Zählen mit Prozenten

Prozentsätze beziehen sich in der Regel auf einen relativen Teil eines Ganzen, wobei das Ganze selbst als 100% ausgedrückt wird. Prozentsätze können immer in einen Bruch umgeschrieben werden.

Prozentsätze als Teil eines Ganzen

Wir verwenden Prozentsätze, wenn wir einen Teil eines Ganzen ausdrücken wollen. Prozentangaben können durch Ausdrücke wie "ein Viertel der Klasse hat eine Sechs bekommen" oder "jede zweite Person ist männlich" ersetzt werden. Wir haben immer ein Ganzes, zum Beispiel eine ganze Klasse von Schülern, und wir sagen, dass ein Viertel von ihnen eine Sechs bekommen hat. Wenn es 32 Schüler in einer Klasse gibt und ein Viertel von ihnen eine Sechs hat, dann ist die Gesamtzahl der Schüler, die eine Sechs haben, gleich:

$$ \frac{1}{4}\cdot 32 = 8\quad \mbox{ was dasselbe ist wie }\quad \frac{32}{4}=8 $$

Im zweiten Fall kann es sich um eine Stadt handeln, sagen wir Opava. Sie hat etwa 60 000 Einwohner. Wenn jeder zweite Einwohner männlich ist, dann bedeutet das, dass die Hälfte von ihnen männlich ist, wir schreiben das so:

$$ \frac{1}{2}\cdot 60, 000 = 30, 000 \quad \mbox{ was dasselbe ist wie }\quad \frac{60{,}000}{2}=30{,}000 $$

Dann könnten wir sagen, dass "jeder 100. Einwohner von Opava ein Mathematiker ist". Dann wäre es wahr, dass wir $\frac{1}{100}\cdot60,000=600$ Mathematiker in Opava haben. "Jeder Hundertste" ist gleichbedeutend mit "ein Hundertstel der Bevölkerung".

Jetzt können wir das Konzept des Prozentsatzes einführen. Ein Prozent, wir nennen es 1%, bedeutet ein Hundertstel des Ganzen. Wenn wir also sagen, dass "jeder Hundertste in Opava ein Mathematiker ist" und "ein Prozent der Einwohner von Opava Mathematiker sind", dann sagen wir damit dasselbe. Wir berechnen ein Prozent des Ganzen, indem wir das Ganze mit $\frac{1}{100}$ multiplizieren oder durch 100 dividieren, was dasselbe ist.

Wir können Prozentsätze leicht in Brüche umwandeln und mit ihnen weiterarbeiten. Wenn wir sagen, dass "in Opava, x % der Menschen dunkle Haare haben", dann ist das dasselbe wie zu sagen "in Opava, $\frac{x}{100}\cdot60,000$" haben Menschen dunkle Haare. 100 % steht dann für das Ganze, d.h. alle Einwohner. Der Satz "100% der Schüler haben die nächste Klasse bestanden" bedeutet, dass alle Schüler bestanden haben. Der Satz "0% der Schüler sind durchgefallen" bedeutet, dass niemand durchgefallen ist. Beispiele:

1. 35 % der Bevölkerung von Opava fährt mit dem Bus. Wie viele Menschen fahren mit dem Bus? 35 % ist dasselbe wie $\frac{35}{100}$ des Ganzen (= "fünfunddreißig Hundertstel des Ganzen"). Rechnen wir nach: $\frac{35}{100}\cdot 60,000$ Dies lässt sich leicht berechnen, indem man zunächst 60.000 durch 100 teilt und dieses Ergebnis mit 35 multipliziert. Im Grunde genommen nehmen wir diese Anpassung vor:

   $$ \frac{35}{100}\cdot 60{,}000 = \frac{35\cdot60{,}000}{100}=\frac{35\cdot600}{1}=35\cdot600=21{,}000 $$

   Wir können uns das so vorstellen, dass wir zunächst die Bevölkerung berechnen, die einem Prozent entspricht: $\frac{1}{100}\cdot60,000=600$ Ein Prozent entspricht 600 Einwohnern. Wir wollen 35 Einwohner wissen, also multiplizieren wir diese 600 Einwohner einfach mit 35 · 600 = 21,000.

