Systeme von linearen Gleichungen

Ein lineares Gleichungssystem ist ein Satz von m linearen Gleichungen über n Variablen. Durch das Lösen der Gleichungen erhalten wir Werte, die wir für unsere n Variablen einsetzen können, so dass alle Gleichungen einen Sinn ergeben.

Definition eines Systems von linearen Gleichungen

Sicherlich sind Sie schon einmal auf ein einfaches System des Typs

$$ \begin{array}{ccccc} a_{11}x &+&a_{12}y &=& b_1\\ a_{21}x &+&a_{22}y &=&b_2\\ \end{array} $$

wobei $a_{11},…,a_{22}, b_1, b_2$ die gegebenen reellen Zahlen und x und y die Variablen sind. Dieses Gleichungssystem kann eine unterschiedliche Anzahl von Lösungen haben - keine, eine oder unendlich viele, genau wie eine klassische lineare Gleichung. Im Falle eines linearen Gleichungssystems ist die Frage nach der Anzahl der Lösungen und deren Auffinden komplizierter als bei einer einfachen linearen Gleichung.

Definition eines Systems von linearen Gleichungen:

$$ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_n\\ \end{array} $$

wobei $a_{11}, …, a_{mn}, b_1, …, b_m$ reelle Zahlen sind. Dieses System wird dann als System m von linearen Gleichungen mit n Unbekannten x₁, …, x_n mit Koeffizienten $a_{11}, …, a_{mn}$ bezeichnet. Ein konkretes Beispiel für ein System von linearen Gleichungen könnte wie folgt aussehen:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 3x_1&+&-2x_2&+&4x_3&+&5x_4&=&1\\ 5x_1&+&4x_2&+&2x_3&+&-10x_4&=&2\\ 11x_1&+&8x_2&+&10x_3&+&20x_4&=&4\\ \end{array} $$

Wenn jedoch eine a_ij negativ ist, ist es üblich, sie in dieser Form zu schreiben:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 3x_1&-&2x_2&+&4x_3&+&5x_4&=&1\\ 5x_1&+&4x_2&+&2x_3&-&10x_4&=&2\\ 11x_1&+&8x_2&+&10x_3&+&20x_4&=&4\\ \end{array} $$

Es gilt jedoch weiterhin, dass a₁₂ = −2 und a₂₄ = −10.

Matrix-Notation

Wir können dieses System in Matrixform umwandeln. Wir definieren insgesamt drei Matrizen, eine für die Koeffizienten, eine für die rechte Seite der Gleichungen und eine für die Variablen selbst. Die Matrizen sehen dann wie folgt aus:

$$ A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn} \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}, \quad x= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} $$

Die Matrix A enthält die Koeffizienten der ursprünglichen Gleichungen und wird "Systemmatrix" genannt, die Matrix b enthält die rechten Seiten der Gleichungen und die Matrix x enthält die Variablen. Dann können wir das gesamte Gleichungssystem als Gleichung schreiben

$$Ax,=,b$$

Diese Gleichung macht Sinn, weil wir auf der linken Seite das Produkt zweier Matrizen und auf der rechten Seite eine Matrix haben, und ihre Dimensionen gleich sind. Wir können versuchen, die linke Seite zu multiplizieren. Wir multiplizieren eine Matrix vom Typ m × n mit einer Matrix vom Typ n × 1, so dass die resultierende Matrix vom Typ m × 1 ist, mit m Zeilen und einer Spalte. Für den Moment ist das in Ordnung.

Nun führen wir den klassischen Algorithmus der Matrixmultiplikation durch, beginnend mit der ersten Zeile der Matrix A und der ersten Spalte der Matrix x (es gibt keine weitere Spalte). Wir erhalten:

$$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n$$

Mit dieser Summe haben wir das erste Element der neuen Matrix erhalten, den Wert von b₁. Wenn wir das Ganze in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:

$$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n = b_1$$

Wir haben genau die erste Gleichung unseres Gleichungssystems erhalten. Für die anderen Zeilen würden wir in gleicher Weise fortfahren. Wir definieren noch die erweiterte Systemmatrix, die die Systemmatrix ist, zu der wir die Matrix b wie folgt hinzufügen:

$$ B=(A|b)= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}&b_m \end{pmatrix} $$

