Dividieren von Polynomen durch Polynome
Kapitoly: Viele Mitglieder von, Division von Polynomen, Die Wurzel eines Polynoms, Polynome zerlegen
Die Division von Polynomen ist eine nicht-triviale Operation, die relativ häufig bei der Modifizierung und Vereinfachung von Polynomen verwendet wird.
Beispiel eins
Die Division von Polynomen ist schon eine ziemlich komplizierte Sache, zumindest im Vergleich zu den vorherigen Operationen. Das Verfahren zur Division von Polynomen ist jedoch dem der gewöhnlichen manuellen Division recht ähnlich. Wir werden den gesamten Algorithmus anhand von Beispielen erläutern. Beginnen wir zum Beispiel mit einem einfachen Beispiel:
$$(4x^3+8x^2)/(2x^2)$$
Angenommen, wir haben beide Polynome in absteigender Reihenfolge sortiert und richtig eingestellt - das heißt, was wir hinzufügen konnten, haben wir hinzugefügt. Das ist für den Algorithmus nicht unbedingt notwendig, aber es vereinfacht die Berechnung. Im ersten Schritt dividieren wir den ersten Term des ersten Polynoms durch den ersten Term des zweiten Polynoms (hier hat das zweite Polynom nur einen Term, so dass der erste Term des zweiten Polynoms auch gleich dem gesamten zweiten Polynom ist). Das heißt, wir führen die Operation
$$4x^3 /, (2x^2) = \frac42x^{3-2}=2x$$
Die Division dieser Basisterme erfolgt auf die umgekehrte Weise wie die Multiplikation, das sollte nicht überraschen. Da dies der erste Schritt ist, schreiben wir ihn in den ursprünglichen Ausdruck um, den wir berechnen wollen
$$(4x^3+8x^2)/(2x^2)=2x$$
und fahren mit dem zweiten Schritt fort. Wir multiplizieren unser vorläufiges Ergebnis mit dem zweiten Polynom, dem Polynom, durch das wir dividieren.
$$2x\cdot(2x^2)=4x^3$$
Dieses Ergebnis subtrahieren wir von dem gesamten ersten Polynom. Wir schreiben es unter das erste Polynom, etwa so:
$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2)&/(2x^2)=2x\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2 \end{eqnarray}$$
An diesem Punkt bleibt ein Ergebnis unterhalb der Linie übrig, und wir wenden auf dieses Ergebnis dasselbe Verfahren an wie auf das ursprüngliche Polynom. Wir dividieren es durch den ersten Term des zweiten Polynoms.
$$8x^2/(2x^2)=4$$
Dieses Ergebnis addieren wir zu der vorherigen vorläufigen Lösung:
$$(4x^3+8x^2)/(2x^2)=2x+4$$
Und wieder zurück, multiplizieren wir das gesamte zweite Polynom mit vier
$$(2x^2)\cdot4=8x^2$$
und subtrahieren es von dem vorläufigen Ergebnis.
$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2)&/(2x^2)=2x+4\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2\\ \underline{-(8x^2)}\\ 0 \end{eqnarray}$$
Nach der Subtraktion bleibt Null übrig, und der Algorithmus ist beendet. Auf der rechten Seite haben wir das Ergebnis der Division. Wenn wir einen Test machen wollen, multiplizieren wir dieses resultierende Polynom mit dem zweiten Polynom und erhalten das erste Polynom.
$$(2x^2)\cdot(2x+4)=4x^3+8x^2$$
Das zweite Beispiel
Wir ändern das vorherige Problem ein wenig ab und versuchen zu berechnen
$$(4x^3+8x^2+7)/(2x^2).$$
Die Berechnung läuft genauso ab wie im vorherigen Beispiel, nur dass das Ergebnis nach der Subtraktion immer um sieben größer ist. Die Berechnung würde also kurz wie folgt aussehen:
$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&/(2x^2)=2x+4\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7 \end{eqnarray}$$
Das Verfahren hat sich nicht geändert, wir haben nur eine Sieben hinzugefügt. In diesem Schritt können wir nicht mehr irgendwie schön die Division der neuen Differenz (der Sieben) durch das zweite Polynom durchführen. Wir schreiben das Ergebnis einfach als Sieben, geteilt durch das gegebene Polynom, und addieren es zum Zwischenergebnis.
