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Bevor wir uns mit dem Beweis befassen, sollten wir über das Multiplizieren von Klammern sprechen, denn das hat viel mit dem Beweis selbst zu tun. Man könnte sogar sagen, dass der Klammerausdruck eine völlig entgegengesetzte Funktion zur Klammermultiplikation ist.

Klammermultiplikation

Die Klammermultiplikation ist eine einfache Operation, die wir anhand eines Beispiels demonstrieren wollen: Berechnen wir den Ausdruck 3 · (5 + 8). Wir haben zwei Möglichkeiten, wie wir vorgehen können. Wir können den Ausdruck in der Klammer addieren und erhalten 3 · 13, weil 5 + 8 = 13.

Die zweite Möglichkeit ist, dass wir die Klammer multiplizieren. Das heißt, wir nehmen die Zahl vor der Klammer, die Drei, und multiplizieren die beiden Zahlen in der Klammer mit dieser Zahl. Das Pluszeichen in der Klammer bleibt erhalten. Wir erhalten also:

$$ 3 \cdot (5 + 8) = (3 \cdot 5 + 3 \cdot 8) $$

Beide Verfahren führen zum gleichen Ergebnis: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Warum die Klammermultiplikation funktioniert

Warum können wir uns dieses Verfahren leisten, warum funktioniert die Multiplikation? Stellen Sie sich das Produkt als eine erweiterte Summe vor. Wenn wir zum Beispiel 3 · 7 schreiben, sagen wir damit, dass wir die Zahl sieben dreimal addieren wollen, also 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Aber wir können das Beispiel in der Klammer genauso auflösen: 3 · (5 + 8) ist dasselbe wie (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Da die Reihenfolge bei der Addition keine Rolle spielt, können wir die Klammern entfernen und die Fünfer und Achter wie folgt nebeneinander stellen: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Und hier sehen wir, dass wir diesen Ausdruck mit Hilfe der Multiplikation wie folgt umschreiben können: 3 · 5 + 3 · 8, was wir auch für die Multiplikation getan haben.

Beispiele für die Multiplikation

1. Multiplizieren Sie 5 · (4 + 7). Auch hier multiplizieren Sie einfach die Zahlen in den Klammern mit fünf, um 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7 zu erhalten.

• Multiplizieren Sie 6 · (x + 4). Lassen Sie sich nicht einschüchtern und multiplizieren Sie auch diese Zahl mit sechs. Wir erhalten: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
• Multipliziere x · (4 + 173). Jetzt haben wir die Unbekannte vor der Klammer, also multiplizieren wir beide Zahlen in der Klammer mit x. Wir erhalten x · (4 + 173) = 4x + 173x.
• Multipliziere mit: 4x · (2x + 7) Jetzt haben wir eine Unbekannte vor und in der Klammer, aber wir haben auch einen komplexeren Ausdruck vor der Klammer. Das ist wieder in Ordnung, wir multiplizieren den Inhalt der Klammer mit 2x wie folgt: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Einfache Aufzählung

Der Ausruf ist die Umkehrung der Multiplikation einer Klammer. Am Anfang haben wir zum Beispiel den Ausdruck 10x + 5. Wenn wir nun eine Zahl finden, durch die wir die beiden Summanden irgendwie vernünftig teilen können, können wir diese Zahl sozusagen wählen. In unserem Ausdruck wird dies die Zahl 5 sein, weil 10x / 5 = 2x und 5 / 5 = 1. Wir können also schreiben, dass

$$ 10x + 5 = 5 \cdot (2x + 1). $$

Wenn wir die Klammer 5 · (2x + 1) rückwärts multiplizieren, erhalten wir wieder 10x + 5. Das Ziel des Ausschlusses ist in der Regel, den Ausdruck zu vereinfachen oder ihn in Produktform zu bringen, damit wir einen Summanden in einem Bruch abschneiden können.

Deduktion der Unbekannten

Oft wird die Unbekannte selbst vorgehalten, wir müssen nicht nur die Zahl vorhalten. Wenn wir also einen Ausdruck 3x² + 7x haben, können wir x extrahieren, d.h. beide Ausdrücke durch x dividieren, Klammern hinzufügen und die Klammern mit x multiplizieren. Wir erhalten 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Normalerweise versuchen wir, so viele "Dinge" wie möglich auszugeben. Wenn wir also den Ausdruck 8x² + 12x hätten, könnten wir nur x ausgeben und bekämen 8x² + 12x = x · (8x + 12), aber wir können sehen, dass wir auch die Zahl 4 aus den Klammern ausgeben könnten. Das können wir jetzt zusätzlich tun und erhalten: x · (4 · (2x + 3)) Wir können die äußeren Klammern entfernen und erhalten: 4x · (2x + 3).

Das gleiche Ergebnis erhalten wir jedoch, wenn wir den Ausdruck 4x direkt aus dem ursprünglichen Ausdruck 8x² + 12x extrahieren. Wenn wir dies aufschlüsseln, erhalten wir

$$ 8x^2 + 12x = 4x \cdot (8x^2 / 4x + 12x / 4x) = 4x \cdot (2x + 3). $$

Komplexere Ausdrücke ausbuchstabieren

Bisher haben wir nur Ausdrücke ausgegeben, die zwei Summanden enthalten. Wir können aber auch aus längeren Ausdrücken vorlesen. Zum Beispiel können wir aus 7x³ + 5x² + 2x x herausrechnen und erhalten x · (7x² + 5x + 2).

Außerdem müssen wir nicht immer nur eine schöne Zahl vorhalten, sondern können auch Doppelpunkte vorhalten. Aus dem Ausdruck 6x + 7 können wir zum Beispiel 2 ableiten, aber wir erhalten ein hässliches Ergebnis, weil wir beide Ausdrücke durch zwei teilen müssen. Für 6x erhalten wir ein schönes Ergebnis, weil 6x / 2 = 3x, aber für die Zahl 7, erhalten wir kein schönes Ergebnis: 7 / 2 = 3,5 Wir erhalten den resultierenden Ausdruck: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Gelöste Beispiele

• Drucken Sie irgendwie 25x + 45 aus. Auf den ersten Blick können wir sehen, dass wir die Zahl 5 ausdrucken können, also erhalten wir 5 · (5x + 9).

• Vereinfachen Sie den Bruch

  $$ \frac{3x^2+7x}{x}. $$

  Das erste, was wir im Zähler des Bruches ausgeben, ist x. Wir erhalten also x · (3x + 7). Jetzt können wir x im gesamten Bruch abkürzen.

  $$ \frac{3x^2+7x}{x} = \frac{x \cdot (3x + 7)}{x} = 3x + 7 $$

• Irgendwie drucken wir −2x² − 8x aus. Hier haben wir zum ersten Mal negative Zahlen. Das ist in Ordnung, so wie wir positive Zahlen vorgehalten haben, können wir auch negative Zahlen vorhalten. Wir können also einfach zu −2x gehen. Wir erhalten

  $$ -2x^2-8x = -2x (x + 4). $$