Gebrochene Ausdrücke

Ein Bruch ist ein Bruch, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Polynom enthält. Normalerweise versuchen wir, einen Bruchausdruck in einen kürzeren, schöneren Ausdruck zu vereinfachen.

Grundlagen

Auch hier hat ein Bruchausdruck die folgende Form:

$$\frac{\mbox{ mehrteilig }}{\mbox{ mehrteilig }}$$

Ein Beispiel für einen gebrochenen Ausdruck wäre also der folgende Ausdruck:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Die Herausforderung besteht nun darin, diesen Ausdruck zu vereinfachen. Bei der Vereinfachung verwenden wir dieselben Techniken wie bei der Umformung von Polynomen, d. h. wir verwenden Dinge wie Heulen und verschiedene nützliche Formeln. Im nächsten Abschnitt werden die am häufigsten verwendeten Modifikationen zusammengefasst.

Ein gebrochener Ausdruck sollte eine Variable im Nenner enthalten; wir sagen zum Beispiel nicht, dass dies ein gebrochener Ausdruck ist:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Bei einem gebrochenen Ausdruck geben wir normalerweise auch die Bedingungen an, unter denen der gebrochene Ausdruck sinnvoll ist. Bei einem gebrochenen Ausdruck darf der Nenner nicht gleich Null sein, da er bekanntlich nicht durch Null teilbar ist.

Techniken

Es gibt viele Techniken, die wir bei der Umformung von Ausdrücken verwenden, daher werde ich versuchen, einige gängige Techniken zusammenzufassen. Zunächst einmal gibt es das Abschneiden von Brüchen. Wenn wir also sowohl im Zähler als auch im Nenner Ausdrücke haben, zwischen denen wir nur multiplizieren, können wir kürzen:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Hier haben wir die Variable a gekürzt. Wenn der Bruch wie folgt aussehen würde

$$\frac{2a+10}{5a}\ne\frac{2+10}{5},$$

dann können wir nicht kürzen. Der Zähler steht in der Summe, also ist das Kürzen nicht erlaubt. Es kommt oft vor, dass wir, obwohl der Nenner oder Zähler eines Bruchs in der Summenform steht, etwas im Ausdruck machen und dann kürzen können. Beispiel: In einem Bruch

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

haben wir den Zähler in Form einer Summe, aber wir können a ausdrucken und dann abkürzen

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Eine häufige Änderung ist auch die Zerlegung nach einer Formel. Oben hatten wir einen gebrochenen Ausdruck

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Wenn wir die Formel auf den Zähler anwenden

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

anwenden, erhalten wir einen neuen gebrochenen Ausdruck

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

und hier können wir die ganze Klammer (x + 1) abkürzen:

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Dann natürlich verschiedene Additionen und Multiplikationen von Polynomen, Anpassen von Potenzen, Addieren von Brüchen, usw.

Das erste Beispiel

Beispielzuweisung:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Wir sehen, dass wir im Zähler und im Nenner eine Zwei absetzen können, die wir dann abschneiden können:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

Im Zähler können wir auch eine Drei ausgeben:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Wir können den ganzen Ausdruck a + 2b abkürzen und es bleibt eine Drei übrig:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac31=3$$

Die Terme dieses gebrochenen Ausdrucks:

$$a+2b\ne0$$

Zweites Beispiel

Beispiel Zuweisung:

$$\left(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}\right)\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$

Im ersten Schritt subtrahieren wir die Brüche in der inneren Klammer:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$

Anschließend multiplizieren wir die Klammern im Nenner. Aufmerksame Schüler werden feststellen, dass wir die Formel a² − b² anwenden können:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$

Wir haben im Nenner des ersten Bruchs denselben Ausdruck wie im Zähler des zweiten Bruchs, und da wir diese Brüche multiplizieren, können wir diesen Ausdruck zum Multiplizieren verwenden:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot\frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Jetzt müssen wir ein wenig grob arbeiten und multiplizieren und die Klammern im Zähler hinzufügen und schließlich einfach multiplizieren:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Wir werden die Terme entsprechend der Aufgabenstellung bestimmen. Es gibt insgesamt drei Brüche, keiner der Nenner kann gleich Null sein.

$$\begin{eqnarray} x&\ne&2\\ x&\ne&-2\\ x&\ne&0 \end{eqnarray}$$

Das dritte Beispiel

Wir geben einen weiteren Bruchausdruck ein:

$$\left(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1}\right)$$

Also addieren und subtrahieren wir zunächst wieder langweilig die Ausdrücke in Klammern. Die erste Differenz wird einfach sein, weil beide Brüche denselben Nenner haben.

$$\left(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Wir multiplizieren und addieren die Ausdrücke in den Zählern:

$$\left(\frac{2b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Im ersten Bruch kürzen wir die Variable b ab und erweitern die beiden um a, damit wir sie zum ersten Bruch addieren können:

$$\left(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a}\right)\cdot\frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Wir addieren die Brüche in der ersten Klammer und im zweiten Bruch setzen wir a im Zähler ab.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot\frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

So, jetzt können wir a abschneiden:

$$\frac{2+2a}{\fbox{a}}\cdot\frac{\fbox{a}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Jetzt multiplizieren wir einfach den Ausdruck auf der linken Seite mit dem Bruch.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Aus der ersten Klammer ziehen wir eine Zwei heraus:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Jetzt können wir (1 + a) abkürzen (der gleiche Ausdruck im Nenner, nur in umgekehrter Reihenfolge a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Und das ist der endgültige vereinfachte Bruchausdruck, mit dem man nichts Vernünftiges anfangen kann. Bedingungen:

$$\begin{eqnarray} ab&\ne&0\rightarrow a,b\ne0\\ a&\ne&-1\\ b&\ne&-1 \end{eqnarray}$$

Division von Polynomen

Man kann die gebrochenen Ausdrücke auch mit dem Algorithmus zur Division von Polynomen durch Polynome lösen. Das kann praktisch sein, wenn man einige klassische Mittel zur Umformung von Ausdrücken nicht verwenden kann.