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Kapitoly: Viele Mitglieder von, Division von Polynomen, Die Wurzel eines Polynoms, Polynome zerlegen
Ein Polynom ist ein Ausdruck, der die Variable x und die Standardoperationen der Addition, Multiplikation und Potenzierung mit einem ganzzahligen Exponenten enthält. Diese Polynome können dann auch addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert und multipliziert werden. Polynome werden auch als Polynome bezeichnet.
Grundlegende Beziehungen
Ein Beispiel für ein einfaches Polynom ist ein Polynom:
$$2x^2+5x-12$$
Im Allgemeinen kann man ein Polynom wie folgt schreiben
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,$$
wobei die reellen Zahlen vor x, d. h. an, als Koeffizienten und n als Grad des Polynoms bezeichnet werden. Die Zahl n entspricht der höchsten Potenz des Polynoms, nämlich an≠0. Wäre an gleich Null, dann würde die Variable x, zu der der Koeffizient gehört, im Wesentlichen aufgehoben, da x zu allem Null ist:
$$0^3=0.$$
Im ersten Fall ist der Grad des Polynoms also zwei, da die höchste Potenz der Variablen x, die nicht Null ist, zwei ist. Im Falle des anderen Polynoms
$$7x^2+5x^4+15x$$
gilt, dass der Grad des Polynoms 4 ist (der höchste Exponent ist 4). Normalerweise schreiben wir Polynome in absteigender Reihenfolge der verwendeten Exponenten, so dass wir das Glied mit der höchsten Potenz zuerst haben. Wir können also das vorherige Polynom wie folgt umschreiben:
$$5x^4+7x^2+15x.$$
Wir sehen, dass dem Polynom ein Term fehlt, dessen Variable den Exponenten drei und Null hätte. Das macht aber nichts, wir stellen uns einfach vor, dass der Koeffizient dieser Terme Null ist. In der Tat können wir schreiben
$$5x^4+0x^3+7x^2+15x^1 + 0x^0.$$
Wir haben zwar alle Terme bereits, aber das Polynom ist unnötig undurchsichtig. Daher lassen wir normalerweise die Nullterme weg.
Addieren und Subtrahieren von Polynomen
Das Addieren und Subtrahieren von Polynomen ist recht einfach. Wir addieren oder subtrahieren immer nur die Koeffizienten von Termen mit demselben Exponenten. Also
$$ax^n+bx^n=(a+b)x^n.$$
Ein einfaches Beispiel:
$$3x^2+5x^2=(3+5)x^2=8x^2$$
Wenn wir längere Polynome addieren wollen, müssen wir immer Glieder mit demselben Exponenten an der Variablen auswählen.
$$\begin{eqnarray} (7x^3+5x^2+x) + (2x^3-3x^2+9x) =\\ =(7+2)x^3+(5-3)x^2+(1+9)x. \end{eqnarray}$$
Wenn ein Term mit einem bestimmten Exponenten nicht im Polynom vorkommt, bleibt er unverändert (man stelle sich vor, es gäbe einen solchen Term im anderen Polynom, aber mit Nullkoeffizienten).
$$(x^3+2x)+(4x^2+5x+3)=x^3+4x^2+7x+3$$
Die Subtraktion von Polynomen funktioniert genauso wie die Addition, mit dem Unterschied, dass wir das zweite Polynom mit minus eins multiplizieren, d. h. wir vertauschen alle Vorzeichen. Es folgt ein Beispiel:
$$(3x^2+6x)-(2x^2+14x)=(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)$$
Und dies ist bereits eine klassische Addition von Polynomen, kann also wie immer addiert werden:
$$(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)=x^2-8x$$
Erinnern Sie sich daran, dass ein negativer Term in einem Polynom nach dieser Änderung positiv wird.