Als nächstes interessieren wir uns für den Rang dieser erweiterten Systemmatrix. Wir bezeichnen den Rang der ursprünglichen, nicht erweiterten Systemmatrix mit rank(A) und den Rang der erweiterten Matrix mit rank(A|b). Wie ist die Beziehung zwischen diesen Rängen? Wenn wir der Matrix A eine Spalte b hinzufügen, können zwei Situationen eintreten: Wenn diese neue Spalte eine Linearkombination der Spalten der Matrix A ist, dann ändert sich der Rang nicht. Wenn es sich nicht um eine Linearkombination handelt, ist der Rang um eins höher.

Frobenius-Theorem

Der Rang der erweiterten Matrix ist für uns wichtig, weil ein wichtiges Theorem, das Frobenius-Theorem, gilt: Ein Gleichungssystem Ax = B hat nur dann eine Lösung, wenn der Rang der Systemmatrix gleich dem Rang der erweiterten Systemmatrix ist: rank(A) = rank(A|b).

Versuchen wir zu zeigen, dass dieser Satz zumindest in einer Richtung wahr ist - wenn x = β eine Lösung der Gleichung Ax = b ist, dann rank(A) = rank(A|b). Wenn diese Ränge gleich sind, dann muss gelten, dass die Spalte b eine Linearkombination der Spalten der Matrix A ist. Schlüsseln wir dies auf. Die Matrix β hat die Form:

$$ \beta=\begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} $$

Und wir behaupten, dass, wenn wir β₁ usw. nach x₁ einsetzen, alle Gleichungen des Gleichungssystems gültig sind:

$$ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}\beta_1&+&a_{12}\beta_2&+&\ldots&+&a_{1n}\beta_n&=&b_1\\ a_{21}\beta_1&+&a_{22}\beta_2&+&\ldots&+&a_{2n}\beta_n&=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}\beta_1&+&a_{m2}\beta_2&+&\ldots&+&a_{mn}\beta_n&=&b_m\\ \end{array} $$

Nun schreiben wir die Gleichungen ein wenig um. Wenn wir die erste Spalte betrachten, stellen wir fest, dass es immer Werte von $a_{11}, a_{21}, …, a_{m1}$ gibt, die wir mit dem gleichen Wert von β₁ multiplizieren. Wenn wir die Spalte in eine separate Matrix isolieren, können wir den Rang von β₁ vor die Matrix setzen, was uns ergibt:

$$ \begin{pmatrix} a_{11}\beta_1\\ a_{21}\beta_1\\ \vdots\\ a_{m1}\beta_1 \end{pmatrix} =\beta_1 \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{m1} \end{pmatrix} $$

Wir können nun das gesamte System auf diese Weise umschreiben:

$$ \beta_1\begin{pmatrix} a_{11}\a_{21}\a_vdots\a_{m1} \end{pmatrix} + \beta_2\begin{pmatrix} a_{12}\a_{22}\a_vdots\a_{m2} \end{pmatrix} +...+ \beta_n\begin{pmatrix} a_{1n}\a_{2n}\a_{2n}\a_{vdots\a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1\b_2\vdots\a_m \end{pmatrix} $$

Damit diese Gleichung gilt, müssen die Spaltenmatrizen auf der linken Seite eine Linearkombination der Matrix auf der rechten Seite sein, und die Werte von β₁, …, β_n müssen ihre Koeffizienten sein.

Wir haben also bewiesen, dass die rechte Seite des Systems, die Matrix b, eine Linearkombination der Spalten der Matrix des Systems sein muss, damit eine Matrix β eine Lösung eines Gleichungssystems ist. Und wenn eine Spalte der Matrix b eine Linearkombination der Spalten der Matrix A ist, dann muss die Matrix A den gleichen Wert haben wie die Matrix (A|b).

Wenn rank(A) = rank(A|b) = k und k gleich der Anzahl der Unbekannten, also k = n, sind, dann hat das System genau eine Lösung. Wenn k < n, dann hat das System unendlich viele Lösungen und wir brauchen n − k Parameter, um es aufzuschreiben.

