Trachtenbergs Methode der schnellen Addition
Die Trachtenberg-Additionsmethode ist ein Verfahren, um mehrere Zahlen schnell zu addieren und dann mit einem anderen Verfahren zu überprüfen, ob wir richtig gezählt haben. Das Verfahren wurde von dem russischen Mathematiker Yakov Trachtenberg erfunden. Wir werden die Methode anhand eines Beispiels erläutern. Wir wollen versuchen, diese drei Zahlen zu addieren:
$$9551+7375+9262=?$$
Zuerst schreiben wir die Zahlen wie folgt untereinander:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \end{array}$$
Nun fangen wir an, die Spalten zu addieren, beginnend von rechts. Uns interessiert, ob die Summe größer oder gleich 11 ist. Im ersten Schritt addieren wir die letzte Spalte, d.h. wir addieren 1 + 5 + 2 = 8. Das Ergebnis ist kleiner als 11, also schreiben wir die Zahl einfach unter die Zeile:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&&\color{red}{8}\\ \end{array}$$
Im zweiten Schritt addieren wir die zweite Spalte von rechts, d. h. wir addieren 5 + 7 + 6 = 18. Die Trachtenberg-Methode besagt, dass wir immer dann, wenn die Summe größer oder gleich 11 ist, 11 von der Summe abziehen und uns merken, wie oft wir das tun mussten. Da 18 größer als 11 ist, subtrahieren wir 18 − 11 = 7. Wir schreiben die Zahl sieben unter die Zeile, und da wir 11 einmal subtrahiert haben, notieren wir sie eine Zeile darunter:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&\color{red}{5}&1\\ +&7&3&\color{red}{7}&5\\ +&9&2&\color{red}{6}&2\\ \hline &&&\color{red}{7}&8\\ &&&\color{red}{1}&\\ \end{array}$$
Wenn wir zur vorherigen Spalte ganz rechts zurückgehen, sehen wir, dass die Summe gleich acht war, wir mussten also die Zahl 11 nicht ein einziges Mal subtrahieren. Fügen wir also die Zahl Null in die Tabelle ein:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&7&\color{red}{8}\\ &&&1&\color{red}{0}\\ \end{array}$$
Wir fahren mit der dritten Spalte von rechts fort und fügen 5 + 3 + 2 = 10 hinzu. Wir haben keine Angst vor der Zahl Zehn, sie ist kleiner als 11, also schreiben wir sie unter die Zeile mit der Null, denn wir mussten die 11 nicht abziehen:
$$\begin{array}{cccc} &9&\color{red}{5}&5&1\\ +&7&\color{red}{3}&7&5\\ +&9&\color{red}{2}&6&2\\ \hline &&\color{red}{10}&7&8\\ &&\color{red}{0}&1&0\\ \end{array}$$
Und jetzt addieren wir die vierte Spalte von rechts, also die erste Spalte. Wir sehen, dass 9 + 7 = 16 bereits größer als 11 ist. Also subtrahieren wir 16 − 11 = 5, wobei wir uns daran erinnern, dass wir 11 bereits einmal subtrahiert haben, und dann fahren wir mit der Zahl 5 fort, die wir mit der Zahl in der dritten Zeile addieren, d.h. wir zählen 5 + 9 = 14. Die Zahl vierzehn ist ebenfalls größer als 11, also subtrahieren wir 14 − 11 = 3. Dieses Ergebnis schreiben wir unter die Zeile, zusammen mit der Information, dass wir die 11 sogar zweimal abziehen mussten:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&5&5&1\\ +&\color{red}{7}&3&7&5\\ +&\color{red}{9}&2&6&2\\ \hline &\color{red}{3}&10&7&8\\ &\color{red}{2}&0&1&0\\ \end{array}$$
Wir fügen eine weitere Spalte mit zwei Nullen zu dem Ergebnis unter der Zeile hinzu, das wird später nützlich sein:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \color{red}{0}&3&10&7&8\\ \color{red}{0}&2&0&1&0\\ \end{array}$$
Wie man das Ergebnis der Trachtenberg-Methode erhält