2. Thomas verdient im Durchschnitt 500 Kronen pro Tag. Heute verdient er nur noch 75 % seines Durchschnittslohns. Wie viel hat Thomas verdient? Das Verfahren ist immer noch das gleiche. Das Ganze ist 500 und wir wandeln 75% in einen Bruch um $\frac{75}{100}$. Wir können diesen Bruch weiter auf den Bruch $\frac{3}{4}$ reduzieren. Wir multiplizieren das Ganze mit diesem Bruch:

   $$ \frac{3}{4}\cdot500=\frac{3\cdot500}{4}=3\cdot125=375 $$

3. Am nächsten Tag hat Thomas seinen Appetit gestillt und 150 % seines Durchschnittslohns verdient. Wie viel hat er verdient? Können wir sogar mehr als 100% haben, da wir gesagt haben, dass 100% das Ganze darstellt? Ja, das kann man. Genauso wie jemand das "Dreifache des Durchschnitts" verdienen kann, kann jemand 150 % seines Durchschnitts verdienen.

   Wir machen genau dasselbe: Wir wandeln 150% in einen Bruch um $\frac{150}{100}$ und multiplizieren den Durchschnittslohn von Thomas mit diesem Bruch, also 500:

   $$ \frac{150}{100}\cdot500=\frac{150\cdot500}{100}=\frac{150\cdot5}{1}=150\cdot5=750 $$

Prozentsätze als Trinomial

Wir können den durch Prozentsätze gegebenen Teil des Ganzen leicht in ein Trinom umwandeln. Bleiben wir bei Thomas, der im Durchschnitt 500 Kronen pro Tag verdient und heute 75 % seines Durchschnittslohns erhalten hat. In der Tat können wir es so schreiben, indem wir die Drei-Teilchen-Formel verwenden:

\Anfang{eqnarray} 100% &\quad\ldots\quad&500 \mbox{ Kronen }\75% &\quad\ldots\quad&x \mbox{ Kronen } \end{eqnarray}

Da es sich um eine direkte Proportion handelt, erhalten wir die Form:

$$ \frac{75}{100} = \frac{x}{500} $$

Multipliziere die Gleichung mit 500 und wir haben:

$$ \frac{75\cdot500}{100}=x $$

Und von dort aus können wir das Ergebnis leicht berechnen:

\begin{eqnarray} \frac{75\cdot500}{100}&=&x\ \frac{75\cdot5}{1}&=&x\ x&=&75\cdot5}&&=&375 \end{eqnarray}

Wir sehen, dass wir die gleiche Zahl erhalten haben.

Was ist, wenn wir den Teil kennen, aber nicht das Ganze?

In den vorangegangenen Beispielen sind wir immer davon ausgegangen, dass wir den genauen Wert des Ganzen kennen und einen bestimmten Bruchteil, der als Prozentsatz angegeben ist, berechnen müssen. Was aber, wenn wir den Teil kennen, aber nicht das Ganze? Beispiel: Thomas hat 120 Zauberkarten mit einem großen grünen Monster. Auch wenn das eine beachtliche Anzahl von grünen Monsterkarten ist, hat er im Vergleich zu Jana nur sechzig Prozent der Karten. Wie viele Karten hat Jana?

Hier wissen wir einen Teil, aber wir kennen nicht das Ganze - das müssen wir noch berechnen. Im Moment wissen wir, dass 120 Karten 60 % der Karten entsprechen, die Jana hat. Um herauszufinden, wie viele Karten einem Prozent entsprechen, müssen wir nur die Hundertzwanzig durch 60 teilen. Wir erhalten zwei 120/60 = 2. Ein Prozent der Karten sind also zwei Karten mit grünen Gesichtern. Da wir das Ganze zählen - was immer 100 % ist - multiplizieren wir diese Anzahl von Karten mit hundert. Und wir haben 200 Karten, was das richtige Ergebnis ist.

Wir können dies überprüfen, indem wir 60% von 200 zählen: Multiplizieren Sie einfach

$$\frac{60}{100}\cdot200=\frac{3}{5}\cdot200=3\cdot40=120$$

Wir sehen, dass 60 % von 200 gleich 120 ist. Das ist genau die Anzahl der grünen Monsterkarten, die Thomas hat.

