Die Matrix

Die Matrix über dem Körper P ist eine Darstellung von $\left\{1, 2, \ldots, n\right\} \times \left\{1, 2, \ldots, m\right\} \rightarrow P$. Die Matrix wird normalerweise mit Großbuchstaben dargestellt: A = (…). Und jetzt auf Tschechisch.

Grundlegende Konzepte

Eine Matrix ist, kurz gesagt, eine Art Tabelle mit n Spalten und m Zeilen, wobei die Beschriftung der Zeilen und Spalten nicht immer gleich sein muss, Vorsicht. Jede Zelle der Tabelle enthält dann eine Zahl oder einen anderen Ausdruck. Die Matrix muss nicht rein numerisch sein, auch wenn Sie anfangs wahrscheinlich keine anderen Matrizen kennenlernen werden. Wie könnte also eine Matrix aussehen?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&51\end{array}\right)$$

Diese Matrix hat zwei Zeilen und drei Spalten. Die Elemente der Matrix werden durch Indizes bezeichnet, wobei anstelle eines Großbuchstabens ein Kleinbuchstabe verwendet wird: a₁₁ = 0 oder a₂₃ = 51. Der erste Index bezeichnet die Zeile, der zweite Index die Spalte.

Spezielle Matrixtypen

Matrizen können unterschiedliche Eigenschaften haben, und einige spezielle Matrizen haben sogar eigene Namen.

Einequadratische Matrix ist eine Matrix, die die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten hat. Wenn eine Matrix nicht quadratisch ist, ist sie rechteckig. Beispiel für eine quadratische Matrix:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right)$$

EineNullmatrix ist eine Matrix, die an allen Stellen Nullen hat. a_ij = 0.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$$

Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, die Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen überall sonst hat. Die Hauptdiagonale ist wie eine "Diagonale" von links nach rechts. Kurz gesagt, es sind die Zahlen auf den Koordinaten, wo die i = j.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)$$

EineTreppenmatrix ist eine Matrix, die am Ende Nullzeilen hat (oder keine Nullzeilen) und jede Nicht-Nullzeile hat am Anfang mehr Nullen als die vorherige Zeile. Alle diese Matrizen sind Treppenmatrizen:

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&\pi\\0&0&1\end{array}\right), \quad A_2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right),\quad A_3=\left( \begin{array}{ccccc} 1& 1& 1& 1& 8\\ 0& 0& 0& 5& 1\\ 0 &0& 0& 0 &5 \end{array}\right)$$

Eine zur Matrix Atransponierte Matrix ist eine Matrix A^T, für die $a_{ij} = a^T_{ji}$ gilt, d. h. das Element, das in der i-ten Zeile und j-ten Spalte stand, befindet sich in der j-ten Zeile und i-ten Spalte der transponierten Matrix. Kurz gesagt, Sie vertauschen die Zeilen der Matrix mit den Spalten.

$$\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right)^T &=& \left(\begin{array}{ccc}0&8&47\\1&5&154\\5&23&2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\6&7&8\end{array}\right)^T&=&\left(\begin{array}{cc}3&6\\4&7\\5&8\end{array}\right) \end{eqnarray}$$

Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix A, die die Gleichheit A = A^T erfüllt. Die Elemente, die auf der Diagonale symmetrisch sind, sind gleich. Wir können also schreiben, dass $a_{ij}=a_{ji}$.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}9&3&4\\3&7&0\\4&0&2\end{array}\right)$$

Eine antisymmetrische Matrix ist fast dasselbe wie eine symmetrische Matrix, mit dem Unterschied, dass die Elemente auf der anderen Seite entgegengesetzte Vorzeichen haben: A = −A^T Aus diesem Grund müssen die Elemente auf der Hauptdiagonale Null sein, denn a = −a = 0.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&-3&-4\\3&0&5\\4&-5&0\end{array}\right)$$

EineDiagonalmatrix ist eine Matrix, die überall Nullen hat, außer auf der Hauptdiagonalen. Genauer gesagt, muss es überall sonst Nullen geben, was auf der Hauptdiagonalen liegt, ist nicht festgelegt.

