✖

Wie kann man die Wirksamkeit von Impfungen berechnen?

Wie ist es möglich, dass mehr geimpfte Menschen an einer bestimmten Krankheit sterben können als ungeimpfte Menschen? Das klingt paradox, es klingt sogar ein bisschen so, als ob die Impfung nicht funktioniert - sie schadet sogar -, aber wir wollen zeigen, dass das nicht wahr sein kann.

Stellen wir uns vor, wir haben eine Stadt mit 100 000 Einwohnern, in der die böse und heimtückische Krankheit Provid wütet. Wissenschaftlern und Forschern ist es jedoch gelungen, einen Impfstoff zu entwickeln, der vor dieser Krankheit schützt, und sie haben einen Teil der Einwohner mit diesem Impfstoff geimpft. Doch wenn wir uns die Daten ansehen, sind tausend geimpfte und tausend ungeimpfte Menschen an Provid gestorben. Die Bevölkerung ist verwirrt und hat das Gefühl, dass die Impfung nicht funktioniert, wenn so viele geimpfte Menschen sterben wie ungeimpfte. Wirkt der Impfstoff also oder wirkt er nicht?

Schwer zu sagen 🤷 nur auf der Grundlage der Daten, die wir bisher haben. Denn es reicht nicht aus, dass wir wissen, wie viele geimpfte und ungeimpfte Menschen an Provid gestorben sind. Wir müssen auch wissen, wie viele Menschen tatsächlich geimpft wurden. Denn ich könnte Sie fragen: Was ist gefährlicher? Auto zu fahren oder den Mount Everest zu besteigen? Die Zahl der Todesopfer ist eindeutig: Hunderte von Menschen sind beim Versuch, den Everest zu besteigen, gestorben. Mehr als eine Million Menschen werden in einem Auto getötet. Jedes Jahr. Es ist also eindeutig sicherer, den Everest zu besteigen, als in einem fahrenden Sarg zu klettern.

Jedem muss jetzt ein Licht aufgehen - es ist nicht sicherer, den Everest zu besteigen, als Auto zu fahren. Die Zahlen führen uns in die Irre, denn wir haben nicht berücksichtigt, dass zwar Tausende von Bergsteigern den Everest bestiegen haben, aber Milliarden von Menschen in Autos fahren. In ähnlicher Weise müssen wir berücksichtigen, wie viele Menschen in unserer imaginären Stadt geimpft sind. Versuchen wir, dies anhand einiger Beispiele zu verdeutlichen:

  • Was wäre, wenn wir nur 1.000 Menschen in der Stadt geimpft haben und 99.000 Menschen nicht geimpft sind? Das würde bedeuten, dass jeder, der geimpft wurde, gestorben ist. Während von den 99.000 Ungeimpften nur 1.000 starben. Der Impfstoff würde also nicht nur nicht helfen, sondern schaden!
  • Was wäre, wenn es umgekehrt wäre und es 99.000 Geimpfte in der Stadt gäbe und nur 1.000 Ungeimpfte? Dann würde jeder Ungeimpfte sterben, während nur 1.000 der 99 Ungeimpften sterben würden. Der Impfstoff ist zwar nicht 100 %ig, aber er erhöht die Überlebenschancen um eine Größenordnung.
  • Was wäre, wenn die Hälfte der Stadt geimpft wäre und die andere Hälfte nicht? Dann würde das bedeuten, dass von den 50.000 Geimpften eintausend starben und von den 50.000 Ungeimpften eintausend starben. In beiden Gruppen starben zwei Prozent der Bevölkerung - was bedeutet, dass der Impfstoff keine Wirkung hatte, weder positiv noch negativ.

Was ist die Wirksamkeit von Impfstoffen?

Wie berechnet man also die Wirksamkeit von Impfstoffen? Die Wirksamkeit eines Impfstoffs ist der Anteil der Menschen, die durch den Impfstoff vor dem Tod bewahrt werden. Nehmen wir als Beispiel an, dass tausend ungeimpfte Menschen an einer Krankheit starben. In einer alternativen Realität, in der wir dieselben tausend Menschen geimpft hätten, wären nur 300 gestorben und 700 hätten überlebt. In diesem Fall hätte der Impfstoff 700 von 1000 Menschen gerettet, die Wirksamkeit des Impfstoffs läge bei 70 %. Würde niemand sterben, wäre die Wirksamkeit 100%, würden alle sterben, wäre die Wirksamkeit 0%.

Okay, aber wir haben nicht zwei Paralleluniversen, in denen wir einmal jemanden impfen und in dem anderen Universum dieselbe Person nicht impfen würden. Also müssen wir die Wirksamkeit anders berechnen. Kehren wir zu unserer Stadt mit 100.000 Einwohnern zurück. Fügen wir die fehlenden Informationen hinzu - sagen wir, wir haben 90.000 Menschen geimpft. Das sind Daten, die wir in der realen Welt sammeln können. Wie hoch ist die Wirksamkeit des Impfstoffs? Berechnen wir zunächst den Anteil der Todesfälle in jeder Gruppe, d. h. wie viel Prozent der Geimpften und Ungeimpften starben:

  • Einer von 10.000 Ungeimpften starb, das sind 10 %. Markieren wir dies als NL = 10 % (nicht geimpfte Personen).
  • Von 90.000 geimpften Menschen starben eintausend, das sind etwa 1,11 %. Markieren wir dies als OL = 1,11 % (geimpfte Menschen).