Elementare lineare Modifikationen

Anhand der vorherigen Gleichung können wir sehen, dass sich die Lösung des Gleichungssystems nicht ändert, wenn wir elementare Zeilenänderungen an der Matrix (A|b) vornehmen. Wenn wir die erste Zeile zur zweiten Zeile addieren, erhalten wir Gl:

$$ \beta_1\begin{pmatrix} a_{11}\a_{21}+a_{11}\a_{11}\a_vdots\a_{m1} \end{pmatrix} + \beta_2\begin{pmatrix} a_{12}\a_{22}+a_{12}\a_{12}\a_vdots\a_{m2} \end{pmatrix} +...+ \beta_n \begin{pmatrix} a_{1n}\a_{2n}+a_{1n}\a_{1n}\a_{vdots\a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1\a_2+b_1\a_vdots\a_{m} \end{pmatrix} $$

Wenn wir die zweite Zeile aufschlüsseln, erhalten wir:

$$\beta_1(a_{21}+a_{11})+\beta_2(a_{22}+a_{12})+\ldots+\beta_n(a_{2n}+a_{1n})=b_1+b_2$$

Multiplizieren Sie die Klammern:

$$\beta_1a_{21}+\beta_1a_{11}+\beta_2a_{22}+\beta_2a_{12}+\ldots+\beta_na_{2n}+\beta_na_{1n}=b_1+b_2$$

Jetzt müssen wir sie nur noch ein wenig umstellen:

$$(\beta_1a_{11}+\beta_2a_{12}+\ldots+\beta_na_{1n})+(\beta_1a_{21}+\beta_2a_{22}+\ldots+\beta_na_{2n})=b_1+b_2$$

Wir haben tatsächlich die erste Zeile in der ersten Klammer und die ursprüngliche zweite Zeile in der zweiten Klammer. Wir wissen, dass die erste Zeile gleich b₁ und die zweite Zeile gleich b₂ ist. Wir wissen dies aus den ursprünglichen Gleichungen. Wir können also b₁ nach der ersten Klammer und b₂ nach der zweiten Klammer schreiben:

$$b_1+b_2=b_1+b_2.$$

In ähnlicher Weise können wir die gesamte Zeile mit der Konstante c ≠ 0 multiplizieren, ohne dass sich die Gültigkeit des Gleichungssystems ändert. Beachten Sie jedoch, dass wir keine Spaltenanpassungen vornehmen können.

Ein System mit einer Lösung

Anhand eines Beispiels wollen wir zeigen, wie man ein System löst, das genau eine Lösung hat. Nehmen wir ein solches Gleichungssystem an:

$$ \begin{array}{ccccccc} 2x_1&+&3x_2&+&7x_3&=&47\\ 3x_1&+&8x_2&+&x_3&=&50\\ &&3x_2&+&3x_3&=&27\\ \end{array} $$

Die Matrix A sieht dann so aus:

$$ A=\begin{pmatrix} 2&3&7\\ 3&8&1\\ 0&3&3 \end{pmatrix} $$

Nun berechnen wir den Rang dieser Matrix:

$$ \begin{pmatrix} 2&3&7\\ 3&8&1\\ 0&3&3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 6&9&21\\ 6&16&2\\ 0&3&3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 6&9&21\\ 0&7&-19\\ 0&3&3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 6&9&21\\ 0&21&-57\\ 0&21&21 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 6&9&21\\ 0&21&-57\\ 0&0&78 \end{pmatrix} $$

Wir sehen, dass rank(A) = 3. Das bedeutet auch, dass rank(A|b) = 3, da eine Matrix des Typs 3 × 4 einen maximalen Rang von drei haben kann. Das System hat drei Unbekannte, also hat das ganze System genau eine Lösung. Wie finden wir sie?

Gaußsche Eliminationsmethode

Bei der Gaußschen Eliminierung wird die erweiterte Matrix des Systems in eine schrittweise Form umgewandelt. Durch die Umwandlung der Matrix in eine schrittweise Form ist es möglich, den Wert einer Variablen zu ermitteln. Sobald wir den Wert einer Variablen gefunden haben, können wir diesen Wert in die anderen Gleichungen einsetzen.

