Gibt es mehr gerade oder ungerade Zahlen?

Was denkst du, welche Zahlen sind mehr? Gerade Zahlen oder ungerade Zahlen? Oder sind es dieselben Zahlen? Wie können wir das beurteilen? Was ist mit den anderen Zahlen? Gibt es mehr gerade Zahlen oder natürliche Zahlen? Natürliche Zahlen oder rationale Zahlen? Ganz so einfach ist es nicht, denn alle genannten Zahlen sind unendlich viele. Dennoch können wir vergleichen und sehen, welche Zahlen mehr und welche weniger sind.

Versuchen wir, dies anhand einer kleinen Zahlenmenge zu demonstrieren. Stellen Sie sich zwei Mengen von Zahlen vor: blaue Zahlen und rote Zahlen:

Kann man irgendwie feststellen, welche Zahlen mehr sind? Rot oder blau? Ich kann deutlich sehen, dass... Was? Dass du farbenblind bist und nicht klar sehen kannst? In Ordnung, von nun an zeigen wir die zusätzlichen roten Zahlen als Quadrate:

Okay, jetzt können wir deutlich sehen, dass es mehr blaue als rote Zahlen gibt. Das war einfach, weil wir mit endlichen Zahlenmengen arbeiten und sie daher abzählen können. Wir sehen, dass wir sechs blaue Zahlen und nur drei rote Zahlen haben. Die unendlichen Mengen werden nicht so einfach sein, weil wir sie nicht zählen können. Beantworten wir also die Frage aus dem Titel: Gibt es mehr trockene Zahlen oder mehr ungerade Zahlen? Bleiben wir der Einfachheit halber bei den positiven Zahlen. Stellen Sie sich einen Beutel mit allen ungeraden Zahlen und einen Beutel mit allen geraden Zahlen vor. Welcher Sack ist größer?

Nun, es ist nicht gerade einfach, sich eine unendliche Anzahl von Zahlen vorzustellen, und sie zu zählen ist noch schwieriger. Gibt es nicht eine andere Möglichkeit, die Größe der Mengen zu vergleichen?

Vergleich von zwei endlichen Mengen

Wenn wir für jeden Bräutigam eine Braut und für jede Braut einen Bräutigam haben, können wir sagen, dass wir die gleiche Anzahl von Bräutigamen und Bräuten haben:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

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Seht ihr? Jede Braut aus der ersten Reihe hat ihren eigenen Mann aus der zweiten Reihe und umgekehrt - jeder Mann hat seine eigene Frau. Es könnte aber auch ein anderer Fall eintreten: Jede Braut hätte ihren eigenen Mann, aber nicht jeder Mann hätte eine Braut:

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Jede Frau hat einen Ehemann, aber ein Ehemann bleibt traurig auf Essig ohne eine Frau. An diesem Punkt, wenn ein Ehemann bleibt, können wir sagen, dass wir mehr Ehemänner als Ehefrauen haben. Ähnlich ist es, wenn eine Braut bleibt

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

können wir sagen, dass wir mehr Bräute als Ehemänner haben.

Vergleich von zwei unendlichen Mengen von

Können wir dieses Verfahren verwenden, um zwei unendliche Mengen zu vergleichen? Können wir jede ungerade Zahl mit einer geraden Zahl und jede gerade Zahl mit einer ungeraden Zahl paaren, ohne dass eine der beiden Zahlen mehr als einmal verwendet werden kann? Wir können! Wir können jede ungerade Zahl n mit einer geraden Zahl n + 1 paaren. Wir paaren also die Zahl 5 mit 5 + 1, die Zahl 149 mit 150, usw. Die folgende Animation zeigt die Paarung:

Für jede ungerade rote Zahl gibt es eine entsprechende eindeutige blaue gerade Zahl und für jede gerade blaue Zahl gibt es eine entsprechende eindeutige rote ungerade Zahl. Es ist uns gelungen, alle ungeraden Zahlen mit allen geraden Zahlen zu verbinden. Das bedeutet, dass es gleich viele gerade und ungerade Zahlen gibt!

Nun, das war nicht völlig überraschend, oder? Versuchen wir nun, andere Zahlenmengen zu vergleichen: alle natürlichen Zahlen mit den geraden Zahlen. Hier wird das Ergebnis noch schockierender sein.

Gibt es mehr natürliche Zahlen oder mehr gerade Zahlen?

Welche Zahlen sind mehr? Natürliche Zahlen oder gerade Zahlen?

Wir können offensichtlich sehen, dass die natürlichen Zahlen alle geraden Zahlen gleichzeitig enthalten. Und außerdem enthalten die natürlichen Zahlen einige zusätzliche Zahlen - ungerade Zahlen. Es ist also klar, dass es mehr natürliche Zahlen geben muss - sie enthalten doppelt so viele Zahlen!