$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&/(2x^2)=2x+4+\frac{7}{2x^2}\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7 \end{eqnarray}$$
Bei der Rückmultiplikation mit dem zweiten Polynom erhalten wir die Sieben
$$(2x^2)\cdot\frac{7}{2x^2}=7$$
und somit erhalten wir nach der Differenz die Null.
$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&/(2x^2)=2x+4+\frac{7}{2x^2}\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7\\ \underline{-7}\\ 0 \end{eqnarray}$$
Der Algorithmus endet hier, wir haben Null erreicht.
Das dritte Beispiel
Wir erweitern das zweite Polynom um einen zusätzlichen Term.
$$(6x^7+19x^4+7)/(3x^3+5)$$
Im ersten Schritt dividieren wir den ersten Term des ersten Polynoms und den ersten Term des zweiten Polynoms, wie in den vorherigen Beispielen.
$$6x^7/3x^3=2x^4$$
Im nächsten Schritt multiplizieren wir dieses Zwischenergebnis mit dem gesamten zweiten Polynom und subtrahieren es vom ersten.
$$(3x^3+5)\cdot2x^4=6x^7+10x^4$$
Wir schreiben das ordentlich unter das ganze Beispiel.
$$\begin{eqnarray} (6x^7+19x^4+7)&/(3x^3+5)=2x^4\\ \underline{-(6x^7+10x^4)}\\ 9x^4+7 \end{eqnarray}$$
Weiter geht es mit der Division des ersten Terms des neu gebildeten Polynoms durch den ersten Term des zweiten Polynoms.
$$9x^4/3x^3=3x$$
Multipliziere mit dem ganzen zweiten Polynom:
$$(3x^3+5)\cdot3x=9x^4+15x$$
Schreiben und subtrahieren:
$$\begin{eqnarray} (6x^7+19x^4+7)&/(3x^3+5)=2x^4+3x\\ \underline{-(6x^7+10x^4)}\\ 9x^4+7\\ \underline{-(9x^4+15x)}\\ -15x+7 \end{eqnarray}$$
Das lässt sich nicht mehr vernünftig teilen, also addieren wir einfach den Bruch der beiden Polynome.
$$(6x^7+19x^4+7)/(3x^3+5)=2x^4+3x+\frac{-15x+7}{3x^3+5}$$
Wenn wir die Multiplikation und Differenz noch rückwärts durchführen würden, bekämen wir wie im vorherigen Beispiel sofort Null. Lassen Sie uns einen Test machen. Bevor wir einen gründlichen Test durchführen, können wir einen Schnelltest machen. Setzen wir einen trivialen Wert, z. B. Null, in die Ausdrücke ein. Wenn wir zum Ergebnis nach der Division Null addieren, erhalten wir
$$0+0+\frac{0+7}{0+5}=\frac75.$$
Wenn wir Null zu den Ausdrücken addieren, die wir dividieren, erhalten wir
$$(0+0+7)/(0+5)=\frac75.$$
Wenn unsere Behandlung korrekt ist, müssen die beiden Werte das gleiche Ergebnis liefern. Wie wir sehen können, sind die Werte gleich. Dieses Verfahren garantiert zwar keine vollständige Korrektheit, da wir alle möglichen Werte, die wir für den Parameter x ersetzen können, testen müssten, aber es kann schnell einen Fehler aufdecken. Versuchen wir das Gleiche mit einem. Addieren wir ihn zum Ergebnis und wir erhalten:
$$2+3+\frac{-15+7}{3+5}=5-\frac88=4.$$
Setzt man die ursprünglichen Ausdrücke ein, erhält man
$$(6+19+7)/(3+5)=\frac{32}{8}=4.$$
Es ist auf dem richtigen Weg, aber wir müssen die gesamte Multiplikation durchführen, um eine endgültige Bestätigung zu erhalten.
$$\begin{eqnarray} (3x^3+5)\cdot(2x^4+3x+\frac{-15x+7}{3x^3+5})&=&(3x^3+5)\cdot2x^4+(3x^3+5)\cdot3x+(-15x+7)\\ &=&6x^7+10x^4+9x^4+15x-15x+7\\ &=&6x^7+19x^4+7 \end{eqnarray}$$
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