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}9&0&0\\0&7&0\\0&0&2\end{array}\right), \quad A_2=\left(\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$$

Grundlegende Matrixoperationen

Wir können Matrizen addieren, wir können Matrizen mit einer Zahl multiplizieren, und wir können Matrizen miteinander multiplizieren.

DasAddieren von Matrizen ist ziemlich intuitiv. Wenn die Matrizen vom gleichen Typ sind (= gleiche Anzahl von Spalten und Zeilen), enthält die resultierende Matrix die Summen der Zahlen an den entsprechenden Stellen in den vorherigen Matrizen. Oder wenn wir die Matrizen A + B = C addieren, dann gilt $a_{ij} + b_{ij} = c_{ij}$.

$$\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}5&4&3\\10&20&30\\7&-54&-12\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}5&5&8\\18&25&53\\54&100&-10\end{array}\right)$$

Die Addition von Matrizen ist natürlich kommutativ und assoziativ. A + B = B + A und A + (B + C) = (A + B) + C.

DieMultiplikation von Matrizen mit einer Zahl ist ebenfalls intuitiv. Man nimmt eine Zahl und multipliziert jedes Element der Matrix mit ihr, mehr nicht. k · A = k · a_ij.

$$5\cdot \left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}0&5&25\\40&25&115\\235&770&10\end{array}\right)$$

Multiplikation von Matrizen

Die Multiplikation von Matrizen ist etwas schwieriger, weil sie nicht mehr so intuitiv ist, wie man es erwarten würde. Es reicht nicht aus, die entsprechenden Terme einfach zu multiplizieren. Zunächst einmal muss die Matrix das Kriterium erfüllen, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix sein muss. Der Rest kann willkürlich sein. Nun können wir das Produkt definieren (n ist die Anzahl der Spalten der ersten Matrix):

$$(A\cdot B)_{ij}=\sum_{p=1}^{n}a_{ip}\cdot b_{pj}$$

So viel weißt du schon, oder? Jetzt werde ich versuchen, es den weniger Schlauen zu erklären :-). Du nimmst die erste Zeile der ersten Matrix und die erste Spalte der zweiten Matrix. Nun multipliziert man das erste Element mit dem ersten Element und addiert es mit der Multiplikation des zweiten Elements mit dem zweiten Element und addiert, usw. So erhält man das Element c₁₁ in der neuen Matrix C. Das beste Beispiel ist. Multiplizieren Sie die beiden Matrizen:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right)$$

Wählen Sie nun die erste Zeile der ersten Matrix und die erste Spalte der zweiten Matrix:

$$A=\left(\begin{array}{cc}\fbox{1}&\fbox{2}\\3&4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}\fbox{5}&6\\\fbox{7}&8\end{array}\right)$$

Der Einfachheit halber bezeichnen wir die neu gebildete Matrix als C. Um das erste Element dieser Matrix zu erhalten, müssen wir Folgendes berechnen: $c_{11} = a_{11}\cdot b_{11} + a_{12}\cdot b_{21}$ Beachten Sie, dass die Zeile im Index an erster Stelle steht, dann die Spalte. Nach der Substitution erhalten wir: : 1 · 5 + 2 · 7 = 19 Das erste Element hat den Wert 19:

$$C=\left(\begin{array}{cc}19&?\\?&?\end{array}\right)$$

Das nächste Element, c₁₂, erhält man auf die gleiche Weise, aber man nimmt die erste Zeile und die zweite Spalte. Diese langwierige Berechnung ergibt immer das Element, das sie gemeinsam haben. Die erste Zeile und die erste Spalte haben ein gemeinsames Element bei den Koordinaten c₁₁, die erste Zeile und die zweite Spalte wiederum c₁₂. Die folgende Abbildung zeigt dies sehr schön:

Produkt von Matrizen

Jetzt multipliziere ich noch schnell den Rest der Matrix:

$$\begin{eqnarray} c_{12} &=& a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22.\\ c_{21} &=& a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43.\\ c_{22} &=& a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{eqnarray}$$

Schreiben Sie diese Zahlen einfach in die Matrix:

$$C=\left(\begin{array}{cc}19&22\\43&50\end{array}\right)$$

Die Korrektheit des Ergebnisses können wir in Excel oder OpenOffice Calc überprüfen, die Funktionen für die Arbeit mit Matrizen enthalten. Sie können auch den interaktiven Online-Matrixmultiplikationsrechner benutzen.

Nun einige allgemeine Informationen zur Matrixmultiplikation. Zunächst einmal ist die Matrixmultiplikation nicht kommutativ. Es ist im Allgemeinen nicht wahr, dass A · B = B · A, obwohl dies natürlich der Fall sein kann. Aber die Matrixmultiplikation ist assoziativ. Sie ist sogar distributiv mit Addition: A (B + C) = AB + AC. Wenn wir zwei Matrizen $a_{ix}\cdot b_{xn}$ multiplizieren, dann ist die resultierende Matrix vom Typ i × n (sie hat so viele Zeilen wie die erste Matrix Zeilen und so viele Spalten wie die zweite Matrix Spalten hat).

Beispiele

Wir haben die folgenden drei Matrizen erhalten:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right),,B=\left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right),,C=\left(\begin{array}{cc}8&9\\-5&4\\10&-1\end{array}\right).$$

Führen Sie das Produkt der Matrizen A · B aus.

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}36&41&43\\90&98&106\\144&155&169\end{array}\right)$$

Führen Sie das Produkt der Matrizen B · A durch.

Beachten Sie, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist, so dass wir nicht mit Sicherheit sagen können, dass das Ergebnis dasselbe sein wird wie im vorherigen Beispiel. Wir müssen es einfach noch einmal berechnen:

$$\left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}68&82&96\\86&112&138\\87&105&123\end{array}\right)$$

Bilden Sie das Produkt der Matrizen A · C und C · B.

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}8&9\\-5&4\\10&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}28&14\\67&50\\106&86\end{array}\right)$$

Das zweite Beispiel kann nicht berechnet werden, weil die Anzahl der Spalten der ersten Matrix nicht mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmt.

Grundlegende Matrixanpassungen

Um effizient mit Matrizen arbeiten zu können, müssen wir einige elementare Matrixanpassungen definieren. Zunächst können wir die Zeilen/Spalten der Matrix mit einer anderen Zahl als Null multiplizieren. Die Multiplikation erscheint dann genauso wie k-multiply matrix, aber nur in dieser Zeile/Spalte.

Die zweite Änderung besteht darin, k-mal j-diese Zeile zu i-diese Zeile zu addieren. Dasselbe gilt für die Spalten. Klingt ein bisschen gruselig, ist aber eigentlich ganz einfach. Lassen Sie uns dies für k = 1 demonstrieren. Wir haben dann diese Matrix:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)$$

Nun addieren wir die zweite Zeile zur ersten Zeile. Wir nehmen also die zweite Zeile und addieren die Zahlen an den entsprechenden Stellen zu den Zahlen der ersten Zeile. Mit den Zahlen in der zweiten Zeile passiert nichts, nur die erste Zeile ändert sich:

$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)$$

Jetzt können wir mit den Änderungen fortfahren. Versuchen wir nun, das Doppelte der ersten Zeile zur dritten Zeile hinzuzufügen. Nehmen Sie die erste Zeile aus dieser neu erstellten Matrix, multiplizieren Sie sie mit zwei, um die Zeile (10, 14, 18) zu erhalten, und fügen Sie diese Zahlen zur dritten Zeile hinzu. Auch hier gilt: Die erste Zeile ändert sich nicht, nur die dritte Zeile ändert sich:

$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\17&22&27\end{array}\right)$$

Addieren Sie nun wieder die Summe der ersten und zweiten Zeile zur dritten Zeile. Im Grunde ist das nichts Neues, denn wenn wir erst die zweite Zeile und dann die erste Zeile zur dritten Zeile addieren, müssen wir zum gleichen Ergebnis kommen. Die Summe der ersten und zweiten Zeile wird gleich sein: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15) Die Summe aus dieser Zeile und der dritten Zeile ist dann gleich: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\26&34&42\end{array}\right)$$

Und noch eine Spaltenanpassung (diese werden normalerweise nicht so oft verwendet, weil sie nicht so klar sind). Wir addieren die erste Spalte zur zweiten Spalte:

$$\left(\begin{array}{ccc}5&12&9\\4&9&6\\26&60&42\end{array}\right)$$

Und zum allerletzten Mal, multiplizieren wir die zweite Zeile mit zwei:

$$\left(\begin{array}{ccc}5&12&9\\8&18&12\\26&60&42\end{array}\right)$$

Lineare Abhängigkeit

Nun wollen wir erklären, was abhängige Zeilen/Spalten sind. Eine Zeile ist linear abhängig, wenn sich diese Zeile als Linearkombination der anderen Zeilen der Matrix ausdrücken lässt. Kurz gesagt, wenn Sie Zeilen auf verschiedene Weise addieren können, so dass Sie die gesuchte Zeile erhalten, ist diese Zeile linear abhängig. Beispiel:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\6&9&12\end{array}\right)$$

Wenn Sie die erste Zeile und die zweite Zeile doppelt nehmen, erhalten Sie die dritte Zeile. Wenn Sie diese Kombination von der dritten Zeile abziehen, erhalten Sie eine Nullzeile (eine Zeile, die nur Nullen enthält). Diese Zeile ist abhängig. Wir nehmen also die Anpassung wie folgt vor (erste Zeile mit zwei multiplizieren, zur zweiten Zeile addieren, von der dritten Zeile subtrahieren):

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\6&9&12\end{array}\right)\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\4&5&6\\6&9&12\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\6&9&12\\6&9&12\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\6&9&12\\0&0&0\end{pmatrix}$$

Wenn wir eine Matrix A haben, die n Zeilen hat und A_i die i-te Zeile bezeichnet, dann sagen wir, dass die Matrix keine linear abhängige Zeile enthält, wenn:

$$\alpha_1A_1+\alpha_2A_2+\ldots+\alpha_nA_n={\bf 0}$$

nur wenn α₁, α₂, …, α_n = 0. Die Null auf der rechten Seite der Gleichung steht für die Nullzeile. Das heißt, wenn die einzige Lösung dieser Gleichung die Null-Lösung ist. Findet man eine andere Lösung, dann enthält die Matrix eine linear abhängige Zeile. Ähnliches gilt für die Spalte. Für die vorherige Matrix würde Folgendes gelten:

$$\begin{eqnarray} &&2\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}-1\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}=\\ &&=\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

Die Alpha-Werte sind also α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Die Anzahl der unabhängigen Zeilen oder Spalten gibt den Rang der Matrix an.

Reguläre und singuläre Matrizen

Eine Matrix wird als regulär bezeichnet, wenn sie einen maximalen Rang hat (d. h. wenn es keine linear abhängigen Zeilen gibt) und wenn sie eine quadratische Matrix ist. Eine quadratische Matrix wird als singulär bezeichnet, wenn sie nicht regulär ist (d. h. wenn die Matrix mindestens eine linear abhängige Zeile enthält). Diese beiden Begriffe sind sehr wichtig, oder besser gesagt, es gibt oft Definitionen, die auf ihnen basieren. Viele Dinge sind nur definiert, wenn die Matrix regulär ist.