Eigenschaften einer Funktion

Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jeder Zahl x im Definitionsbereich M nur eine y aus dem Wertebereich N zuordnet. Wir schreiben eine Funktion gewöhnlich in der Form y = f(x), oder wir können sie explizit f:y = x ausdrücken, wobei die Variable x das Argument der Funktion ist.

Definitionsbereich und Wertebereich

Für jede Funktion müssen wir auch ihren Definitionsbereich bestimmen, d. h. die Menge aller zulässigen Werte des Arguments x, d. h. aller Werte, die die Variable x annehmen kann. Wir bezeichnen den Definitionsbereich der Funktion f mit D(f).

Ein einfaches Beispiel: f:y = x, hier ist der Definitionsbereich gleich der ganzzahligen Menge der reellen Zahlen D(f) = ℝ. Ein anderes Beispiel: $f:y = \frac{1}{x}$ in diesem Fall ist der Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen, aber diesmal ohne Null, denn man kann nicht durch Null dividieren, der Ausdruck würde dann keinen Sinn ergeben D(f) = R ∖ {0}.

Der Wertebereich ist dann analog die Menge aller zulässigen y, d.h. die Menge aller Elemente, auf die die Funktion f zeigen kann. Wieder ein einfaches Beispiel: Betrachten Sie die Funktion f:y = x. Hier ist der Wertebereich die Menge ℝ, da y jeden Wert aus dieser Menge annehmen kann. Betrachten Sie jedoch eine andere Funktion f:y = |x| (Absolutwert). Hier ist der Wertebereich bereits gleich dem Intervall <0, +∞), denn es kann nie vorkommen, dass y z. B. gleich minus fünf ist, denn das ist nach der Definition von absolut nicht möglich.

Wenn wir beim Begriff der Abbildung von der Menge A auf die Menge B bleiben, dann wissen wir, dass die Menge A der Definitionsbereich und die Menge B der Wertebereich ist.

Monotonizität einer Funktion

Die Monotonie einer Funktion ist die Eigenschaft, die bestimmt, ob die Funktion in einem bestimmten Intervall ansteigend, abnehmend, nicht ansteigend, nicht abnehmend, konstant oder keine der oben genannten Eigenschaften aufweist.

Am besten lässt sich diese Eigenschaft am Graphen ablesen. Wenn Sie das Gefühl haben, dass der Graph abnimmt, handelt es sich um eine abnehmende Funktion, wenn er wächst, ist es eine wachsende Funktion. Wie einfach :-). Die Definitionen sehen wie folgt aus: Wir haben eine Funktion f und lassen x₁, x₂ ∈ D(f). Dann sagen wir, dass

• dieFunktion f steigend ist, wenn x₁ < x₂, dann f(x₁) < f(x₂).
• DieFunktion f ist abnehmend, wenn x₁ < x₂, dann f(x₁) > f(x₂). (Die Definition sieht gleich aus, aber im ersten Fall sind die Funktionswerte < und im zweiten >)

Siehe das Diagramm der steigenden Funktion f(x) = ln(x):

Wir sehen, dass, wenn wir x₁, x₂ so wählen, dass x₁ < x₂ gilt, auch f(x₁) < f(x₂) gilt. Betrachten wir nun einen anderen Graphen, diesmal für eine Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$, die beispielsweise auf dem Intervall (0, ∞) abnimmt:

Hier sehen wir, dass, wenn x₁ < x₂, dann f(x₁) > f(x₂), wiederum für ihre Funktionswerte gilt. Obwohl x₁ kleiner ist als x₂, "produziert" es einen größeren Funktionswert.

Wir werden noch die restlichen Definitionen auflisten:

• Die Funktion f ist nicht-abnehmend, wenn x₁ < x₂, dann f(x₁) ≤ f(x₂). (Die Definition ist ähnlich wie die einer steigenden Funktion, nur dass wir zulassen, dass die Funktion auf einem bestimmten Abschnitt einen konstanten Wert hat)
• Die Funktion f ist nicht-erhöhend, wenn x₁ < x₂, dann f(x₁) ≥ f(x₂).
• Eine Funktion f ist konstant, wenn der Wertebereich eine Ein-Punkt-Menge ist, oder wenn für zwei beliebige x₁, x₂ gilt, dass f(x₁) = f(x₂).

Ein Beispiel für eine nicht wachsende Funktion ist die Funktion f(x) = |x|−x:

Auf dem Intervall (−∞, 0) ist die Funktion abnehmend, aber auf dem restlichen Intervall hat die Funktion einen konstanten Funktionswert (Null). Auf dem gesamten Definitionsintervall ist sie also eine nicht wachsende Funktion.

Gerade und ungerade Funktionen

Einige Funktionen können unter bestimmten Bedingungen gerade oder ungerade sein. Am einfachsten ist es, den Graphen der Funktion zu kennen, denn dort kann man sie am schnellsten herausfinden. Eine gerade Funktion ist symmetrisch entlang der Achse y, während eine ungerade Funktion symmetrisch entlang des Ursprungs [0, 0] ist. Ein Beispiel für eine gerade Funktion ist y = x² und eine ungerade Funktion ist y = 2x. Die Definitionen sehen wie folgt aus - die Funktion f ist

• gerade, wenn für alle x ∈ D(f) gilt, dass f(x) = f(−x),
• istungerade, wenn für alle x ∈ D(f) gilt, dass −f(x) = f(−x) gilt.

