Determinanten

In der linearen Algebra ist die Determinante eine Darstellung, die jeder quadratischen Matrix A einen Skalar zuordnet, den wir |A| nennen. Im Fall von numerischen Matrizen ist die Determinante gleich einer reellen Zahl.

Permutation der Determinante

Um die Determinante definieren zu können, müssen wir wissen, wie man die Permutation der Verlockung oder die Permutation der Permutation berechnen kann. Dies lässt sich am besten anhand eines Beispiels erklären. Wir haben ein geordnetes Tripel <1, 2, 3>, das auf dem Tripel <2, 3, 1> dargestellt ist. Normalerweise schreiben wir es im Fall von Permutationen wie folgt um:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} $$

Nun müssen wir herausfinden, wie viele verschiedene Zahlentausche wir verwenden mussten, um aus der ersten Menge die zweite Menge zu erhalten. Wir dürfen nur Zahlen nebeneinander vertauschen. Wir haben also das Triple <1, 2, 3>. Jetzt vertauschen wir eins mit zwei: <2, 1, 3> Nun vertauschen wir eins mit drei: <2, 3, 1> Damit haben wir die gesuchte Permutation. Wir haben zwei Vertauschungen gebraucht, um das Bild zu erhalten. Das Vorzeichen der Permutation ist leicht zu finden - wenn die Anzahl der Vertauschungen gerade ist, ist das Vorzeichen positiv. Wenn die Anzahl ungerade ist, ist das Vorzeichen negativ. In unserem Fall handelt es sich also um eine Permutation mit positivem Vorzeichen. Versuchen wir nun, das Vorzeichen der Permutation für dieses Beispiel zu bestimmen:

$$ \begin{pmatrix} 4&2&3&1\\1&3&4&2 \end{pmatrix} $$

Wir gehen wie folgt vor:

$$\left<4, 2, 3, 1\right> \rightarrow \left<4, 2, 1, 3\right> \rightarrow \left<4, 1, 2, 3\right> \rightarrow \left<1, 4, 2, 3\right> \rightarrow \left<1, 4, 3, 2\right> \rightarrow \left<1, 3, 4, 2\right>$$

Die Modifikation ist fertig. Wir brauchten insgesamt fünf Anpassungen, so dass wir dieses Mal eine Permutation mit ungeradem Vorzeichen erhalten haben.

Wir bezeichnen die Permutation mit dem Levi-Civit-Symbol:

$$ \epsilon_{i_1,…,i_n}= \begin{cases} +1 & \mbox{ Wenn }(i_1, i_2, …, i_n) \mbox{ ist eine gerade Permutation } (1{,}2,3{,}4,…, n) \\ -1 & \mbox{ Wenn }(i_1, i_2, …, i_n) \mbox{ ist eine ungerade Permutation } (1{,}2,3{,}4,…, n) \\ 0 & \mbox{ Ansonsten } \end{cases}$$

Definition der Determinante

Die Determinante ist eine Zahl, die nur für quadratische Matrizen definiert ist und entweder als det A oder |A| geschrieben wird. Diese Zahl ist wie folgt definiert

$$|A|=\sum_{i_1,\ldots,i_n}^n\epsilon_{i_1,\ldots,i_n}a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \ldots \cdot a_{ni_n}$$

Versuchen wir, die Determinante einer quadratischen Matrix der Ordnung 2×2 zu berechnen:

$$A= \begin{pmatrix} 4&2\\ 1&3 \end{pmatrix} $$

Wenn wir den spezifischen Wert n = 2 in die Definition einsetzen, erhalten wir die folgende Formel:

$$|A|=\sum_{i_1, i_2}^2=\epsilon_{i_1, i_2} \cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Ersetzen Sie die Werte 1 und 2 nacheinander durch die Werte i₁ und i₂, so dass sich insgesamt vier Möglichkeiten ergeben: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

Im Fall der Optionen a) und d) erhalten wir eine Null-Permutation, weil ε_1,1 = 0 und ε_2,2 = 0. In der Summe der Formel in diesem Schritt erhalten wir also Null, weil $0 \cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=0$.

