Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden können, d. h. in Form eines Bruchs.

Definition

Rationale Zahlen sind also alle Zahlen, die sich in der Form

$$\frac{a}{b}\qquad a,b\in\mathbb{Z}, b\ne0.$$

Die Bedingung, dass beide Zahlen ganze Zahlen sind, hat eine offensichtliche Bedeutung, denn wenn man eine Zahl wählt, die nicht rational ist, zum Beispiel π, dann würde man, wenn man einen Bruch wie diesen konstruiert:

$$\frac{\pi}{1},$$

würde man die Zahl π zurückerhalten, die nicht rational ist. Daher müssen sowohl der Nenner als auch der Zähler ganze Zahlen sein. Und da wir nicht durch Null dividieren dürfen, muss der Nenner von Null verschieden sein.

Wir können auch sagen, dass rationale Zahlen Zahlen mit endlicher dezimaler Erweiterung sind, außer wenn sich ein Teil periodisch wiederholt. Beispiele für rationale Zahlen, zunächst in Bruchform:

$$\frac13,\qquad -\frac59,\qquad \frac{13}{29},\qquad \frac{4}{1}, \ldots$$

und dann Zahlen in Dezimalform: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333...=$0,\overline{3}$

Periodische Schreibweise

Im vorherigen Beispiel hatten wir die Zahl 0,3333... Dies ist die dezimale Darstellung des Bruchs 1/3 und es ist eine Zahl mit unendlicher dezimaler Entwicklung. Dennoch ist sie rational, weil die Entwicklung periodisch ist. Periodische Entwicklung bedeutet, dass sich ab einem bestimmten Teil der Zahl immer wieder die gleiche Zahlenfolge wiederholt. In unserem Fall hat sich die Zahl Drei ad infinitum wiederholt. Aber sie kann sich unendlich wiederholen, zum Beispiel eine Zahlenfolge 12345, sie ist dann immer noch eine Zahl mit einer Periode, eine rationale Zahl.

Jede Zahl mit einer endlichen Dezimalentwicklung ist also eine rationale Zahl. Jede Zahl mit unendlicher Dezimalentwicklung, bei der sich ein Teil periodisch wiederholt, ist ebenfalls eine rationale Zahl. Eine Zahl mit unendlicher dezimaler Erweiterung, bei der sich kein Teil periodisch wiederholt, ist eine irrationale Zahl.

Die Periode wird entweder durch drei Punkte oder, was häufiger der Fall ist, durch eine Linie über den sich periodisch wiederholenden Zahlen angezeigt. Eine Zahl kann sich periodisch wiederholen, aber auch mehr als eine Zahl kann sich periodisch wiederholen. Die Periode kann am Anfang des Dezimalteils oder zu einem beliebigen späteren Zeitpunkt beginnen. Dies sind alles periodische Zahlen:

$$\begin{array}{rclcl} 7/3&=&2{,}33333\ldots&=&2,\overline{3}\\ 16/11&=&1{,}454545\ldots&=&1,\overline{45}\\ 11/6&=&1{,}833333\ldots&=&1{,}8\overline{3} \end{array}$$

Kennzeichnung und Bedeutung

Rationale Zahlen werden mit dem Buchstaben Q mit Doppelbögen gekennzeichnet: ℚ Er stammt aus dem Englischen "quotient", tschechisch "Quotient", und bezeichnet das Ergebnis nach der Division.

Rationale Zahlen werden verwendet, um einen Teil eines Ganzen zu bezeichnen. Typischerweise zum Beispiel "die Hälfte" oder "ein Zehntel". Dies sind Bezeichnungen für das Ganze, die in rationalen Zahlen als Bruch ausgedrückt werden können 1/2 und 1/10. In diesen Fällen bezeichnet der Nenner das Ganze und der Zähler einen Teil des Ganzen. Wenn der Zähler gleich dem Nenner ist, bedeutet dies, dass wir das Ganze haben. Diese Zahlen werden dann in der Regel in Prozentsätze umgerechnet.

Eigenschaften

Rationale Zahlen sind eine unendliche , abzählbare Menge.

