Quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die durch die Vorschrift f(x) = ax² + bx + c ausgedrückt werden kann, wobei a, b, c die reellen Zahlen und a ≠ 0 sind. So wie eine lineare Funktion immer durch eine Gerade beschrieben wird, wird eine quadratische Funktion wiederum immer durch eine Parabel beschrieben.

Ein Beispiel für eine quadratische Funktion

Ein Beispiel für eine einfache quadratische Funktion wäre f(x) = x² + 3x − 7. Der Graph dieser Funktion würde wie folgt aussehen:

Wir könnten die quadratische Funktion schematisch als ax² + bx + c schreiben. Der Term ax² wird als quadratischer Term bezeichnet, und jede quadratische Funktion muss diesen Term enthalten. Der nächste Term bx wird als linearer Term bezeichnet und muss nicht in der quadratischen Funktion enthalten sein - er kann auch Null sein. Zum Beispiel ist diese Funktion f(x) = 5x² + 7 immer noch eine quadratische Funktion. Das letzte Glied von c wird als absolutes Glied bezeichnet und ist ebenfalls optional. Für die Funktion f(x) = x² + 3x − 7 würde also Folgendes gelten

$$ a = 1, b = 3, c = -7 $$

Warum ist a gleich eins? Weil die Schreibweise x² eigentlich 1 · x² bedeutet, also a = 1.

Eigenschaften der quadratischen Funktion

Beginnen wir mit dem Definitionsbereich: Der Definitionsbereich einer quadratischen Funktion ist ℝ, die Menge der reellen Zahlen, der Wertebereich hängt von der jeweiligen Funktion ab, geht aber immer bis (plus oder minus) unendlich. Außerdem ist die quadratische Funktion in der Mitte des Intervalls stets ansteigend und in der anderen Hälfte abfallend. Wenn der lineare Term gleich Null ist (b = 0), ist die quadratische Funktion gerade. Eine quadratische Funktion ist niemals eine einfache Funktion.

Beschränkungen von oben oder unten

Eine quadratische Funktion ist immer entweder von oben oder von unten beschränkt. Sie hängt nur von dem Parameter a ab. Ist der Parameter a nämlich positiv, dann "wächst" der Graph der Funktion nach oben, der Graph sieht aus wie der Buchstabe "U" und der Graph ist somit von unten begrenzt. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = 2x² mit dem Graphen:

Wir sehen, dass alle Funktionswerte (alle roten Punkte) über −1 liegen, die Funktion ist also von unten begrenzt. Hätten wir eine Funktion f(x) = −2x²:

dann lägen wiederum alle Funktionswerte unterhalb der Zahl 1, die Funktion wäre also nach oben begrenzt.

Konvexität und Konkavität

Konvexität und Konkavität hängen wiederum vom Parameter a ab. Eine quadratische Funktion ist konvex, wenn sie die Form des Buchstaben "U" hat, und konkav, wenn sie die Form eines umgekehrten "U" hat. Bei a > 0 ist der Graph also konvex und bei a < 0 konkav.

Der Parameter a beeinflusst auch, ob das Diagramm schmal oder breit ist. Je näher der Wert bei Null liegt, desto breiter ist das Diagramm und umgekehrt.

Die Schnittpunkte mit den Achsen x und y

Wenn wir die Schnittpunkte einer Funktion mit der Achse x oder y berechnen wollen, müssen wir nur eine einfache Gleichung aufstellen und sie dann lösen. Wir müssen uns nur daran erinnern, dass wir die Funktion in der Form y = ax² + bx + c schreiben können, was bedeutet, dass wir die y-Koordinate am Punkt x = 2 finden können, indem wir zwei nach allen x addieren.

Für die Funktion y = x² − 4x + 3 würden wir z.B. die y-Koordinate 2² − 4 · 2 + 3 = −1 im Punkt x = 2 erhalten. Der Graph der Funktion geht also mit Sicherheit durch den Punkt [2, −1]. Wenn wir die Schnittpunkte mit der Achse x berechnen wollen, dann interessiert uns eigentlich der x-Wert im Punkt y = 0. Der Schnittpunkt mit der Achse x hat immer die y-Koordinate 0. Schauen Sie sich den folgenden Graphen an, dann wird es klar.