Die verbleibenden Möglichkeiten sind b) und c). Im Fall von b) i₁ = 1, i₂ = 2 erhalten wir: e_1,2 = 1, weil <1, 2> eine gerade Permutation von <1, 2> ist. Wir erhalten den ersten Summanden:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2} = 1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot3=12$$

Im verbleibenden Fall haben wir i₁ = 2, i₂ = 1. Der Wert von ε₂₁ ist gleich −1. Wir erhalten den zweiten Summanden:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2} = 1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot2\cdot1=-2$$

Jetzt addieren wir alle vier Fälle von a) + b) + c) + d) und erhalten

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Die Determinante der Matrix A ist gleich zehn.

Wir können feststellen, dass wir die Determinante der Matrix schließlich als die Differenz berechnet haben

$$|A|=a_{11} \cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21}$$

Diese Formel gilt im Allgemeinen für jede Matrix der Ordnung 2×2.

Sarrus-Regel

Mit Hilfe der Sarrus-Regel berechnen wir die Determinante einer Matrix dritter Ordnung. Diese Determinante ist ein wenig komplizierter. Berechnen wir also zum Beispiel diese Matrix:

$$A=\begin{pmatrix}5&3&2\\1&7&-8\\0&-2&7\end{pmatrix}$$

Nun gehen wir ähnlich vor wie bei der Matrix zweiter Ordnung, aber der Übersichtlichkeit halber erweitern wir diese Matrix um zwei weitere Zeilen - wir beschreiben die ersten beiden Zeilen der Matrix unter dieser Matrix:

$$A'=\begin{pmatrix}5&3&2\\1&7&-8\\0&-2&7\\5&3&2\\1&7&-8\end{pmatrix}$$

Die erste und vierte Zeile der Matrix sind also gleich, ebenso die zweite und fünfte. Wir gehen nun so vor, dass wir die Vielfachen der Elemente auf den Hauptdiagonalen addieren und davon die Summe der Vielfachen der Nebendiagonalen subtrahieren. Nach der Addition erhalten wir:

$$|A|=[5 \cdot 7 \cdot 7 + 1 \cdot (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 3 \cdot (-8)] - [2 \cdot 7 \cdot 0 + (-8) \cdot (-2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 \cdot 1]=140$$

Eigenschaften der Determinante

• Multipliziert man eine Zeile oder Spalte der Matrix A mit c ≠ 0, so erhält man die Matrix A' und für deren Determinanten gilt folgendes: c|A| = |A'| Wenn man also eine Zeile der Matrix mit drei multipliziert und die Determinante berechnet, erhält man die Determinante der ursprünglichen Matrix, indem man das aktuelle Ergebnis durch drei dividiert.

• Die Multiplikation der i-ten Zeile und die Addition zu j-ten Zeile ändert die Determinante der Matrix nicht. Das Gleiche gilt für die Spalten.

• Wenn mindestens eine Zeile der Matrix Null ist, ist auch die Determinante der Matrix Null.

• Eine reguläre Matrix hat immer eine Determinante ungleich Null und eine singuläre Matrix hat immer eine Determinante gleich Null.

• Die Determinante einer Matrix in schrittweiser Form ist gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen.

• Wenn man zwei Zeilen der Matrix vertauscht, ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Die oben genannten Eigenschaften implizieren ein relativ einfaches Verfahren zur Berechnung der Determinante. Man ordnet die Matrix einfach schrittweise an und multipliziert dann die Elemente auf der Hauptdiagonale. Und los geht's:

$$ A=\begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} $$

Mit Hilfe von Standard-Matrixanpassungen passen wir die Matrix nun an eine Stufenform an:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&8\\0&-1&-16\\0&8&21 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&8\\0&-1&-16\\0&0&-107 \end{pmatrix} $$