Die Prozentsätze zusammenzählen

Wenn wir ein Beispiel berechnen müssen, bei dem es um Prozentsätze geht, ist es immer am besten, exakte Werte anstelle von Prozentsätzen zu berechnen und diese dann zu addieren. Die Aufgabe könnte also etwa so lauten: Martin verdient 15 000, Stanislav 20 000 und Lucy 25 000 Kronen. Berechne nun, wie viele Kronen Simona verdient, die 30 % von dem, was Martin verdient, plus 40 % von dem, was Stanislav verdient, plus 25 % von dem, was Lucka verdient, verdient.

Hier haben wir drei Ausdrücke mit Prozentsätzen, aber jeder Ausdruck stammt von einem anderen Ganzen. Martin, Stanislav und Lucka verdienen jeweils unterschiedlich viel Geld. Zuerst berechnen wir also 30% von Martins Gehalt. Das sind 15.000/100 = 150. Dann multiplizieren wir mit 150 · 30 und erhalten 4.500. Als Nächstes kommen wir auf 40% von Stanislavs Gehalt. Das sind 20.000/100 = 200. Wieder multiplizieren wir mit 40 und erhalten 200 · 40 = 8 000. Der letzte Teil ist 25 % von Lucys Gehalt. Sie verdient 25.000, wovon ein Prozent 25.000/100 = 250 ist. Durch Multiplikation mit 25 erhalten wir 250 · 25 = 6 250. Jetzt addieren wir einfach alle Teilergebnisse: 4.500 + 8.000 + 6.250 = 18.750. Simona verdient 18.750 Kronen, was ein recht gutes Einkommen ist.

Es kann jedoch vorkommen, dass wir die Prozentsätze tatsächlich addieren. Wir können die Prozentsätze nur addieren, wenn sie die gleiche Basis haben, das gleiche Ganze. Wenn Kuba also zum Beispiel 20 % von dem verdient, was Stanislav verdient, und zusätzlich 30 % von dem, was Stanislav verdient, können wir die Prozentsätze addieren, weil sie dieselbe Basis haben - beide Ausdrücke zählen Stanislavs Grundgehalt. Das Ergebnis ist also 20% + 30% = 50%. Kuba verdient die Hälfte dessen, was Stanislav verdient, also zehntausend.

Die knifflige Kaskadenadierung von Prozentsätzen

Stellen Sie sich nun die folgende Situation vor: Milan verdiente im ersten Jahr 10.000. Aber im zweiten Jahr bekam er eine Gehaltserhöhung und sein Gehalt wurde um 30 % erhöht. Im nächsten Jahr, dem dritten Jahr, bekam er wieder eine Gehaltserhöhung, und wieder wurde sein Gehalt erhöht, diesmal aber nur um 10 %. Die Frage ist: Wie hoch ist das Gehalt von Milan jetzt?

Bei dieser Art von Beispiel ist es sehr verlockend, die Prozentsätze wie im vorherigen Fall zu addieren. Schließlich gehen wir - scheinbar - immer noch von der gleichen Grundlage aus, nämlich von Milans Gehalt. Wir berechnen also 30 % + 10 % und addieren dies zu seinem Grundgehalt. Milan würde dann 14.000 Kronen verdienen. Aber so ist es nicht. Gehen wir es mal durch.

Im ersten Jahr hat er 10.000 Kronen bekommen. Im zweiten Jahr bekam er 10.000 + 30 %. Das sind 13.000, wie Sie bereits ausgerechnet haben. Und jetzt, im nächsten Jahr, bekommt er eine zehnprozentige Gehaltserhöhung. Aber aufgepasst! Die Basis ist nicht mehr die 10.000, die er im ersten Jahr hatte. Die Basis ist jetzt dreizehntausend! Und wie wir wissen, können wir Prozentsätze nur addieren, wenn die Prozentsätze auf derselben Basis berechnet werden. Und in unserem Fall ist die Basis eine andere. Beim ersten Mal waren es 10.000 und jetzt sind es 13.000. Letztes Jahr hat Milan also 13.000 + 10 % bekommen, was 14.300 ergibt.

Die 14.000er-Lösung war falsch und wir haben Milan um 300 Kronen betrogen. Sei nicht gemein zu Milan!

