Sitzung

Eine Relation ist ein solches mathematisches Gegenstück zum normalen Begriff "Beziehung". Im normalen Leben steht Monika zum Beispiel in einer Beziehung zu Jitka, und zwar in einer Mutter-Tochter-Beziehung. Eine weitere solche Beziehung kann "Staat - Hauptstadt dieses Staates" sein. Als Beispiel können wir Ägypten - Kairo nehmen.

Andere Beispiele für Beziehungen

Nehmen wir andere Beispiele zur Hilfe. In der Einleitung haben wir die Sitzungen (Beziehungen) "Mutter zu ihrer Tochter sein" und "Hauptstadt eines Staates sein" erwähnt. Schauen wir uns nun andere an: "eine gerade Zahl sein". In dieser Lerneinheit gibt es die Zahlen 2, 4, 8, 18, 58, 66 und viele andere. Die Zahlen 1, 3, −7, 19 sind nicht in der Sitzung "eine gerade Zahl sein" enthalten. Eine Sitzung aus der normalen Welt könnte "ein Mann sein" sein. Adam, Miroslav, Lukas oder Martin sind in der Lerneinheit "ein Mann sein".

Ein anderes Beispiel könnte eine Sitzung "weniger als" sein. Zum Beispiel ist die Zahl drei "weniger als" die Zahl fünf. Mathematisch gesehen können wir dies als 3<5 schreiben. Oder eine Gleichheitsbeziehung: Die Zahl drei ist mathematisch gesehen "gleich" der Zahl drei: 3 = 3.

Es gibt auch kompliziertere Beispiele: "Der Vater und die Mutter sind die Eltern des Kindes". In dieser Sitzung wird es ein Trio von Personen geben: den Vater Daniel, die Mutter Maria und das Kind Krasomila. In der Mathematik könnten wir eine Dreierbeziehung wie diese erfinden: Die Summe der ersten beiden Zahlen ist gleich der dritten Zahl. Zum Beispiel sind diese Zahlen in dieser Reihenfolge in dieser Beziehung: 3, 4, 7, weil 3 + 4 = 7. Diese Zahlen sind nicht in der Beziehung: 3, 5, 12, weil 3 + 5≠12.

Arity-Sitzung

Arität ist ein seltsam klingender Begriff, aber er beschreibt nur, wie viele Elemente wir in einer Sitzung haben. In den vorherigen Beispielen haben wir mit einer unterschiedlichen Anzahl von Elementen gearbeitet. In der Sitzung "Ein Mann sein" haben wir uns mit einem Element begnügt, so dass wir sagen können "Honza ist ein Mann". Wir brauchen nur einen Namen, ein Element. Wir nennen eine solche Lerneinheit unär.

Im nächsten Beispiel hatten wir eine "weniger als"-Sitzung. Sie funktionierte mit zwei Zahlen, zwei Elementen. Wir haben gesagt, dass die Zahl drei kleiner als fünf ist. Wir haben zwei Elemente verwendet, die Sitzung ist also binär.

Im letzten Beispiel haben wir insgesamt drei Elemente verwendet: Die Summe von zwei Zahlen sollte gleich der dritten sein. Wir hatten also die Zahlen a, b, c und es musste wahr sein, dass a + b = c. Diese Sitzung wäre ternär.

Für höhere Arität können wir die Notation n-ary session verwenden. Wir können sie aber auch für eine niedrigere Arithmetik verwenden, indem wir die binäre Sitzung als 2-ary session schreiben. Wir schreiben dann die Elemente der Sitzung als geordnete n-tic. Wenn wir eine binäre Sitzung haben, schreiben wir sie als Paare, wobei wir normalerweise entweder eckige oder spitze Klammern verwenden. Wenn wir also schreiben wollen, dass die Zahlen drei und fünf in einer Sitzung "kleiner als" sind, müssen wir die Zahlen als Paare schreiben: [3, 5], oder <3, 5>. Beachten Sie, dass wir auf die Reihenfolge achten müssen, der umgekehrte Fall wäre nicht zutreffend: [3, 5] ≠ [5, 3] -five is not less than three.

Beispiel einer Familie

Bevor wir uns mit mathematischen Definitionen befassen, wollen wir ein weiteres typisches Beispiel mit einer Familie ausprobieren. Nehmen wir die folgenden Mitglieder einer Familie an:

• Max: Großvater väterlicherseits;
• Josef: Vater;
• Drahoslava: Mutter;
• Sandra: Tochter;
• Honza: Sohn.