Rationale Zahlen sind durch die Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division abgeschlossen. Das heißt, wenn wir zwei rationale Zahlen dividieren, erhalten wir wieder eine rationale Zahl. Dies ist ein Unterschied zu den ganzen Zahlen, die bei der Divisionsoperation nicht geschlossen waren.
Rationale Zahlen enthalten alle ganzen Zahlen. Wenn alle rationalen Zahlen durch den Bruch a/b ausgedrückt werden können, dann genügt b = 1 und nach der Division von a/1 = a erhalten wir immer den Wert des Zählers zurück.
Wenn wir zwei rationale Zahlen a und b nehmen, für die a < b gilt, können wir immer eine andere rationale Zahl q finden, für die sie gilt: a < q < b Mit anderen Worten, zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen kann man immer eine andere rationale Zahl finden. Eine stärkere Version ist ebenfalls wahr: zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen gibt es unendlich viele andere rationale Zahlen.
Eine Konsequenz des vorherigen Satzes ist also, dass es keine kleinste positive (oder größte negative) rationale Zahl gibt. Wir können dies durch einen Widerspruchsbeweis erreichen. Sei m die kleinste positive rationale Zahl. Dann kann es sein, dass wir keine kleinere positive rationale Zahl finden können. Nach dem vorhergehenden Satz gilt jedoch 0 < m und auch 0 < s < m. Wir haben eine Zahl s gefunden, die größer als Null (positiv) und kleiner als m ist. Das ist ein Widerspruch zu der Tatsache, dass m die kleinste positive rationale Zahl ist.

Operationen mit rationalen Zahlen

Alle gängigen und grundlegenden Operationen sind im Artikel Brüche beschrieben.

Umwandlung einer periodischen Zahl in einen Bruch

Da eine periodische Zahl auch eine rationale Zahl ist, muss sie in einen Bruch umgewandelt werden. Wir zeigen, wie dies geschieht. Betrachten wir zunächst eine periodische Zahl a = 0,333... Schreiben

$$a=0,\overline{3}$$

Nun führen wir die klassische Äquivalenzumstellung durch und multiplizieren die gesamte Gleichung mit zehn:

$$10a=3,\overline{3}$$

Auf der rechten Seite sind die 3en zu Einsen gewandert, so dass nach dem Komma noch unendlich viele 3en übrig sind. Wir subtrahieren nun a von der Gleichung, subtrahieren also 0,333... und sind damit die unendliche Erweiterung los.

$$9a=3$$

Dieser Schritt mag etwas kompliziert gewesen sein, deshalb werde ich ihn aufschlüsseln. Wir haben diese Operation durchgeführt:

$$\begin{array}{ccccccc} &3&,&3&3&3&\ldots\\ -&0&,&3&3&3&\ldots\\ =&3&,&0&0&0&\ldots \end{array}$$

Wir teilen einfach die obere Gleichung 9a = 3 durch neun, um das Ergebnis zu erhalten:

$$a=\frac{3}{9}=\frac13$$

Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel versuchen:

$$a=1{,}454545\ldots=1,\overline{45}$$

Die Vorgehensweise wird etwas anders sein. Im letzten Beispiel hatten wir eine Periode der Länge eins. Um genau zu sein, konnte die Periode so lang sein, wie wir wollten, weil sich dieselben Zahlen ständig wiederholten, aber es war praktisch, dass sie nur eine Länge hatte. Im Moment haben wir eine Periode der Länge zwei. Wir könnten auch eine Periode der Länge sechs nehmen, aber das passt uns nicht. Um wirklich die ganze Periode zu subtrahieren, müssen wir dieses Mal mit 100 multiplizieren:

$$100a=145,\overline{45}$$

Subtrahiere eine a:

$$99a=144$$

Und dividieren Sie durch 99:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Wenn du versuchst, diese Zahlen mit einem Taschenrechner zu dividieren, erhältst du einfach 1,454545... Die meisten Taschenrechner runden jedoch ab, so dass du ein etwas anderes Ergebnis erhalten kannst.

Interessante Sache mit 0,9999...

Versuchen wir doch einmal, eine periodische Zahl in einen Bruch umzuwandeln

$$a=0,\overline{9}$$

Multiplizieren Sie mit zehn:

$$10a=9,\overline{9}$$

Subtrahiere a:

$$9a=9$$

Dividieren durch neun:

$$a=1$$

Wir sehen, dass wir eins erhalten, also ist die Zahl 0,999... gleich 1.