Die Matrix (A|b) hat die Form:

$$ (A|b)=\begin{pmatrix} 2&3&7&47\\ 3&8&1&50\\ 0&3&3&27 \end{pmatrix} $$

Wir wandeln sie in eine Stufenform um. Wir nehmen die gleichen Anpassungen vor wie im vorherigen Schritt, nur dass wir sie diesmal auf die vierte Spalte anwenden:

$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2&3&7&47\\ 3&8&1&50\\ 0&3&3&27 \end{pmatrix} &\sim& \begin{pmatrix} 6&9&21&141\\ 6&16&2&100\\ 0&3&3&27 \end{pmatrix} \\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&9&21&141\\ 0&7&-19&-41\\ 0&3&3&27 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&9&21&141\\ 0&21&-57&-123\\ 0&21&21&189 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&9&21&141\\ 0&21&-57&-123\\ 0&0&78&312 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$$

Da wir elementare Zeilenanpassungen vorgenommen haben, beschreibt diese Matrix ein äquivalentes Gleichungssystem - ein System, das dieselbe Menge von Lösungen hat. Wir schreiben das System von der Matrixnotation in die gewöhnliche Notation um und verwenden dabei die Koeffizienten aus unserer letzten Matrix:

$$ \begin{array}{ccccccc} 6x_1&+&9x_2&+&21x_3&=&141\\ &&21x_2&-&57x_3&=&-123\\ &&&&78x_3&=&312\\ \end{array} $$

Jetzt kommen wir aus der letzten Gleichung heraus. Dies sagt uns, dass 78x₃ = 312. Welchen Wert muss x₃ haben? Dies ist eine einfache lineare Gleichung, also

$$\begin{eqnarray} 78x_3&=&312\\ x_3&=&\frac{312}{78}\\ x_3&=&4 \end{eqnarray}$$

Wir haben den Wert der ersten Variablen, x₃. Wir setzen diesen Wert in die zweite Gleichung ein. Wir erhalten die Gleichung:

$$\begin{eqnarray} 21x_2-57x_3&=&-123\\ 21x_2-57\cdot4&=&-123\\ 21x_2&=&-123+228\\ 21x_2&=&105\\ x_2&=&\frac{105}{21}\\ x_2&=&5 \end{eqnarray}$$

Und schließlich setzen wir die beiden berechneten Werte in die erste Gleichung ein:

$$\begin{eqnarray} 6x_1+9x_2+21x_3&=&141\\ 6x_1+9\cdot5+21\cdot4&=&141\\ 6x_1+45+84&=&141\\ 6x_1&=&12\\ x_1&=&2 \end{eqnarray}$$

Der Wert der Variablen x₁ ist gleich zwei. An diesem Punkt haben wir eine vollständige Lösung. Wir können schreiben, dass x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). Wie Sie sehen, ist die Gaußsche Eliminationsmethode eine einfache, aber effektive Methode zur Lösung eines Systems linearer Gleichungen.

Unendlich viele Lösungen

Wenn rank(A) = rank(A|b) = k und k kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten, k < n, dann hat das System unendlich viele Lösungen. Betrachten Sie ein einfaches Beispiel:

$$ \begin{array}{cccccc} 4x_1&+&x_2&=&5\\ 12x_1&+&3x_2&=&15\\ \end{array} $$

Wir sehen, dass die zweite Gleichung gleich dem Dreifachen der ersten Gleichung ist. Wenn wir die erste Gleichung mit minus drei multiplizieren und zur zweiten Zeile addieren, erhalten wir:

$$ \begin{array}{cccccc} 4x_1&+&x_2&=&5\\ 0x_1&+&0x_2&=&0\\ \end{array} $$

An dieser Stelle ist die Anzahl der Variablen gleich zwei, n = 2, der Rang der Systemmatrix ist gleich eins, rank(A) = 1, und der Rang der erweiterten Matrix ist ebenfalls gleich eins, rank(A|b) = 1. Es ist wahr, dass k < n, also hat das System unendlich viele Lösungen. Wie kann man diese Lösungen finden?

