Addition und Subtraktion

Addition und Subtraktion sind die grundlegendsten mathematischen Operationen, die man auch im Alltag braucht. Obwohl wir viele verschiedene Strukturen addieren können, werden wir uns hier nur mit der Addition ganzer Zahlen beschäftigen.

Addition

Die Operation der Addition wird durch das Pluszeichen + gekennzeichnet. Außerdem addieren wir Summanden, wenn wir also 2 + 3 addieren wollen, dann werden sowohl zwei als auch drei als Summanden bezeichnet. Das Ergebnis ist dann die Summe, also ist die Fünf in dem Ausdruck 2 + 3 = 5 die Summe.

Wir können praktisch jede Zahl addieren, ob natürliche Zahlen wie 1, 5, 157 oder negative Zahlen wie -4, -74. Wir können auch rationale Zahlen oder Brüche, reelle Zahlen wie π und schließlich komplexe Zahlen addieren. Wir können auch andere Strukturen addieren - Matrizen oder Vektoren.

Die Addition wird in der Regel anhand eines Stapels von Äpfeln erklärt: Wenn du drei Äpfel in deinem Korb hast und jemand dir vier weitere Äpfel gibt, wie viele Äpfel bleiben dann übrig? Sie haben dann 3 + 4 = 7 übrig.

Wie man große Zahlen addiert

Wenn ich dir die Aufgabe stellen würde, 17564 und 3272 zu addieren, würdest du das Ergebnis wahrscheinlich nicht auf Anhieb erkennen können. Deshalb benutzen Sie entweder einen Taschenrechner oder einen Stift und Papier. Ich werde Ihnen nicht zeigen, wie man das Ergebnis in einen Taschenrechner eintippt, sondern wir konzentrieren uns auf den Vorgang auf Papier.

Schreibe die Zahlen, die wir addieren wollen, untereinander und richte sie nach rechts aus - so dass die gleichen Ordnungen (Zehner, Hunderter, ...) untereinander stehen. Mache einen waagerechten Strich unter beide Zahlen. Das würde dann so aussehen:

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline \end{array}$$

Nun addieren wir die Zahlen, die untereinander liegen. Wenn die Summe der Zahlen kleiner als zehn ist, schreiben wir einfach die Summe unter die Linie. Wir gehen von der rechten Seite aus vor, beginnend mit der kleinsten Reihenfolge. Wir addieren also zuerst 4 + 2, was sechs ergibt. Sechs ist kleiner als zehn, also schreiben wir die Zahl sechs unter die Zeile:

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&&&6 \end{array}$$

Wir gehen weiter und addieren 6 + 7. Das ist gleich 13, was bereits größer als zehn ist. An dieser Stelle schreiben wir einfach die Ziffer an der Einerstelle unter den Strich, also eine Drei (die Zehn von der Dreizehn abziehen).

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&&3&6 \end{array}$$

Was ist mit der Eins passiert, die wir abgeschnitten haben? Und wofür steht sie? Im Moment zählen wir die zweite Spalte von rechts, die die Zehner in der Zahl darstellt. Wir haben also tatsächlich Zehner addiert, d. h. wir haben 60 + 70 = 130 addiert. Wir haben beschlossen, die Zahl 30 zu behalten und 100 für später wegzulegen. Für wann? Für den nächsten Schritt, die nächste Spalte. Im nächsten Schritt müssen wir die Ziffern addieren, die den Hundertern entsprechen. Und wir haben einen zusätzlichen Hunderter, den wir durch die Addition der Zehner erhalten haben. Es ist also nicht einfacher, diesen Hunderter im nächsten Schritt der Addition zu addieren.

Anstatt also im nächsten Schritt 5 + 2 zu addieren, addieren wir 5 + 2 + 1, wobei die Eins für den Hunderter steht, den wir bei der Addition im letzten Schritt erhalten haben. Die Summe ist acht, was weniger als zehn ist. Also schreiben wir acht unter die Zeile.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&8&3&6 \end{array}$$

Im nächsten Schritt wird kein zusätzlicher Hunderter addiert, also nur 7 + 3 = 10. Diese Zahl ist nicht kleiner als zehn, also schreiben wir die letzte Ziffer unter die Linie und eine Eins. Wir schreiben also eine Null unter die Zeile und behalten einen zusätzlichen Tausender bis zum nächsten Schritt.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &0&8&3&6 \end{array}$$

In der letzten Spalte haben wir nur die Ziffer in der ersten Zeile. In der zweiten Zeile stellen wir uns also eine Null vor und fügen 1 + 0 hinzu, wobei wir nicht vergessen dürfen, die Eins aus dem letzten Schritt hinzuzufügen: 1 + 0 + 1 = 2 Unter die Zeile schreiben wir eine Zwei.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline 2&0&8&3&6 \end{array}$$

Damit ist der Algorithmus abgeschlossen und wir haben die Summe der Zahlen 17564 + 3272.

Animation des Additionsverfahrens auf Papier

Du kannst zwei natürliche Zahlen in die folgenden Kästchen schreiben und dann einfach die Animation des gesamten Vorgangs genießen.