$$\begin{eqnarray} &&(x^2+2x)-(3x^2-10x)=\\ &=&(x^2+2x)+(-3x^2+10x)=\\ &=&-2x^2+12x \end{eqnarray}$$
Multiplikation von Polynomen
Bei der Multiplikation von Polynomen wird jedes Glied des ersten Polynoms mit jedem Glied des zweiten Polynoms multipliziert. Wir multiplizieren die Koeffizienten ganz normal, wie klassische reelle Zahlen. Im Gegensatz dazu addieren wir einfach die Exponenten der Variablen gemäß den Regeln für das Zählen mit Potenzen. Es folgt also ein Beispiel:
$$(3x^2+4x)\cdot 5x^2=(3\cdot5)x^{2+2}+(4\cdot5)x^{1+2}=15x^4+20x^3$$
In diesem Beispiel wurde noch mit einem Polynom mit einem Term gearbeitet, so dass die Multiplikation über alle Terme des Polynoms nicht veranschaulicht wurde. Es folgt ein etwas größeres Beispiel:
$$\begin{eqnarray} &&(x^3+2x)\cdot(4x^2+7x)=\\ &=&(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot7)x^{3+1}+(2\cdot4)x^{1+2}+(2\cdot7)x^{1+1} \end{eqnarray}$$
Wenn ein Minuszeichen in einem Polynom vorkommt, dann wird es normalerweise auch bei der Multiplikation erscheinen.
$$\begin{eqnarray} &&(x^3-2x)\cdot(4x^2-7x)=\\ &=&(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot(-7))x^{3+1}+(-2\cdot4)x^{1+2}+\\ &+&(-2\cdot(-7))x^{1+1}=4x^5-7x^4-8x^3+14x^2 \end{eqnarray}$$
Ändern von Polynomen
Wenn wir Polynome bearbeiten, wollen wir das Polynom klassischerweise so bearbeiten, dass es einfacher wird. Dazu verwenden wir Dinge wie Expandieren, Abschneiden, Extrudieren, Formeln anwenden und so weiter. Diese Formeln sollten Sie kennen. Eine Liste mit nützlichen Formeln finden Sie an anderer Stelle. Wir werden hier einige davon verwenden, die ich zu gegebener Zeit erwähnen werde. Die klassische Formel, die verwendet wird, ist die Formel
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Wenn Sie sich fragen, wie diese Formel zustande gekommen ist, multiplizieren Sie sie einfach aus.
$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&(a+b)(a+b)\\ &=&a^2+ab+ba+b^2\\ &=&a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray}$$
Wir beginnen mit einem einfachen Beispiel.
$$\begin{eqnarray} &&(a+b)^2+(a+2b)^2-3a\cdot2b=\\ &=&a^2+2ab+b^2+a^2+4ab+4b^2-6ab=\\ &=&2a^2+5b^2 \end{eqnarray}$$
Wir multiplizieren die beiden linken Klammern mit der Formel, die ich oben angegeben habe. Ich erinnere dich daran, dass wir die zweite Klammer wie folgt zerlegt haben
$$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2.$$
Eine andere klassische Formel ist
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$
Hier ein zweites Beispiel, diesmal mit einem Bruch. Sowohl im Zähler als auch im Nenner befinden sich Polynome, die wir versuchen werden, so zu modifizieren, dass der ganze Bruch gut gekürzt werden kann. Im ersten Schritt wenden wir die erste Formel im Zähler an, nur in umgekehrter Reihenfolge. Im Nenner wenden wir die zweite Formel an. Am Ende kürzen wir einfach (a + b) ab.
$$\begin{eqnarray} \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}&=&\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}\\ &=&\frac{(a+b)(a+b)}{(a+b)(a-b)}\\ &=&\frac{a+b}{a-b} \end{eqnarray}$$
Im dritten Beispiel versuchen wir, das Ausrufezeichen anzuwenden. Im Zähler extrahieren wir zunächst 3a3 und zerlegen dann die Klammer (4a2 − 1) nach der Formel a2 − b2. Dabei nutzen wir die Tatsache, dass
$$1^2=1^1\rightarrow(a^2-1^2)=(a+1)(a-1).$$
Im Nenner multiplizieren wir dann zunächst einfach die ersten beiden Terme, geben ebenfalls 3a3 aus und kürzen schließlich alles ab.
$$\begin{eqnarray} \frac{12a^5-3a^3}{2a^2\cdot3a^2+3a^3}&=&\frac{3a^3(4a^2-1)}{6a^4+3a^3}\\ &=&\frac{3a^3(2a+1)(2a-1)}{3a^3(2a+1)}\\ &=&2a-1 \end{eqnarray}$$