Wir machen eine weitere horizontale Linie und fügen die letzten beiden Spalten hinzu. Als erstes addieren wir 8 + 0 = 8 und schreiben das Ergebnis unter die Zeile:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&10&7&\color{red}{8}\\ 0&2&0&1&\color{red}{0}\\ \hline &&&&\color{red}{8}\\ \end{array}$$
Ab diesem Punkt müssen wir komplizierter werden und die Zahlen in Form des Buchstabens "L" addieren. Wir addieren also die beiden Zahlen aus der vorletzten Spalte und fügen die zweite Zahl aus der vorherigen Spalte hinzu, also 7 + 1 + 0 = 8:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&10&\color{red}{7}&8\\ 0&2&0&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\ \hline &&&\color{red}{8}&8\\ \end{array}$$
Als nächstes addieren wir 10 + 0 + 1 = 11. Nun gehen wir wie bei der normalen Addition vor: Wir schreiben nur die letzte Ziffer 1 auf und die Zehn geht in die nächste Runde.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&\color{red}{10}&7&8\\ 0&2&\color{red}{0}&\color{red}{1}&0\\ \hline &&\color{red}{1}&8&8\\ \end{array}$$
In der nächsten Runde addieren wir 3 + 2 + 0 + 1 = 6, wobei die 1 am Ende die 1 ist, die in der vorherigen Runde weiterging (d.h. für jede 10, die weiterging, fügen wir hier eine 1 hinzu).
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&\color{red}{3}&10&7&8\\ 0&\color{red}{2}&\color{red}{0}&1&0\\ \hline &\color{red}{6}&1&8&8\\ \end{array}$$
Und jetzt verwenden wir endlich die Spalte mit den zwei Nullen - sie ist nur da, damit wir die letzte Summe nicht vergessen 0 + 0 + 2 = 2.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \color{red}{0}&3&10&7&8\\ \color{red}{0}&\color{red}{2}&0&1&0\\ \hline \color{red}{2}&6&1&8&8\\ \end{array}$$
Dies ist unser Ergebnis, das wir mit der Trachtenberg-Methode erhalten haben. Das ist es,
$$9551+7375+9262=26188.$$
Überprüfung der Zwischenergebnisse
Der Vorteil der Trachtenberg-Methode besteht darin, dass wir relativ leicht überprüfen können, ob wir richtig gerechnet haben, ohne die gesamte Berechnung noch einmal durchführen zu müssen. Trachtenberg hat einen Weg gefunden, Zwischenergebnisse und das Endergebnis durch ein völlig anderes Verfahren zu überprüfen. Wenn Sie also die Summe nach der Trachtenberg-Methode berechnen und gleichzeitig den Test durchführen, können Sie sich ziemlich sicher sein, dass Sie richtig gerechnet haben. Versuchen wir also zu überprüfen, ob unser Ergebnis richtig ist.
Wir können unsere gesamte Berechnung in drei Teile unterteilen. Wir haben die Summanden, die Zwischenergebnisse und das Ergebnis:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&\color{red}{5}&\color{red}{5}&\color{red}{1}\\ +&\color{red}{7}&\color{red}{3}&\color{red}{7}&\color{red}{5}\\ +&\color{red}{9}&\color{red}{2}&\color{red}{6}&\color{red}{2}\\ \hline \color{green}{0}&\color{green}{3}&\color{green}{10}&\color{green}{7}&\color{green}{8}\\ \color{green}{0}&\color{green}{2}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{0}\\ \hline \color{blue}{2}&\color{blue}{6}&\color{blue}{1}&\color{blue}{8}&\color{blue}{8}\\ \end{array}$$
In der ersten Phase überprüfen wir, ob wir die Zwischenergebnisse richtig berechnet haben. Dazu müssen wir eine Spaltennummerierung durchführen. Wir erhalten die Ziffern einer Zahl, indem wir alle Ziffern der Zahl addieren. Zum Beispiel erhalten wir die Ziffer von 456, indem wir 4 + 5 + 6 = 15 addieren. Wenn das Ergebnis größer als 9 ist, führen wir eine weitere Digitalisierung durch, d. h. wir berechnen noch 1 + 5 = 6. Die Ziffer von 456 ist also gleich 6.