Schauen wir uns die Gleichungen an. Die zweite Gleichung ist für alle x₁, x₂ erfüllt, so dass wir nur an der ersten Gleichung interessiert sind. In der Tat bilden alle Paare von x₁, x₂, die die erste Gleichung erfüllen, die Menge aller Lösungen des gegebenen Gleichungssystems. Wir berechnen also die Lösung von 4x₁ + x₂ = 5. Wir ändern die Gleichung, um x₂ = 5 − 4x₁ zu bilden.

Als nächstes verwenden wir den Parameter. Wir wählen den Parameter t. Nun werden wir versuchen, das Paar x₁, x₂ mit dem Parameter t auszudrücken, so dass wir schreiben können, dass zum Beispiel alle Paare der Form (t, t + 2) Lösungen des Systems sind. Das heißt, Paare wie (1, 3) oder (14, 16). Es geht darum, den Wert einer Variablen durch eine andere Variable auszudrücken, damit wir wissen, dass, wenn der Wert von x₁ so und so groß ist, der Wert von x₂ zum Beispiel dreimal so groß ist. Wir wählen x₁ als Ausgangspunkt.

Wir setzen also die Gleichheit t = x₁. Wenn die Variable x₁ den Wert t hat, welchen Wert wird die Variable x₂ haben? Wie wir aus der vorherigen Gleichung ersehen können, wird sie den Wert x₂ = 5 − 4x₁ haben. Wenn also x₁ = t, dann x₂ = 5 − 4t. Wir können also schreiben, dass alle Paare der Form (t, 5 − 4t) Lösungen des Gleichungssystems sind.

Wir können dies überprüfen. Wenn wir nach t eins einsetzen, erhalten wir: x₁ = 1 und x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Wenn wir diese Werte in die Gleichung 4 · 1 + 1 = 5 einsetzen, passt die Gleichung.

Wenn wir fünf nach t einsetzen, erhalten wir: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Nachdem wir sie in die Gleichung eingesetzt haben, erhalten wir: 4 · 5 − 15 = 5 Das passt.

Allgemeine und partielle Lösungen

Eine Lösung eines Gleichungssystems, die mit Hilfe von Parametern geschrieben wird, nennt man eine allgemeine Lösung. Eine spezifische Lösung, d. h., wenn wir nach den Parametern bestimmte Zahlen einsetzen, wird als Teillösung bezeichnet.

Aus dem vorherigen Beispiel: (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) ist die allgemeine Lösung des Gleichungssystems, (1, 1) und (5, −15) sind die Teillösungen.

Wenn wir eine Systemmatrix A und eine erweiterte Systemmatrix (A|b) haben und ihre Ränge gleich sind, rank(A) = rank(A|b) = k, dann brauchen wir n − k Parameter, um die allgemeine Lösung auszudrücken. Beachten Sie, dass, wenn n = k, dann brauchen wir null Parameter. Dies ist der Fall, wenn das System genau eine Lösung hat - dann wird kein Parameter benötigt.

Beispiel

Lösen Sie das folgende System linearer Gleichungen:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 3x_1&-&2x_2&+&4x_3&+&5x_4&=&1\\ 5x_1&-&4x_2&+&2x_3&+&10x_4&=&2\\ 11x_1&-&8x_2&+&10x_3&+&20x_4&=&4\\ \end{array} $$

Zunächst berechnen wir den Rang der Matrizen A und (A|b). Wir wandeln die erweiterte Matrix in eine schrittweise Form um, aus der wir den Rang der beiden Matrizen ermitteln. Wir gehen zur Bearbeitung über. (Wir multiplizieren die erste Zeile mit zwei, addieren dann die erste und zweite Zeile und subtrahieren dieses Ergebnis von der dritten Zeile. Anschließend subtrahieren wir die erste Zeile von der zweiten Zeile und dividieren schließlich die erste Zeile wieder durch zwei).