Nun bilden wir das Produkt der Elemente auf der Diagonale: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Berechnen Sie die Determinante dieser Matrix:

$$A=\begin{pmatrix} 3&2&1&5\\2&7&5&6\\6&4&1&0\\4&-3&1&1 \end{pmatrix} $$

Als Erstes müssen wir die erste und die zweite Zeile vertauschen, um die kleinste Zahl zu erhalten. Wir dürfen jedoch nicht vergessen, das Vorzeichen zu ändern:

$$ \left|\begin{matrix}3&2&1&5\\2&7&5&6\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| = -\left|\begin{matrix}2&7&5&6\\3&2&1&5\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| $$

Als Nächstes ist es ganz praktisch, die zweite Zeile mit zwei zu multiplizieren, damit wir schön addieren können. Wir dürfen nicht vergessen, die gesamte Determinante mit der Hälfte zu multiplizieren:

$$ -\left|\begin{matrix}2&7&5&6\\3&2&1&5\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| = -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\6&4&2&10\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| $$

Und nun gehen wir klassisch vor:

$$\begin{eqnarray} -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\6&4&2&10\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| &=& -\frac12 \left| \begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&-17&-14&-18\\0&-17&-9&-11\end{matrix}\right| \\ &=& -\frac12 \left| \begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&0&-1&-10\\0&0&4&-3\end{matrix}\right|\\ &=& -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&0&-1&-10\\0&0&0&-43\end{matrix}\right|\\ &=& -\frac12 \cdot 2 \cdot (-17) \cdot (-1) \cdot (-43) = 731 \end{eqnarray}$$

Laplace-Entwicklung

Laplace war ein freundlicher Herr, der uns einen weiteren Algorithmus zur Berechnung der Determinanten einer Matrix entwickelt hat. Um dieses Kochbuch zu verstehen, müssen wir wissen, wie wir die spezielle Untermatrix der ursprünglichen Matrix berechnen können. Wir erhalten die Matrix A und müssen eine Untermatrix erstellen, die durch Entfernen einer Zeile und einer Spalte aus der Matrix A gebildet wird. Wir bezeichnen diese neue Matrix als S^A_ij, was uns sagt, dass wir i-diese Zeile und j-diese Spalte aus der Matrix A entfernt haben. Beispiel:

$$ A=\begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} $$

Die Untermatrix S^A₁₂ würde die folgende Form haben:

$$ S^A_{12}=\begin{pmatrix} 2&0\\-2&5 \end{pmatrix} $$

Als nächstes definieren wir den Begriff minor, der nichts anderes ist als die Determinante der von uns definierten Untermatrix S^A_ij. Wir bezeichnen den Minor auf die gleiche Weise, aber mit dem Buchstaben M, d.h. $M^A_{ij}=|S^A_{ij}|$. Wir können auch den Minor des Elements a_ij betrachten, der einfach M^A_ij ist.

Mit Hilfe dieser Minoren können wir die Determinante der ursprünglichen Matrix berechnen. Im ersten Schritt wählen wir eine Zeile (oder Spalte) der Matrix. Dann berechnen wir für jedes Element dieser Zeile seinen Minor. Auf diese Weise erhalten wir so viele Minoren, wie die Zeile Elemente hat. Nun können wir die Determinante der Originalmatrix A vom Typ n × n als gewichtete Summe dieser Minoren ausdrücken:

$$|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M^A_{ij}$$

wobei i unsere gewählte Zeile ist. Wenn wir über die Variable i iterieren, legen wir die Variable j fest - den Spaltenindex.

In der Praxis sieht das so aus, dass man eine Matrix hat und die Determinante wissen will. Man nimmt also eine Spalte der Matrix (oder eine Zeile) und bestimmt für jedes Element in dieser Spalte den Minor und weist das Vorzeichen (−1)^{i + j} zu. Dann addiert man alles und multipliziert jede Determinante mit dem Element, dessen Minor die Matrix ist. Da der Minor M^A_ij immer noch mit dem Element a_ij multipliziert wird, ist es praktisch, wenn dieses Element Null ist. Dadurch entfällt das weitere Zählen und Sie sparen sich die Arbeit. Versuchen wir nun, die Determinante dieser Matrix zu berechnen:

