Ordnungen einer Zahl im Dezimalsystem ergibt, ergibt die aufeinanderfolgende Division durch zwei die Anzahl der Ordnungen im Binärsystem.
Beachten Sie auch, dass bei der Division einer Zahl durch zehn und der Frage nach dem Rest der Rest immer im Intervall <0, 9> liegt. Bei der Division einer Zahl durch zwei kann der Rest entweder 0 oder 1 sein.
Konvertierung in andere Systeme
Das oben beschriebene Verfahren zur Umwandlung von Dezimal- in Binärzahlen ist so universell, dass es auch auf andere Systeme angewendet werden kann. Wenn wir die Zahl 185 in das Hexadezimalsystem umwandeln wollen, dividieren wir einfach durch 16:
$$\begin{eqnarray} 185 : 16 &= 11 &\longrightarrow 9\quad(\mbox{ Rest nach der Division })\\ 11 : 16 &= 0 &\longrightarrow 11 \end{eqnarray}$$
Die Zahl 185 im 16er-System hätte dann die Form (11, 9). Normalerweise werden Buchstaben anstelle von "Ziffern" über 9 verwendet, also 10 = A, 11 = B, 12 = C, …. Wir können schreiben, dass die Zahl 185 im 16er-System die Form B9 hat.
Auf ähnliche Weise können wir die Zahl B9 vom 16er-System in das Dezimalsystem umrechnen.
$$ B9_{10} = 11\cdot 16^1 + 9\cdot 16^0 = 11\cdot16+9=185 $$