Wir sehen, dass 1,11 % der Geimpften starben, während 10 % der Ungeimpften starben. Wir berechnen die resultierende Wirksamkeit von U mit der Formel

$$U=\frac{NL-OL}{NL}\cdot100\%$$

Nach der Impfung erhalten wir

$$U=\frac{10-1{,}11}{10}\cdot100\%=\frac{8{,}89}{10}\cdot100\%=0{,}889\cdot100\%=88{,}9\%.$$

Die Wirksamkeit unseres Impfstoffs beträgt 88,9 %. Der Impfstoff hat also 88,9 % der Menschen gerettet, die sonst gestorben wären. Wir können auch nachrechnen: In der ungeimpften Gruppe starben 10 % der Menschen. Hätten wir die 90 000 Menschen nicht auch geimpft, wären dieselben 10 % gestorben, also 9000 Menschen. Da der Impfstoff zu 88,9 % wirksam ist, haben 88,9 % dieser 9000 Menschen dank des Impfstoffs überlebt. 88,9 % von 9000 sind also nur 8000, und damit bleiben 11,1 % der Menschen übrig, die unglücklicherweise trotzdem gestorben sind - das sind die Tausend, die durch den Einsatz gestorben sind.

Wir sehen also, dass dieser Impfstoff unsere Überlebenschancen deutlich erhöht, aber wir können nicht sagen, dass wir nach der Impfung zu 100 % sicher sind, dass wir nicht an der Krankheit sterben werden.

Je mehr geimpft werden, desto mehr Tote werden geimpft.

Das führt zu einem interessanten Paradoxon. Stellen wir uns vor, dass wir mit unserem zu 88,9 % wirksamen Impfstoff weitere 5000 Menschen in der Stadt impfen, d. h. wir kommen auf 95 000 Geimpfte und nur 1 000 Ungeimpfte. Dann gilt Folgendes

  • Von den 5.000 Ungeimpften werden 10 % sterben, also 500.
  • Von den 95.000 Geimpften werden 1,11% sterben, also etwa 1.055.

‼️‼️‼️ SHOCK ‼️‼️‼️ Die Geimpften sterben weit mehr als die Ungeimpften. Das liegt aber nur daran, dass es um Größenordnungen mehr Geimpfte als Ungeimpfte gibt. Man könnte auch sagen, dass es zwar 95 Mal mehr geimpfte als ungeimpfte Menschen in der Stadt gibt, aber nur doppelt so viele geimpfte Todesfälle wie ungeimpfte Todesfälle.

Und, was am wichtigsten ist, die Gesamtzahl der Todesfälle ist zurückgegangen. Während wir jetzt 500 + 1055 = 1555 Todesfälle haben, waren es im vorherigen Beispiel 1000 + 1000 = 2000 Todesfälle.

Unterschiedliche Wirksamkeiten von Impfstoffen

Schauen wir uns einige interessante Wirksamkeitswerte an:

  • Wir würden eine Wirksamkeit von 100 % erhalten, wenn OL gleich Null wäre (keiner der Geimpften stirbt) und NL gleich 100 % wäre (alle Toten sind ungeimpft). Die Wirksamkeit des Impfstoffs kann nicht größer als 100 % sein.
  • Bei NL = OL (wenn der Prozentsatz der geimpften Personen, die sterben, gleich dem Prozentsatz der nicht geimpften Personen ist) würde die Wirksamkeit 0% betragen. Dies würde bedeuten, dass der Impfstoff keine Wirkung hat.
  • Eine negative Wirksamkeit würde sich ergeben, wenn OL größer ist als NL, d. h. wenn mehr Geimpfte als Ungeimpfte sterben. In diesem Fall wäre der Impfstoff schädlich.

Man kann sich einen Impfstoff mit einer Wirksamkeit von etwa 83 % vorstellen, indem man sagt, dass, wenn man krank wird und das Pech hat, die Krankheit zu bekommen, der Impfstoff trotzdem einen zusätzlichen Schutz bietet - man könnte würfeln und wenn man eine 1 bis 5 würfelt, würde der Impfstoff einen retten, wenn man eine 6 würfelt, würde die Krankheit einen trotzdem töten.

Achten Sie auf unterschiedliche Gruppen von Menschen

Beachten Sie, dass es bei der Berechnung der Wirksamkeit einer Impfung keine gute Idee ist, einfach blindlings der oben genannten Formel zu folgen. Um sie anzuwenden, ist es gut zu wissen, wie sich die Krankheit verhält und wie unsere Impfstrategie aussieht. Krankheiten sind unterschiedlich, sie befallen unterschiedliche Gruppen von Menschen, und ebenso werden unterschiedliche Gruppen von Menschen unterschiedliche Impfraten haben. Wenn eine Krankheit nur Frauen befällt, kann es uns egal sein, wie hoch die Durchimpfungsrate bei Männern ist. Wenn eine Krankheit die älteren Altersgruppen befällt, kann es uns egal sein, wie hoch die Durchimpfungsrate der jüngeren Altersgruppen ist, und es wird besser sein, die Wirksamkeit mit dem Wissen über die Durchimpfungsrate der älteren Altersgruppen zu berechnen.

In ähnlicher Weise können wir verschiedene Arten des Impfschutzes messen. Im gesamten Papier haben wir nur über den Tod geschrieben, aber bei Impfstoffen können wir auch die Wirksamkeit messen, wie der Impfstoff die Wahrscheinlichkeit verringert (oder erhöht...), krank zu werden, die Krankheit weiter zu übertragen oder vielleicht einen Krankenhausaufenthalt zu benötigen.