Gerade und ungerade Funktionen werden in einem separaten Artikel, Gerade und ungerade Funktionen, behandelt.

Einfache Funktionen

Eine einfache Funktion erkennen wir daran, dass alle Funktionswerte eindeutig sind und sich kein Funktionswert wiederholt. Definition:

Eine Funktion f ist einfach, wenn für alle x₁, x₂ ∈ D(f) gilt, dass

$$ x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2) $$

Wenn wir zwei verschiedene x aus dem Definitionsbereich einer Funktion auswählen, dann müssen ihre Funktionswerte immer unterschiedlich sein.

Grafisch ist dies wie immer recht einfach zu sehen. Legt man eine Linie parallel zur x Achse durch den Graphen, so muss sie den Graphen in höchstens einem Punkt schneiden. Ein Beispiel für eine einfache Funktion ist die lineare Funktion y = 3x. Egal, welche Linie man nimmt, sie schneidet den Graphen immer in genau einem Punkt. Das Gegenteil ist eine Funktion wie die Sinusfunktion, deren Graph aus Wellen besteht. Legt man also eine Linie parallel zur x -Achse, die die y -Achse in einem Punkt $\frac12$ schneidet, so findet man unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graphen, es handelt sich also nicht um eine einfache Funktion.

Eine beschränkte Funktion

Funktionen können begrenzt sein, und sie können nach oben, nach unten oder sowohl nach oben als auch nach unten begrenzt sein - wir nennen eine solche Funktion einfach eine begrenzte Funktion. Eine Funktion f ist nach oben begrenzt, wenn wir eine reelle Zahl A finden, die größer ist als alle Funktionswerte von f. Ähnliches gilt für eine nach unten begrenzte Funktion. Daher die Definition:

• Eine Funktion f ist oben begrenzt, wenn es A ∈ ℝ gibt, so dass für alle x ∈ D(f) gilt, dass A > f(x).
• Eine Funktion f ist nach unten begrenzt, wenn es A ∈ ℝ gibt, so dass für alle x ∈ D(f) gilt, dass A < f(x).

Man kann sich dies grafisch vorstellen, indem man nach einer Linie parallel zur Achse von x (d. h. einer horizontalen Linie) sucht, die über oder unter dem gesamten Graphen der Funktion liegt.

In der Abbildung sehen wir den Graphen der Funktion f(x) = x⁴, der von unten begrenzt ist. Man beachte, dass man nicht die A finden muss, die dem Graphen "am nächsten" liegt, sondern nur die Linie willkürlich unter den Graphen legen muss.

Minimum und Maximum

Eine Funktion f hat ein Maximum an einem Punkt M des Definitionsbereichs, wenn M der höchste Funktionswert aller Funktionswerte ist, die die Funktion an diesem Punkt hat. Ähnliches gilt für das Minimum. Definition:

• Eine Funktion f hat ein globales Maximum an einem Punkt M ∈ D(f), wenn f(x) ≤ f(M) für alle x ∈ D(f) gilt - kurz gesagt, der Funktionswert ist am höchsten an M. Wenn es ein einziges Maximum gibt, nennen wir es ein scharfes Maximum.
• Eine Funktion f hat ein globales Minimum bei m ∈ D(f), wenn x ∈ D(f) für alle f(x) ≥ f(M) gilt - der Funktionswert ist bei m am kleinsten.

Man kann das Maximum und das Minimum einer Funktion auf einem Graphen wahrscheinlich recht leicht finden, man muss nur schauen, wo die Funktion am niedrigsten oder am höchsten ist. Natürlich kann eine Funktion weder ein Minimum noch ein Maximum haben, oder sie kann nur ein Minimum oder nur ein Maximum haben, genauso wie eine Funktion nur lokale Extrema, aber keine Extrema auf dem gesamten Definitionsbereich haben kann.

Wenn Sie Minima und Maxima finden müssen, verwenden Sie Ableitungen; die genaue Vorgehensweise ist im Artikel Funktionsverlauf beschrieben.

Beispiel

Bestimmen Sie die Eigenschaften der Funktion anhand des folgenden Graphen:

• Der Definitionsbereich dieser Funktion ist das Intervall <−4, 4>.
• DerWertebereich ist das Intervall <−2, 4>.
• Obwohl die Funktion so aussieht, als ob sie ansteigend sein könnte, hat die Funktion einen konstanten Wert im Intervall <0, 2>, so dass sie nicht ansteigend sein kann. Die Funktion ist jedoch in keinem Intervall abnehmend, d. h. sie ist eine nicht-abnehmende Funktion.
• Der Graph der Funktion ist nicht symmetrisch zur Achse y oder zum Ursprung des Koordinatensystems, also ist die Funktion weder gerade noch ungerade.
• Ist die Funktion einfach? Es wurde bereits gesagt, dass die Funktion im Abschnitt <0, 2> einen konstanten Wert hat, also kann die Funktion nicht einfach sein. Für verschiedene x hat sie denselben y.
• Die Funktion ist sowohl von oben als auch von unten begrenzt. Wir können eine horizontale Linie finden, die oberhalb des gesamten Graphen und unterhalb des gesamten Graphen verläuft.
• Die gegebene Funktion hat auch ein Minimum und ein Maximum. Sie hat ein Minimum bei m = −4 und ein Maximum bei M = 4.