Umgekehrte Matrizen

Eine inverse Matrix ist eine Matrix, die auf quadratischen regulären Matrizen definiert ist. Wenn die Matrix und ihre inverse Matrix multipliziert werden, erhält man die Einheitsmatrix.

Definition

Die inverse Matrix kann nur aus einer quadratischen Matrix berechnet werden, die inverse Matrix ist nicht für eine rechteckige Matrix definiert. Außerdem gibt es eine inverse Matrix zu einer Matrix A (bezeichnet mit A⁻¹) nur, wenn die Matrix regulär ist (keine linear abhängigen Zeilen hat). Diese Matrix ist dann eindeutig bestimmt. Die beiden wichtigsten Eigenschaften der inversen Matrix sind:

$$(A^{-1})^{-1}=A$$

Die wichtigste Eigenschaft einer inversen Matrix (die auch die Definition einer inversen Matrix ist):

$$A\cdot A^{-1} = E$$

E Sie ist eine Einheitsmatrix.

Wie berechnet man die inverse Matrix?

Nun zu der Methode zur Berechnung der inversen Matrix. Der einfachste Algorithmus ist die Gaußsche Eliminationsmethode, die darin besteht, die Matrix A in eine Einheitsmatrix umzuwandeln und die Einheitsmatrix neben diese Matrix zu schreiben und an dieser Matrix die gleichen Änderungen vorzunehmen wie an der Matrix A. Am Ende des Rechenvorgangs hat man die Matrix A, die zur Einheitsmatrix auf der linken Seite modifiziert wurde, und die inverse Matrix auf der rechten Seite. Lassen Sie uns dies an einem einfachen Beispiel ausprobieren:

$$\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)$$

Ein kurzer Blick zeigt, dass die Matrix regulär ist, also ist es sinnvoll, die inverse Matrix zu berechnen. Wenn wir die inverse Matrix berechnen, schreiben wir sie normalerweise in dieser Form:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{array}\right)$$

Jetzt passen wir die linke Matrix zu einer Einheitsmatrix an und nehmen die gleichen Anpassungen an der rechten Matrix vor. Wir addieren −3 das Vielfache der ersten Zeile zur zweiten. Zuerst die linke Matrix:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&0&1\end{array}\right)$$

Nun addieren wir −3, das Vielfache der ersten Zeile der rechten Matrix, zur zweiten Zeile der rechten Matrix:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&-3&1\end{array}\right)$$

Jetzt brauchen wir eine Null an der Position a₁₂. Addieren Sie einfach die zweite Zeile zur ersten Zeile. Ich werde nun beide Anpassungen in einem Schritt vornehmen:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&-2&-3&1\end{array}\right)$$

Jetzt werden wir die Minus-Zwei los, indem wir die ganze Zeile durch Minus-Zwei dividieren:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&1&\frac32&-\frac12\end{array}\right)$$

Die resultierende inverse Matrix ist:

$$\left(\begin{array}{cc}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{array}\right)$$

Wenn Sie überprüfen wollen, ob die berechnete inverse Matrix korrekt ist, multiplizieren Sie sie mit der ursprünglichen Matrix:

$$\left(\begin{array}{cc}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$$

Um das zu überprüfen, können Sie bei WolframAlpha nachsehen.

Berechnung über die Determinante

Wir können die inverse Matrix auch mit Hilfe der Determinante berechnen. Es ist wahr, dass, wenn wir eine reguläre Matrix A haben, die inverse Matrix A⁻¹ Elemente a⁻¹_ij hat, die gleich sind:

$$a^{-1}_{ij}=\frac{(-1)^{i+j}\cdot\left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Auf der linken Seite haben wir i,j, aber im Zähler haben wir j,i, achten Sie darauf, es ist kein Fehler, es so zu vertauschen. Im Zähler haben wir die Matrix A_j,i, die eine Untermatrix der Matrix A ist, die wir erhalten, wenn wir die j-te Zeile und i-te Spalte aus der Matrix A entfernen. Wenn also

$$ A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}, $$

es ist:

$$ A_{1{,}1}=\begin{pmatrix} \not{1}&\not{2}&\not{3}\\ \not{4}&5&6\\ \not{7}&8&9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5&6\\ 8&9 \end{pmatrix},\quad A_{1{,}3}=\begin{pmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{pmatrix},\quad A_{2{,}2}=\begin{pmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{pmatrix} $$

Wenn es dir nicht gefällt, dass es umgekehrte Indizes gibt, können wir es immer noch so schreiben:

$$(a^{-1}_{ij})^T=\frac{(-1)^{i+j}\cdot\left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Oder, wenn man die Indizes nicht umdreht, berechnet man die transponierte inverse Matrix. Transponiert man diese transponierte Matrix erneut, erhält man die inverse Matrix.

Die Berechnung nach dieser Methode ist in der Regel mühsam und eignet sich besonders für die maschinelle Verarbeitung, da sie sehr einfach ist. In unserem Beispiel wollen wir versuchen, nur zwei Zahlen zu berechnen. Nehmen wir also diese Matrix:

$$ A=\begin{pmatrix} 3&-4&5\\ 2&-3&1\\ 3&-5&-1 \end{pmatrix} $$

Zuerst berechnen wir die Determinante der ganzen Zahl dieser Matrix, diese wird im Nenner des Bruches verwendet:

$$det(A)=-1$$

Nun berechnen wir das erste Element der inversen Matrix. Nennen wir es a⁻¹₁₁. Es wird gleich sein:

$$a^{-1}_{11}=\frac{(-1)^{1+1}\cdot\left|A_{1{,}1}\right|}{\left|A\right|}$$

Wir brauchen die Untermatrix A_1,1. Wenn wir die erste Zeile und die erste Spalte weglassen, erhalten wir:

$$A_{1{,}1}= \begin{pmatrix} -3&1\\ -5&-1 \end{pmatrix} $$

Nun müssen wir die Determinante dieser Matrix berechnen:

$$det(A_{1{,}1})=8$$

Und nun können wir die Formel vollständig einsetzen:

$$a^{-1}_{11}=\frac{(-1)^{2}\cdot8}{-1}=\frac{1\cdot8}{-1}=-8$$

Und wir haben das erste Ergebnis der inversen Matrix.

$$A^{-1}= \begin{pmatrix} -8&?&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix}$$

Die zweite Zahl erhalten wir wie folgt:

$$a^{-1}_{12}=\frac{(-1)^{1+2}\cdot\left|A_{2{,}1}\right|}{\left|A\right|}$$

Die Determinante der Untermatrix ist dann gleich

$$det(A_{2{,}1})= \begin{vmatrix} -4&5\\ -5&-1 \end{vmatrix}=29 $$

Und durch vollständige Substitution erhalten wir:

$$a^{-1}_{12}=\frac{(-1)^{3}\cdot29}{-1}=\frac{-1\cdot29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Ein weiteres Teil des Puzzles:

$$A^{-1}= \begin{pmatrix} -8&29&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix}$$

Und so weiter, und so weiter.