Ja, wenn das Leben nur so einfach wäre!

Es interessiert uns nicht, ob eine Zahlenmenge einige zusätzliche Zahlen enthält. Uns interessiert, ob wir Zahlen aus zwei verschiedenen Mengen irgendwie paaren können. Sind wir in der Lage, jede gerade Zahl mit jeder natürlichen Zahl zu paaren? Auch wenn es mehr natürliche Zahlen gibt? Aber ja, wir können.

Wir können problemlos jede natürliche Zahl p mit einer geraden Zahl 2 · p paaren und umgekehrt - wir können jede gerade Zahl n mit einer natürlichen Zahl n / 2 paaren. Wir paaren also die natürliche Zahl 5 mit der geraden Zahl 10, und wir paaren die gerade Zahl 14 mit der natürlichen Zahl 7, und so weiter. Die Paarung für die ersten paar Zahlen wird in der folgenden Animation gezeigt:

Plötzlich haben wir eine einzige gerade Zahl für jede natürliche Zahl, und wir haben eine einzige natürliche Zahl für jede gerade Zahl! Und was ist, wenn es noch mehr natürliche Zahlen gibt? Von beiden Zahlen gibt es unendlich viele und sie werden uns nie ausgehen. Aus unserer Sicht ist die Menge der geraden Zahlen also genauso groß wie die Menge der ganzen Zahlen! 😱

Das ist zwar etwas kontraintuitiv, aber es ist wahr.

Gibt es mehr natürliche Zahlen oder rationale Zahlen?

Rationale Zahlen sind Brüche. Alle Zahlen, die in der Form p/q geschrieben werden können, wobei p und q ganze Zahlen sind, sind rationale Zahlen. Zum Beispiel sind ½, ¾ oder 8 rationale Zahlen, aber π ist keine rationale Zahl mehr. Es gibt viel mehr rationale Zahlen als natürliche Zahlen. Zum Beispiel gibt es zwischen den Zahlen 2 und 4 eine einzige ganze Zahl, nämlich die Zahl 3, aber unendlich viele rationale Zahlen. Auch zwischen 0,001 und 0,002 gibt es unendlich viele rationale Zahlen. Es gibt so viele rationale Zahlen!

Man würde also erwarten, dass die Menge der rationalen Zahlen größer sein muss als die Menge der natürlichen Zahlen. Aber gleichzeitig ahnen wir alle, dass es einen Haken gibt. Okay, versuchen wir, die rationalen Zahlen mit den natürlichen Zahlen zu verbinden. Beginnen wir damit, die rationalen Zahlen in einer Tabelle wie dieser aufzuschreiben:

Das Muster sollte klar sein: Alle Brüche in der ersten Reihe haben eine Eins im Nenner (oberhalb des Bruchstrichs) und nacheinander steigende Zahlen 1, 2, 3 usw. im Zähler. In der Spalte ist es genau andersherum. Würden wir die Reihe unendlich fortsetzen, hätten wir alle vorhandenen Brüche in dieser Tabelle. Zum Beispiel befindet sich der Bruch 1478/517 in Zeile 1478 und Spalte 517. Versuchen wir nun, unsere passende Funktion zu erstellen. Wir könnten sie wie folgt erstellen:

• Wir paaren die natürliche Zahl 1 mit dem ersten Bruch in der ersten Zeile, d. h. 1/1
• Wir paaren die natürliche Zahl 2 mit dem zweiten Bruch in der ersten Zeile, d.h. mit 1/2
• Wir paaren die natürliche Zahl 3 mit dem dritten Bruch in der ersten Zeile, d.h. mit 1/3
• Paaren wir die natürliche Zahl 4 mit dem vierten Bruch in der ersten Zeile, also mit 1/4
• ...

Ist es uns gelungen, alle natürlichen Zahlen auf diese Weise zu paaren? Nun, ja. Jede natürliche Zahl hat ein Gegenstück. Die natürliche Zahl 174 hat als ihr Gegenstück den Bruch 1/174. Aber gilt das auch umgekehrt? Hat jeder Bruch ein Gegenstück in den natürlichen Zahlen? Welches Gegenstück hat der Bruch 2/3? Keines, denn wir sind mit unserer Zuordnungsfunktion nie bis zur zweiten Zeile gekommen. Wir waren nur in der Lage, die erste Reihe von Brüchen zu paaren.