Grafische Darstellung der Addition

Wir können die Addition grafisch auf einer Zahlengeraden darstellen. Die Zahlengerade ist die gerade Linie, auf der alle Zahlen aufgetragen sind. Sie kann wie folgt aussehen:

Wenn wir die Addition von zwei Zahlen, z. B. 3+4, auf dieser Zahlengeraden darstellen wollten, würden wir Folgendes tun: Wir würden eine Linie zeichnen, die am Ursprung, der Null, beginnt und bei der Drei endet. Wenn wir addieren, zeigen wir mit der Linie nach rechts zu dem Punkt, an dem wir begonnen haben. Also, etwa so:

Jetzt zeichnen wir eine Vier auf die Zahlenlinie. Aber an diesem Punkt beginnen wir bei der Zahl drei und nehmen von dort aus ein Liniensegment rechts von der Vier. Und los geht's:

Der Punkt, an dem die zweite, grüne Linie endet, stellt das Endergebnis dar: 3 + 4 = 7.

Subtraktion

Die Subtraktion ist die umgekehrte Operation zur Addition. Wenn du die Zahl b zu einer Zahl a addierst und die Zahl b subtrahierst, erhältst du die Zahl a zurück. Wir zeigen das Verfahren am Beispiel 158 748 − 99 57. Wie bei der Addition werden wir die Zahlen untereinander schreiben:

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline \end{array}$$

Das Ergebnis schreiben wir, wie bei der Addition, unter die Zeile. Wir gehen von rechts aus und beginnen mit den kleinsten Zeilen. Wir zählen zuerst die Einheiten. Wenn die obere Zahl nicht kleiner ist als die untere, schreiben wir die Differenz der oberen Zahl − unter die Zeile. (Oder umgekehrt - wenn die untere Zahl kleiner oder gleich ist, können wir getrost subtrahieren). Anstelle von Einheiten ist die obere Zahl nicht kleiner, also schreiben wir die Differenz 8 − 5 = 3.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&&&3 \end{array}$$

Wenn wir eine Zahl nach links verschieben, befinden wir uns in der Zehnerstelle. Hier ist die obere Zahl bereits kleiner als die untere Zahl. An dieser Stelle addieren wir eine Zehn zur oberen Zahl und führen dann die gleiche Berechnung durch: obere Zahl + 10 − untere Zahl. Das Ergebnis ist dann gleich 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&&7&3 \end{array}$$

An dieser Stelle haben wir uns mit der Subtraktion von Zehnerzahlen geholfen, indem wir Zehnerzahlen mit einbezogen haben. Zehn Zehner sind einhundert, also subtrahieren wir im nächsten Schritt weitere hundert. Das heißt, wir addieren die Eins aus dem vorherigen Schritt zu den unteren fünf.

Anstelle der Hunderter lösen wir also, ob sieben (die obere Zahl) kleiner ist als sechs (die untere Zahl + 1 ). Das ist nicht der Fall, also können wir die Standarddifferenz oben minus unten bilden. Aber auch mit der Differenz müssen wir zur unteren Zahl eine addieren, so dass wir am Ende 7−(5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1 erhalten.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&1&7&3 \end{array}$$

Wir übertragen nichts in den nächsten Schritt, wir mussten in diesem Schritt keine höheren Ordnungen ausleihen. Wir fügen also nichts zu irgendetwas anstelle von Tausend hinzu. Es stimmt jedoch, dass die Acht in der oberen Zahl kleiner ist als die Neun in der unteren Zahl, also müssen wir eine Zehn zur oberen Zahl addieren. So erhalten wir die Differenz 8 + 10 − 9 = 9.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&9&1&7&3 \end{array}$$

Im nächsten Schritt wandeln wir die Eins um und addieren sie zur unteren Zahl. Neun plus eins ist zehn, die oberen fünf sind kleiner als zehn. Wir addieren zehn zu der oberen Zahl und erhalten die Differenz: 5 + 10−(9 + 1) = 5.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&5&9&1&7&3 \end{array}$$

Wieder haben wir uns zu einer höheren Ordnung verholfen, also tragen wir die Eins in den nächsten Schritt. Dort fehlt unten eine Zahl, also gehen wir von Null aus. Wenn wir die Eins addieren, erhalten wir das Ergebnis von Eins. Die obere Zahl ist nicht kleiner als die untere Zahl (wir haben jetzt die obere Zahl gleich der unteren Zahl), also können wir einfach subtrahieren: 1 − 1 = 0.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &0&5&9&1&7&3 \end{array}$$

Und wir haben das Ergebnis. Wir können die Null am Anfang entfernen und schreiben: 158 748 − 99 575 = 59 173.

Grafische Darstellung der Subtraktion

Die Subtraktion kann, wie die Addition, auf der Zahlengeraden dargestellt werden. Nur wenn wir die Linie zeichnen, ändern wir ihre Richtung. Wir legen die Linie nicht rechts vom aktuellen Punkt an, sondern links. Wenn wir also 2 − 5 subtrahieren wollen, würden wir wie folgt vorgehen. Zuerst würden wir eine Zwei an die Zahlenlinie anlegen, in positiver Richtung, denn die Zwei ist positiv, Wir subtrahieren die Vier, wenn sie umgekehrt wird.

Nun legen wir eine zweite Linie auf die Achse, um minus fünf darzustellen. Wir beginnen an dem Punkt, an dem wir aufgehört haben, also bei zwei. Aber wir ziehen die Linie rückwärts, nach links.