Kaufe ein Mathebuch mit Rabatt!

Das klassische Beispiel ist ebenfalls mit einem Preisnachlass verbunden. Stell dir vor, im Laden gibt es ein Mathebuch, das du dir vom Weihnachtsmann zum Geburtstag wünschst. Was würdest du dir denn sonst noch wünschen, oder? :-)

Aber vor Weihnachten wird das Buch teurer, nämlich um 20 %. Du sagst dir, dass du noch warten und es erst nach Weihnachten kaufen wirst. Sie haben das Richtige getan, denn der Laden hat das Buch nach den Feiertagen um 20 % verbilligt. Die Frage ist: Ist das Buch das gleiche wert wie vor der Verzögerung? Oder kostet es mehr/weniger?

Auch hier diktiert der gesunde Menschenverstand mancher Leute, dass das Buch gleich viel kostet, aber das stimmt nicht. Rechnen wir doch mal nach. Angenommen, das Buch kostet 300 Kronen. Eine Preiserhöhung von 20 % bedeutet, dass das Buch um $\frac{20}{100}\cdot300=60$ Kronen teurer geworden ist. Also kostet das Buch 360 Kronen.

Aber der Rabatt von 20 % wird nicht mehr auf der Basis von 300, sondern auf der Basis von 360 Kronen berechnet! Das bedeutet, dass das Buch um $\frac{20}{100}\cdot360=72$ Kronen billiger wird. Nach dem Rabatt kostet das Buch 288 Kronen.

(Aber mal ehrlich, wer kauft schon ein Mathe-Lehrbuch, wenn es Mathe zum halben Preis gibt ;-))

Promile

Promile werden am häufigsten zur Messung des Blutalkoholgehalts von Autofahrern verwendet. Manche Leute glauben fälschlicherweise, dass eine Promille ein Tausendstel eines Prozentsatzes ist, aber das ist ein Irrtum, Vorsicht. Eine Promille ist ein Tausendstel eines Ganzen. Ansonsten werden Promillewerte genauso behandelt wie Prozentwerte. Wenn du x Promille von 5000 finden willst, berechnest du es als $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Anstelle von 100 steht 1000 im Nenner des Bruchs. Drei Promille von 5000 sind also $\frac{3}{1000}\cdot5000=3\cdot5=15$.

Das Promille wird mit dem Symbol ‰ bezeichnet. Also: $x ‰ = \frac{x}{10} %$.

Mehr dazu in einem separaten Artikel über Promille.

Typografie von Prozentsätzen

Es gibt einen Unterschied zwischen der Schreibweise "100%" (mit Leerzeichen) und "100%" (ohne Leerzeichen). Die Version mit Leerzeichen bedeutet "einhundert Prozent", während die Version ohne Leerzeichen "einhundert Prozent" bedeutet. Bitte beachten Sie dies beim Schreiben und regen Sie sich nicht zu sehr auf, falls die Zeitung es falsch versteht :-).

Prozentualer Punkt

Neben den normalen Prozentzahlen gibt es noch die Prozentpunkte. Was ist der Unterschied zwischen diesen beiden? Stellen Sie sich vor, dass der Firefox-Browser vor zwei Jahren von 20 % benutzt wurde, aber dieses Jahr benutzen ihn 30% der Leute. Wie hoch ist der Anstieg zwischen diesen beiden Jahren? Es wäre ein Fehler zu sagen, dass der Anstieg 10 % beträgt. Wenn Firefox erst von 20 % und dann von 30 % der Menschen genutzt wurde, bedeutet das, dass ihn jetzt halb so viele Menschen nutzen wie vorher. Das ist ein Anstieg um 50 %.

Aber andererseits ist es auch ein bisschen albern, von einem Anstieg von 50 % zu sprechen, wenn es für alle verständlicher wäre, wenn wir sagen würden, dass der Prozentsatz um zehn gestiegen ist. Dafür haben wir ja Prozentpunkte. In diesem Fall können wir sagen, dass der Anstieg der Firefox-Nutzung zehn Prozentpunkte beträgt. Wir können Prozentpunkte verwenden, wenn wir eine einfache Differenz zwischen zwei Prozentsätzen ausdrücken wollen.