Bedeutet das, dass es mehr rationale Zahlen als natürliche Zahlen gibt? Leider nein - nur weil eine Zuordnungsstrategie nicht funktioniert, heißt das nicht, dass eine andere nicht funktioniert. Versuchen wir es diesmal mit der Diagonale:

• Paare die natürliche Zahl 1 mit dem Bruch 1/1 (erste Diagonale),
• Paarung der natürlichen Zahl 2 mit dem Bruch 1/2 (zweite Diagonale),
• Paarung der natürlichen Zahl 3 mit dem Bruch 2/1 (zweite Diagonale),
• Paarung der natürlichen Zahl 4 mit dem Bruch 1/3 (dritte Diagonale),
• Paarung der natürlichen Zahl 5 mit dem Bruch 2/2 (dritte Diagonale),
• Paarung der natürlichen Zahl 6 mit dem Bruch 3/1 (dritte Diagonale),
• usw.

Sie können die Paarungsstrategien in der Animation sehen:

Auf diese Weise können wir alle Brüche abdecken. Keine Diagonale ist unendlich, also treffen wir auf keiner Diagonale auf "ewig". Letztendlich wird jeder Bruch mit einer natürlichen Zahl verknüpft sein, und natürlich wird jede natürliche Zahl mit einem eindeutigen Bruch verknüpft sein.

Nun... nicht wirklich. Wenn wir uns unsere Bruchtabelle noch einmal ansehen, werden wir feststellen, dass es eine Menge sich wiederholender Zahlen gibt. Zum Beispiel stellen die Brüche 1/1, 2/2, 3/3 usw. dieselbe Zahl dar - die Zahl 1. In ähnlicher Weise stellen die Brüche 1/2, 4/2 und 6/3 eine Hälfte dar. Wir bilden also die natürlichen Zahlen 1, 5, 13 usw. auf die gleiche rationale Zahl 1 ab! Wir haben mehrere Bräutigame, die die gleiche Braut heiraten. Das kann nicht funktionieren!

Glücklicherweise können wir dies leicht beheben. Kurz gesagt, wir streichen alle Brüche aus unserer Tabelle, die nicht in der Basisform sind, d.h. wir streichen alle Brüche, die abgeschnitten werden können. Nach dieser Streichung haben wir nur noch eindeutige rationale Zahlen in der Tabelle und unser Diagonaltrick funktioniert. Jede natürliche Zahl wird mit einer eindeutigen natürlichen Zahl gepaart und andersherum.

Das bedeutet aber, dass die Menge der natürlichen Zahlen genauso groß ist wie die Menge der rationalen Zahlen!

Bis jetzt sieht es so aus, als ob alle unendlichen Mengen gleich groß sind. Gibt es irgendeine unendliche Menge, die größer ist als die Menge der natürlichen Zahlen?

Gibt es mehr natürliche Zahlen oder mehr reelle Zahlen?

Hier kommt unser letzter Ausweg ins Spiel: die reellen Zahlen. Wir haben keine weiteren Zahlen auf der reellen Achse. Wie sehen die reellen Zahlen aus? Die reellen Zahlen enthalten alle rationalen Zahlen plus alle irrationalen Zahlen. Wenn wir eine Zahl in Dezimalschreibweise schreiben, dann ist sie eine rationale Zahl:

• Sie hat entweder eine endliche dezimale Erweiterung, z. B. 0,4841554,
• oder sie hat eine unendliche periodische Erweiterung: 0,1313131313...

Eine irrationale Zahl hingegen hat immer eine unendliche dezimale Ausdehnung und ist nicht periodisch. Eine irrationale Zahl ist zum Beispiel die Zahl π, die gleich 3,141592653... ist (keine Periode). Um es gleich vorweg zu nehmen: Es gibt viel mehr reelle Zahlen als rationale Zahlen und damit als natürliche Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen ist größer als die Menge der natürlichen Zahlen. Und wie können wir das beweisen?

Stellen wir uns vor, wir hätten eine Paarungsstrategie gefunden, um alle natürlichen Zahlen und alle reellen Zahlen zu paaren. Sagen wir, es ist diese hier:

1 → 0.3452807674449021... 2 → 0.8978319745321683... 3 → 0.8972169570849831... 4 → 0.0635759905832629... 5 → 0.0081863365749335... 6 → 0.4000559394278442... 7 → 0.8637537627594889... ...

Angenommen, wir haben alle natürlichen Zahlen auf der linken Seite und alle reellen Zahlen auf der rechten Seite. In diesem Fall könnten wir keine reelle Zahl finden, die auf der rechten Seite fehlt. Da wir bereits herausgefunden haben, dass die Menge der reellen Zahlen größer ist, bedeutet das, dass uns auf der rechten Seite eine Zahl fehlt. Ja, aber welche Zahl? Wir sehen also zum Beispiel, dass eine Zahl fehlt: 0.4818063607183678. Aber was ist, wenn sie sich unter der Zahl 8 versteckt?