Zunächst suchen wir alle Familienmitglieder, auf die die Beziehung "ein Mann sein" zutrifft. Dies ist die 1-ary, oder unary, Beziehung. Daher wird es in der Sitzung immer nur ein Element, ein Familienmitglied, geben. An dieser Stelle müssen wir alle Familienmitglieder auflisten, die männlich sind. Die Reihenfolge spielt jetzt keine Rolle mehr. Die Lerneinheit "männlich sein" enthält also die folgenden Elemente: {[Max], [Josef], [Honza]}. Beachten Sie, dass wir eckige Klammern verwendet haben, obwohl es sich um eine unäre Lerneinheit handelt. Das ist nicht unbedingt notwendig, auch ohne sie wäre die Notation lesbar, aber aus Gründen der Konsistenz habe ich die Klammern drin gelassen. Die Menge aller Elemente der Sitzung ist dann eine reguläre Menge, daher die eckigen Klammern.

Schauen wir uns nun alle "Vater-Sohn"-Sitzungen an. So wie es aussieht, handelt es sich hierbei bereits um eine binäre Sitzung, d. h. es werden geordnete Paare von Elementen im Ergebnis vorkommen. Die Ergebnismenge sieht wie folgt aus: {[Josef, Honza], [Max, Josef]} Vater Joseph ist der Vater von Sohn Honza und Großvater Max ist der Vater von Vater Joseph. Beachten Sie, dass es wirklich auf die Reihenfolge ankommt, Joseph ist zweimal da, aber einmal in der ersten Position in der Position des Vaters und das zweite Mal in der zweiten Position in der Position des Sohnes.

Versuchen wir eine weitere Sitzung: Eltern-Kind. Hier gibt es noch mehr, denn in der ersten Position kann es jedes Elternteil geben, sowohl Vater als auch Mutter, und in der zweiten Position kann es jedes Kind geben, sowohl Sohn als auch Tochter. Wir müssen auch berücksichtigen, dass Großvater Maximilian der Elternteil von Joseph ist, aber nicht mehr der Elternteil von Drahoslava. Josef und Drahoslava sind jedoch beide Eltern von Sandra und Honza. Sandra und Honza sind nicht die Eltern von irgendjemandem, weil sie erst neunzehn und dreizehn Jahre alt sind. Daraus ergeben sich die folgenden arrangierten Paare: {[Max, Josef], [Josef, Sandra], [Josef, Honza], [Drahoslava, Sandra], [Drahoslava, Honza]}. Beachten Sie, dass sowohl Josef als auch Drahoslava zweimal vorkommen - einmal als Eltern von Sandras Tochter und das zweite Mal als Eltern von Honza.

Ein letzter Blick auf die binären Sitzungen. Nehmen wir diese "Geschwister-Sitzung". Hier müssen wir beachten, dass die Reihenfolge der Sitzungen eine Rolle spielt. Wenn wir also nur "Sandra - Honza" in das Ergebnis dieser Sitzung schreiben würden, wäre es falsch, weil es sich um ein völlig anderes geordnetes Paar handelt als "Honza - Sandra". Das korrekte Ergebnis lautet also: {[Sandra, Honza], [Honza, Sandra]}.

Und ein kurzes Beispiel zu einer ternären Sitzung: Schreiben Sie alle geordneten Tripel dieser Sitzung: "Großvater - Vater - Kind". In der Zuordnung haben wir nur einen Großvater und einen Vater, aber zwei Nachkommen. Es reicht nicht aus, nur die Variante mit Sandra oder mit Honza zu schreiben, wir müssen beide auflisten. Anders wäre es, wenn wir am Ende "Sohn" statt "Kind" schreiben würden. Das richtige Ergebnis ist: {[Max, Josef, Sandra], [Max, Josef, Honza]}.

Definition der unären Sitzung

Versuchen wir, die einfachste Sitzung, die unäre, zu untersuchen. Mit unärer Beziehung meinen wir eine Menge von Elementen. Die Menge {2, 3} kann eine Sitzung darstellen. Zum Beispiel die Relation " eine Primzahl kleiner als fünf sein" oder "ein nicht-trivialer Teiler von sechs sein", je nach unserer Interpretation.

Aufmerksamen Lesern wird aufgefallen sein, dass die zweite Sitzung ein wenig seltsam definiert ist. Sie besagt, dass die Sitzung nichttriviale Teiler von sechs enthalten soll, und in der sich ergebenden Menge haben wir die Zahlen 2 und 3. Fehlen da nicht welche? Die Zahlen 1 und 6 sind Trivialdivisoren, die uns nicht interessieren. Aber es sollte negative Zahlen geben, also −2 und −3. Die Menge aller nicht-trivialen Teiler von 6 sieht so aus: {−3, −2, 2, 3}.

So wie wir einen Definitionsbereich für Funktionen angeben, geben wir eine Unterstützungsmenge für eine Sitzung an - die Menge, aus der wir die Elemente der Sitzung auswählen. In den vorangegangenen Beispielen haben wir z. B. die Familie angegeben, in der Opa Max lebte, usw. Wir haben nicht Väter und Kinder aus allen Familien der Welt ausgewählt. Wenn wir die Menge der natürlichen Zahlen als Unterstützungsmenge angeben, dann ist unsere Sitzung in Ordnung.