Daher setzen wir in der Notation y = x² − 4x + 3 einfach eine Null hinter y ein und lösen die Gleichung. Die resultierenden Wurzeln sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte.

$$ x^2-4x+3 = 0 $$

Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir mit Standardverfahren lösen können. Wir können sie zum Beispiel in die Produktform (x − 1) · (x − 3) zerlegen, woraus wir ersehen, dass die Wurzeln x₁ = 1 und x₂ = 3 sind.

Wenn wir die Schnittpunkte mit der Achse y ermitteln wollen, gehen wir genauso vor. Wir nehmen die Schreibweise y = x² − 4x + 3 und setzen diesmal eine Null hinter x. Im Wesentlichen fragen wir, wie hoch der Funktionswert der Funktion am Punkt x = 0 ist:

$$ 0^2-4\cdot0+3=3 $$

Die Schnittpunkte mit der Achse x sind also [1, 0] und [3, 0], und mit der Achse y sind [0, 3].

Wie berechnet man die Koordinaten eines Scheitelpunkts?

Für eine quadratische Funktion ist es auch sehr wichtig, ihren Scheitelpunkt zu bestimmen. Um zu vermeiden, dass man sich eine ziemlich komplizierte Formel merken muss, zeigen wir einen anderen Weg, der die Methode der Vervollständigung auf einem Quadrat verwendet. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion ein Minimum oder Maximum hat. Die Funktion f(x) = x² − 4x + 3, deren Graph wie folgt aussieht:

hat einen Scheitelpunkt an der Stelle [2, −1].

Die Standardnotation für eine quadratische Funktion sieht wie folgt aus: f(x) = ax² + bx + c Wir werden diese Funktion in die Form g(x) = (x + m)² + n umwandeln, wobei [−m, n] der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion ist. Wir wollen also für unsere Funktion die Form (x − 2)² − 1 erhalten. Wie erhalten wir diese Form?

Zunächst schreiben wir einfach die Klammer: (x + m) und setzen den halben Wert des Parameters b der quadratischen Funktion hinter m. Der Parameter b ist gleich minus vier, also ist die Hälfte gleich minus zwei, also erhalten wir diese Schreibweise: (x − 2)².

Jetzt ist es Zeit für den zweiten Schritt, wir müssen die überzähligen Einträge abziehen. Wenn du diese Klammer multiplizieren würdest, würdest du nicht das richtige Ergebnis erhalten, wir würden nicht die ursprüngliche Funktion erhalten. Wir müssen noch die Quadratwurzel von m von der Klammer abziehen und den Parameter c von der ursprünglichen Funktion hinzufügen.

Wir subtrahieren also (−2)² von der Klammer und addieren drei (den Parameter c):

$$ (x - 2)^2 − 4 + 3 $$

Nach der Anpassung erhalten wir

$$ (x - 2)^2 − 1, $$

was das Endergebnis ist. Da die Funktion die Form (x + m)² + n hat, wobei m = −2, n = −1, wissen wir, dass der Scheitelpunkt die Koordinaten [−m, n], also [2, −1] hat.

Wir sollten noch überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben. Wir haben gerade die quadratische Funktion x² − 4x + 3 in die Form (x − 2)² − 1 umgewandelt. Aber diese neue Form sollte die gleiche Funktion beschreiben, wenn wir also die Klammern multiplizieren, sollten wir die ursprüngliche Form der Funktion erhalten. Versuchen wir also, (x − 2)² − 1 zu multiplizieren.

$$\begin{eqnarray} (x - 2)^2 − 1 &=& (x-2) \cdot (x-2)-1\\ &=& x^2-4x+4-1\\ &=& x^2-4x+3 \end{eqnarray}$$

Wir sehen, dass wir die gleiche Funktion erhalten, da wir die Anpassungen korrekt vorgenommen haben.