Zerlegung von Polynomen in Produkte

Ein Polynom kann in ein Produkt von Polynomen zerlegt werden. Nehmen wir an, wir haben ein Polynom

$$P_n(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,$$

Die Konstante n gibt den Grad des Polynoms an, d. h. den höchsten Exponenten des Polynoms, der keinen Nullkoeffizienten hat. Zum Beispiel hätte das Polynom x³ − 4x² − 5x den Grad 3. Alle anderen Exponenten sind entweder niedriger (Exponenten 2 und 1) oder haben einen Nullkoeffizienten. Wenn wir nun eine Wurzel k unseres Polynoms finden, dann gibt es ein weiteres Polynom Q_{n − 1}(x), das einen Grad kleiner ist und

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Das hört sich kompliziert an, aber es besagt, dass wir, wenn wir die Wurzel des Polynoms P_n(x) kennen, ein anderes Polynom Q_{n − 1}(x) finden können, das, wenn wir es mit dem Ausdruck (x − k) multiplizieren, das ursprüngliche Polynom P_n(x) ergibt, wobei das Polynom Q_{n − 1}(x) einen Grad kleiner ist als das Polynom P_n(x). Wenn wir unser Polynom P₃(x) = x³ − 4x² − 5x betrachten, sehen wir, dass eine der Wurzeln des Polynoms die Zahl k₁ = 0 ist (denn wenn wir im Polynom nach x die Null einsetzen, ist der gesamte Ausdruck gleich Null). Es muss also wahr sein, dass es ein Polynom Q₂(x) gibt, für das gilt

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Hier halten wir es einfach, weil x − 0 offensichtlich gleich x ist und wir so die Gleichung erhalten:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Aus dem ursprünglichen Polynom P₃(x) müssen wir nur x extrahieren und wir erhalten unser neues Polynom Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Dies ist die erste Zerlegung des Polynoms in ein Produkt. Wir konnten das ursprüngliche Polynom x³ − 4x² − 5x in das Produkt (x − 0) mal x² − 4x − 5 zerlegen, das ein Polynom niedrigeren Grades ist. Aber wir können dieses Polynom x² − 4x − 5 noch weiter zerlegen. Wenn wir die quadratische Gleichung lösen

$$x^2-4x-5=0$$

lösen, stellen wir fest, dass die Wurzeln dieser Gleichung die Zahlen k₂ = 5 und k₃ = −1 sind. Wir sollten also in der Lage sein, ein Polynom Q₁(x) zu finden, für das gilt

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Die Suche nach dem Polynom Q₁(x) ist nicht ganz so einfach, wir können uns zum Beispiel mit der Division von Polynomen behelfen. Dies zeigt, dass das resultierende Polynom Q₁(x) = x + 1 ist, so dass wir schreiben können

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot(x+1)$$

Das vollständige ursprüngliche Polynom P₃(x) ist gleich:

$$P(x)=x\cdot(x-5)\cdot(x+1)$$

Wenn wir das ganze Polynom auf diese Weise zerlegen, können wir die einzelnen Wurzeln gut ablesen. Wenn einer der Terme im Produkt gleich Null ist, ist auch der gesamte Ausdruck gleich Null. Aus der Schreibweise geht also hervor, dass die Wurzeln des Polynoms nur die Zahlen k₁ = 0, k₂ = 5 und k₃ = −1 sind.