An diesem Punkt können wir die Sitzung definieren. Wenn wir eine Unterstützungsmenge aus natürlichen Zahlen haben, welche Elemente kann unsere unäre Sitzung enthalten? Wiederum nur die natürlichen Zahlen. Entweder alle oder nur eine Teilmenge. Wir können also sagen, dass eine bestimmte Sitzung eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen ist. Allgemeiner ausgedrückt: Wenn wir eine unäre Lerneinheit R und eine Unterstützungsmenge M haben, dann ist R ⊆ M, die Lerneinheit R eine Teilmenge der Menge M.

Definition einer binären Sitzung

Wie sieht es bei einer binären Sitzung aus? Bei einer binären Sitzung sind die Elemente der Sitzung R geordnete Paare. Jedes Element des Paares kann aus einer anderen Menge stammen. Wir können eine Sitzung "Elternteil - Anzahl der Kinder" haben. Die Eltern werden aus der Menge der Menschen, z. B. in Europa, ausgewählt, und die Anzahl der Kinder wird aus der Menge der natürlichen Zahlen plus Null ausgewählt.

Wie erhält man die Menge aller möglichen Paare aus den beiden Mengen? Mit Hilfe des kartesischen Produkts. Wenn wir die Mengen A = {a, b, c}, B = {1, 2} haben, dann erhalten wir durch das kartesische Produkt:

$$A\times B=\left\{[a, 1], [a, 2], [b, 1], [b, 2], [c, 1], [c, 2]\right\}$$

Dies ist die Menge aller möglichen Paare, die wir erhalten können, wenn wir ein Element aus der Menge A an die erste Stelle und ein Element aus der Menge B an die zweite Stelle setzen. Wenn wir also eine binäre Beziehung R zwischen den Mengen A und B haben, dann können wir diese Beziehung als R ⊆ A × B definieren.

Wenn wir die vorherigen Mengen A und B beibehalten und die Sitzung R zwischen diesen Mengen als "Buchstabe - Reihenfolge des Buchstabens im Alphabet" definieren, dann wird diese Sitzung wie folgt aussehen: R = {[a, 1], [b, 2]} Der Buchstabe c wird nicht mehr vorhanden sein, da das kartesische Produkt A × B das Paar [c, 3] nicht enthält.

Definition der n-ary Sitzung

Schließlich definieren wir die allgemeine n-äre Beziehung R zwischen den Mengen M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times\ldots\times M_n$$

Eine Sitzung ist also eine Teilmenge der geordneten n-tic. Ein Beispiel für eine binäre Relation kann eine "kleiner als"-Relation sein, oder <. Wir können dies zwischen einigen numerischen Bereichen, wie den natürlichen Zahlen, definieren. Dann sieht die Sitzung wie folgt aus:

$$< \subseteq \mathbb{N}\times\mathbb{N}$$

(Erschrecken Sie nicht, dass das Tag < so seltsam auf der linken Seite steht. Das ist nur der Name der Sitzung. Er könnte auch R lauten, wobei R für eine Sitzung kleiner als stehen würde.)

Konkret würde die Sitzung wie folgt aussehen:

$$\begin{eqnarray} <\quad=&&[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], \ldots\\ &&[2, 3], [2, 4], [2, 5], [2, 6], \ldots\\ &&[3, 4], [3, 5], [3, 6], [3, 7], \ldots\\ &&[4, 5], [4, 6], [4, 7], [4, 8], \ldots\\ &&\ldots\\ && \end{eqnarray}$$

Es ist die Menge der geordneten Paare, bei denen die natürliche Zahl an der ersten Stelle kleiner ist als die natürliche Zahl an der zweiten Stelle.

Notation der Lerneinheit

Üblicherweise benennen wir eine Sitzung mit den Großbuchstaben R, S, usw. oder mit den bekannten Symbolen: <, ⊆, = , usw. Aus den vorherigen Definitionen geht hervor, dass eine Sitzung eigentlich eine Menge ist. Schließlich ist fast alles in der Mathematik eigentlich eine Menge :-). Wenn wir also sagen wollen, dass das Element r zu der Sitzung R gehört, können wir es als r ∈ R schreiben.

Wenn wir zum Beispiel [1, 3] ∈ < schreiben, bedeutet das, dass das Zahlenpaar Eins und Drei zur Sitzung Weniger-als gehört. Bei binären Sitzungen begegnet uns oft die angenehmere Schreibweise, die Sie aus der Grundschule kennen. Anstatt den Operator zu verwenden, um ein Element von ∈ zu sein, schreiben wir einfach 1 < 3. Ebenso schreiben wir normalerweise nicht [5, 5] ∈ = , sondern 5 = 5.