$$A=\begin{pmatrix}5&4&8\\6&1&0\\2&3&9\end{pmatrix}$$

Es gibt eine einzige Null in der Matrix, so dass die Erweiterung idealerweise entweder durch die zweite Zeile oder durch die dritte Spalte erfolgt. Wählen Sie zum Beispiel die Zeile. Im ersten Schritt extrahieren wir die Untermatrix:

$$\begin{eqnarray} S^A_{21}&=&\begin{pmatrix}4&8\\3&9\end{pmatrix}\\ S^A_{22}&=&\begin{pmatrix}5&8\\2&9\end{pmatrix}\\ S^A_{23}&=&\begin{pmatrix}5&4\\2&3\end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$$

Wir berechnen nun die Determinanten, die uns die Minoren liefern. Für eine Matrix zweiter Ordnung ist dies trivial.

$$\begin{eqnarray} M^A_{21}&=&\left|\begin{matrix}4&8\\3&9\end{matrix}\right|=12\\ M^A_{22}&=&\left|\begin{matrix}5&8\\2&9\end{matrix}\right|=29\\ M^A_{23}&=&\left|\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right|=7\\ \end{eqnarray}$$

Nun können wir diese in die Formel i = 2 einsetzen:

$$\begin{eqnarray} |A|&=&(-1)^{2+1} \cdot 6 \cdot \left|\begin{matrix}4&8\\3&9\end{matrix}\right| + (-1)^{2+2}\cdot1\cdot\left|\begin{matrix}5&8\\2&9\end{matrix}\right|+(-1)^{2+3}\cdot\left|\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right|\cdot0\\ &=&(-1)^{2+1} \cdot 6 \cdot 12 + (-1)^{2+2}\cdot1\cdot29+(-1)^{2+3}\cdot7\cdot0=-43 \end{eqnarray}$$

Da das Element am Ende der zweiten Zeile Null ist, erhalten wir auch einen dritten Summanden, der gleich Null ist. Ein weiteres Beispiel:

Berechnen Sie die Determinante dieser Matrix mit der Laplace-Methode:

$$A=\begin{pmatrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{pmatrix}$$

In der dritten Spalte haben wir alle Vielfachen von drei, wir können dies ausnutzen und diese Spalte auf Null setzen, um die Voraussetzungen für die spätere Anwendung der Laplace-Methode zu schaffen. Zur zweiten Zeile addieren wir also −2, das Vielfache der ersten Zeile, zur dritten Zeile −3, das Vielfache der ersten Zeile, und zur vierten −1, das Vielfache.

$$ \begin{pmatrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}7&2&3&2\\-8&2&0&3\\-13&4&0&4\\-2&5&0&1\end{pmatrix} $$

Der Wert der Determinante hat sich dadurch nicht geändert, aber die Berechnung wird dadurch einfacher. Führen wir die Expansion durch die dritte Spalte durch, wo wir nur ein Element ungleich Null haben, so dass wir nur noch den Minor des dritten Elements der ersten Zeile in der Expansion haben:

$$ \left|\begin{matrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{matrix}\right| (-1)^{1+3}\cdot3\left|\begin{matrix}-8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1\end{matrix}\right| 3\left|\begin{matrix}-8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1\end{matrix}\right| $$

In der dritten Spalte der neuen Matrix sehen wir ganz am Ende eine Eins, was wir leicht ausnutzen und diese Spalte auf Null zurücksetzen können:

$$ \begin{pmatrix} -8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -2&-13&0\\-5&-16&0\\-2&5&1 \end{pmatrix} $$

Nun werden wir die Entwicklung gemäß der dritten Spalte durchführen. Auch hier gibt es nur ein Element, das nicht Null ist:

$$ 3\left|\begin{matrix}-2&-13&0\\-5&-16&0\\-2&5&1\end{matrix}\right| 3\cdot\left((-1)^{3+3}\cdot1\cdot\left|\begin{matrix}-2&-13\\-5&-16\end{matrix}\right|\right) 3\cdot\left|\begin{matrix}-2&-13\\-5&-16\end{matrix}\right| $$

Und wir können dies klassisch berechnen: 3 · (32 − 65) = −99.