1 → 0.3452807674449021... 2 → 0.8978319745321683... 3 → 0.8972169570849831... 4 → 0.0635759905832629... 5 → 0.0081863365749335... 6 → 0.4000559394278442... 7 → 0.8637537627594889... 8 → 0.4818063607183678 ...

Was ist mit der Zahl 0.4208424736008147? Die sehen wir dort auch nicht. Aber was ist, wenn sie sich unter der Nummer 9 versteckt?

1 → 0.3452807674449021... 2 → 0.8978319745321683... 3 → 0.8972169570849831... 4 → 0.0635759905832629... 5 → 0.0081863365749335... 6 → 0.4000559394278442... 7 → 0.8637537627594889... 8 → 0.4818063607183678 9 → 0.4208424736008147 ...

So funktioniert das nicht. Da wir natürlich nicht alle Paare auflisten können, da es unendlich viele gibt, können wir nicht einfach raten, ob diese Zahl zufällig dabei ist oder nicht. Wir müssten eine Zahl finden, die sich von allen Zahlen auf der rechten Seite der Tabelle unterscheidet, obwohl wir nicht wissen, wie die Zahlen auf der rechten Seite lauten. Wie kann man das tun?

Damit zwei Zahlen unterschiedlich sind, müssen sie sich nur in einer Ziffer unterscheiden. Zum Beispiel sind die Zahlen 0,123456 und 0,123457 nicht gleich - aber sie unterscheiden sich nur in einer Ziffer. Das reicht aus. Wir können also die n-te reelle Zahl in unserer Tabelle immer mit der n-ten Stelle nach dem Komma markieren:

1 → 0.3452807674449021... 2 → 0.8978319745321683... 3 → 0.8972169570849831... 4 → 0.0635759905832629... 5 → 0.0081863365749335... 6 → 0.4000559394278442... 7 → 0.8637537627594889... 8 → 0.48180636071836789 → 0.4208424736008147 ...

und setzen die neue Zahl so zusammen, dass die n-te Stelle nach dem Komma sich von der n-ten Stelle der n-ten reellen Zahl unterscheidet. Wir konstruieren also die neue Zahl, indem wir mit Null beginnen: 0,??? und die erste Ziffer nach dem Komma so wählen, dass sie sich von der ersten Ziffer der ersten reellen Zahl unterscheidet, d. h. von drei. Zum Beispiel schreiben wir 0,1????. Die zweite Ziffer muss sich von der zweiten Ziffer der zweiten reellen Zahl unterscheiden, d. h. sie muss von 9 verschieden sein. Schreiben Sie zum Beispiel eine Zwei: 0,12????. Und so weiter. Die ersten neun Ziffern könnten also wie 0.123123127 aussehen (siehe die letzte Zeile der Tabelle):

1 → 0.3452807674449021... 2 → 0.8978319745321683... 3 → 0.8972169570849831... 4 → 0.0635759905832629... 5 → 0.0081863365749335... 6 → 0.4000559394278442... 7 → 0.8637537627594889... 8 → 0.48180636071836789 → 0.4208424736008147? → 0.123123127

Wir können sehen, dass diese Zahl sich von allen Zahlen unterscheidet, weil sie sich immer in mindestens einer Ziffer von allen Zahlen unterscheidet. Obwohl unsere Tabelle eine unendliche Anzahl von Zahlen enthält, besteht unsere neue Zahl aus unendlich vielen Ziffern, so dass sie sich von allen Zahlen in der Tabelle um mindestens eine Ziffer unterscheidet. Und wir können unendlich viele Zahlen konstruieren, die nicht in der Tabelle enthalten sind! Was bedeutet das? Wir sind nicht in der Lage, natürliche Zahlen mit reellen Zahlen zu paaren. Es bleiben immer unendlich viele reelle Zahlen übrig, die mit keiner natürlichen Zahl gepaart werden können. Es gibt viel mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen.

Anmerkungen am Ende

• Der Einfachheit halber haben wir die negativen Zahlen in diesem Artikel ignoriert. Aber natürlich ändern sie nichts daran, und als Hausaufgabe kannst du die hier erwähnten Paarungsstrategien so abändern, dass sie auch mit negativen Zahlen funktionieren.
• Die Größe der Menge der natürlichen Zahlen hat sogar einen Namen. Wir nennen sie Aleph-Null.
• In der Mathematik verwenden wir daher oft den Begriff Kardinalität oder Kardinalität einer Menge anstelle von Mengengröße.