$$\begin{eqnarray} (A|b)=\begin{pmatrix} 3&-2&4&5&1\\ 5&-4&2&10&2\\ 11&-8&10&20&4 \end{pmatrix} &\sim& \begin{pmatrix} 6&-4&8&10&2\\ 5&-4&2&10&2\\ 11&-8&10&20&4 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&-4&8&10&2\\ 5&-4&2&10&2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&-4&8&10&2\\ -1&0&-6&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 3&-2&4&5&1\\ -1&0&-6&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$$

Aus dieser letzten Matrix können wir bereits ersehen, dass rank(A) = rank(A|b) = k = 2. Die Anzahl der Unbekannten ist n = 4, also benötigen wir n − k = 2 Parameter. Formulieren wir die Gleichungen entsprechend der letzten Matrix:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 3x_1&-&2x_2&+&4x_3&+&5x_4&=&1\\ -x_1&&&-&6x_3&&&=&0\\ \end{array} $$

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir

$$\begin{eqnarray} -x_1-6x_3&=&0\\ -x_1&=&6x_3\\ x_1&=&-6x_3 \end{eqnarray}$$

Wir wählen den ersten Parameter, t = x₃. Dann können wir schreiben, dass x₁ = −6t. Wir können dies in die erste Gleichung einsetzen:

$$\begin{eqnarray} 3(-6t)-2x_2+4t+5x_4&=&1\\ -18t-2x_2+4t+5x_4&=&1\\ -14t-2x_2+5x_4&=&1\\ -2x_2&=&1+14t-5x_4\\ x_2&=&-\frac12-7t+\frac52x_4 \end{eqnarray}$$

Wir setzen den zweiten Parameter ein, s = x₄. Dann können wir schreiben, dass

$$x_2=-\frac12-7t+\frac52s$$

Damit erhalten wir die allgemeine Lösung des Systems:

$$(x_1, x_2, x_3, x_4) = (-6t, -\frac12-7t+\frac52s, t, s)$$

Wir können einige Teillösungen ausprobieren. Zum Beispiel: s = t = 0. Dann erhalten wir: $(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, -\frac12, 0, 0)$ Nachdem wir die ursprünglichen Gleichungen eingesetzt haben:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 3x_1&-&2x_2&+&4x_3&+&5x_4&=&1\\ 5x_1&-&4x_2&+&2x_3&+&10x_4&=&2\\ 11x_1&-&8x_2&+&10x_3&+&20x_4&=&4\\ \end{array} $$

erhalten wir die Gleichungen:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 0&-&2\frac12&+&0x_3&+&0x_4&=&1\\ 0x_1&-&4\frac12&+&0x_3&+&0x_4&=&2\\ 0x_1&-&8\frac12&+&0x_3&+&0x_4&=&4\\ \end{array} $$

Nach dem Entfernen der Nullelemente und der Multiplikation der Brüche erhalten wir:

$$\begin{eqnarray} 1&=&1\\ 2&=&2\\ 4&=&4 \end{eqnarray}$$

Versuchen wir eine weitere Teillösung: s = 2, t = 1 Dann erhalten wir:

$$\begin{eqnarray} x_1&=&-6\\ x_2&=&-\frac12-7+5=-\frac52\\ x_3&=&1\\ x_4&=&2 \end{eqnarray}$$

Setzen Sie die Gleichungen ein:

$$ \begin{array}{ccccccccc} -18&-&2(-\frac52)&+&4&+&10&=&1\\ -30&-&4(-\frac52)&+&2&+&20&=&2\\ -66&-&8(-\frac52)&+&10&+&40&=&4\\ \end{array} $$

Ändern:

$$ \begin{array}{ccccccccc} -4&+&5&=&1\\ -8&+&10&=&2\\ -16&+&20&=&4\\ \end{array} $$

Und schließlich erhalten wir:

$$\begin{eqnarray} 1&=&1\\ 2&=&2\\ 4&=&4 \end{eqnarray}$$

Die resultierende allgemeine Lösung scheint korrekt zu sein.

Links und Ressourcen

• O. Krupková, Lineare Algebra I [PDF]
• Systeme der linearen Gleichungen, fav.zcu.cz, [PDF]