Nun kehren wir zu den Summanden zurück und berechnen die Ziffer der letzten Spalte, d.h. wir berechnen die Ziffer von 152, also 1 + 5 + 2 = 8.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&&\color{red}{8} \end{array}$$
Als Nächstes berechnen wir die Ziffer der vorletzten Spalte, d.h. die Zahl 576, das ist 5 + 7 + 6 = 18, dann erhalten wir 1 + 8 = 9.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&\color{red}{5}&1\\ +&7&3&\color{red}{7}&5\\ +&9&2&\color{red}{6}&2\\ \hline &&&\color{red}{9}&8 \end{array}$$
Für die verbleibenden zwei Spalten erhalten wir 5 + 3 + 2 = 10, da die Zahl zweistellig ist, erhalten wir 1 + 0 = 1:
$$\begin{array}{cccc} &9&\color{red}{5}&5&1\\ +&7&\color{red}{3}&7&5\\ +&9&\color{red}{2}&6&2\\ \hline &&\color{red}{1}&9&8 \end{array}$$
und für die erste Spalte erhalten wir 9 + 7 + 9 = 25 und dann 2 + 5 = 7:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&5&5&1\\ +&\color{red}{7}&3&7&5\\ +&\color{red}{9}&2&6&2\\ \hline &\color{red}{7}&1&9&8 \end{array}$$
Die resultierenden Ziffern sind gleich: 7198. Nun schauen wir uns die Zwischenergebnisse an:
$$\begin{array}{cccc} \color{green}{0}&\color{green}{3}&\color{green}{10}&\color{green}{7}&\color{green}{8}\\ \color{green}{0}&\color{green}{2}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{0}\\ \end{array}$$
Wir kopieren die zweite Zeile und fügen sie am Ende ein, so dass die zweite Zeile zweimal vorhanden ist:
$$\begin{array}{cccc} 0&3&10&7&8\\ 0&2&0&1&0\\ 0&2&0&1&0\\ \end{array}$$
Jetzt machen wir das Gleiche wie mit den Summanden. Wir erstellen aus jeder Spalte eine Zahl und berechnen ihre Ziffern. Auch hier können wir vom Ende her beginnen, so dass wir 8 + 0 + 0 = 8 erhalten, die nächste Spalte gibt uns 7 + 1 + 1 = 9, die nächste 10 + 0 + 0 = 10 und dann 1 + 0 = 1 und schließlich 3 + 2 + 2 = 7:
$$\begin{array}{cccc} 0&3&10&7&8\\ 0&2&0&1&0\\ 0&2&0&1&0\\ \hline 0&\color{red}{7}&\color{red}{1}&\color{red}{9}&\color{red}{8} \end{array}$$
An diesem Punkt vergleichen wir die Ergebnisse der Digitalisierung. Die Digitalisierungen der Addierer ergaben die Zahl 7198, ebenso die Digitalisierungen der Zwischenergebnisse - wir haben also richtig gerechnet. Wenn diese Ergebnisse unterschiedlich waren, haben wir irgendwo einen Fehler gemacht. Entweder beim Test oder bei der Zählung selbst.
Überprüfung des Ergebnisses
Die Überprüfung, ob wir das Ergebnis richtig berechnet haben, ist an dieser Stelle einfach. Wir berechnen die Digitalisierung des Ergebnisses und die Digitalisierung der Ziffern und es sollte dasselbe herauskommen. Wir nehmen also unser Ergebnis 26 188 und berechnen seine Digitalisierung:
$$\begin{eqnarray} 2+6+1+8+8&=&25\\ 2+5&=&7 \end{eqnarray}$$
Nun berechnen wir die Digitalisierung unserer berechneten Ziffern, d.h. die Digitalisierung von 7198:
$$\begin{eqnarray} 7+1+9+8&=&25\\ 2+5&=&7 \end{eqnarray}$$
Wir können sehen, dass beide Digitalisierungen gleich sieben sind, also ist der Test gut gelaufen und wir haben richtig gerechnet!