Exponentialfunktionen

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der anstelle des Exponenten eine Unbekannte steht.

Definition

Eine Exponentialfunktion f hat die Form

$$f(x)=a^x,\quad a\in\mathbb{R},\quad a>0,\quad a\ne1$$

Das Symbol a ist eine beliebige Zahl, es ist kein komplexer Ausdruck; es wird als Basis bezeichnet. Der Ausdruck x wird als Exponent bezeichnet. Die Basis kann also zum Beispiel eine ganze Zahl 3, eine rationale Zahl $\frac12$ oder eine Konstante π sein.

Warum stellen wir Bedingungen an die Basis a? Wenn a gleich eins wäre, hätten wir eine konstante Funktion, denn "eins für alles" ist immer eins. Es ist wahr, dass 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Und da wir eine konstante Funktion nicht als Exponentialfunktion klassifizieren, muss a von eins verschieden sein, also a≠1. Aus demselben Grund muss a≠0 wahr sein.

Und warum muss a>0 gelten? Weil die Potenz selbst nur für positive Zahlen definiert ist. Wenn wir zum Beispiel die Hälfte für x wählen, dann ist die Berechnung von $a^{\frac12}$ gleichbedeutend mit der Berechnung der Quadratwurzel von a. Wir können jedoch nur die Quadratwurzel einer nicht-negativen Zahl ziehen.

Wenn die vorherigen Bedingungen erfüllt sind, hat die Exponentialfunktion f(x) = a^x einen Definitionsbereich aus reellen Zahlen.

Quadratische Funktion vs. Exponentialfunktion

Man kann die Exponentialfunktion leicht mit der quadratischen Funktion verwechseln. Es ist richtig, dass eine quadratische Funktion eine Unbekannte als Basis und eine Zahl als Exponent hat, während eine Exponentialfunktion eine Zahl als Basis und eine Unbekannte im Exponenten hat. So sind quadratische Funktionen zum Beispiel die folgenden Funktionen: x², x² + 4 oder x² − x + 1. Exponentialfunktionen sind die Funktionen: 2^x, 4^x oder π^x.

Wichtige Exponentialfunktionen

Eine wichtige Exponentialfunktion ist die "natürliche Exponentialfunktion". Es handelt sich um eine Funktion mit einer Basiskonstante e, d.h. der Eulerschen Zahl. Die Eulersche Zahl ist eine irrationale Zahl, d. h. eine Zahl mit unendlicher dezimaler Ausdehnung, sie kann nicht genau beziffert werden. Ihr Näherungswert ist e = 2,718 281 828…. Diese Funktion wird oft als exp bezeichnet.

Eine weitere wichtige Exponentialfunktion ist die "dekadische Exponentialfunktion", die eine Basis von zehn hat: a = 10.

Die Form der Funktion in Abhängigkeit vom Wert von a

Die Funktion hat zwei Grundformen, die sich je nach dem Wert der Basis unterscheiden. Es gibt zwei Intervalle: (0,1) und (1, ∞). Wenn a aus dem ersten Intervall stammt, d. h. kleiner als eins ist, ist die Funktion abnehmend. Wenn sie aus dem zweiten Intervall stammt, dann ist sie steigend. Das macht natürlich Sinn. Betrachten wir als Beispiel $a=\frac12$, d. h. die Funktion $f(x)=\frac12^x$. Was passiert, wenn wir nach x nacheinander eine Zwei, eine Drei und eine Vier hinzufügen? Der Wert der Funktion wird allmählich abnehmen, denn wir erhalten: $f(2)=\frac12^2 = \frac12 \cdot \frac12=\frac14$, dann $f(x)=\frac12^3= \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12$, was gleich $\frac18$ ist. Für f(4) erhalten wir die Hälfte von einem Achtel, d. h. $\frac{1}{16}$. Wir erhalten immer kleinere Zahlen, da die Basis kleiner als eins ist. Wenn wir Zahlen multiplizieren, die kleiner als eins sind, erhalten wir immer eine kleinere Zahl.

Umgekehrt, wenn a>1, dann ist das Ergebnis der Multiplikation eine größere Zahl. Wenn wir eine Exponentialfunktion f(x) = 3^x haben, erhalten wir vier Ergebnisse für Werte von zwei, drei: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Für drei: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27 Dann f(4) = 81. Die Funktion ist also steigend. Auch wenn die Basis eine beliebige andere Zahl ist, die größer als eins ist, ist die Funktion immer noch steigend.

Daher müssen wir auch zwischen zwei Arten von Graphen unterscheiden, je nach dem Wert der Basis a.

Graphen von Exponentialfunktionen

Aus dem vorangegangenen Kapitel wissen wir, dass ein Graph in Abhängigkeit vom Wert der Basis a zwei Grundformen haben muss. Zunächst zeigen wir den Graphen für die Werte von a des Intervalls (0, 1).

Wir sehen, dass die Funktion abnimmt und durch den Punkt [0, 1] verläuft. Das ist kein Zufall - wir wissen aus den Eigenschaften von Potenzen, dass alles, was gegen Null geht, Eins ist. Also $\frac12^0=1, 5^0=1, 33^0=1$ usw. Daher muss jede Kurve einer Exponentialgleichung auch durch diesen Punkt gehen. Auch die Kurve, die die Exponentialfunktion an a>1 anpassen wird, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist:

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

• DerDefinitionsbereich ist die Menge aller [reellen Zahlen](reelle Zahlen)
• Der Bereich der Werte ist ein Intervall (0, ∞)
• Sie ist nach unten begrenzt, a^x>0. Nach oben unbegrenzt.
• Sie hat weder ein Maximum noch ein Minimum.

Die Monotonie der Funktion hängt dann vom Wert von a ab. Wenn a aus dem Intervall (0, 1) stammt, dann ist die Funktion abnehmend. Liegt sie im Intervall (1, ∞), dann ist sie steigend.

Exponenzielles Wachstum

Der Begriff "Exponentialwachstum" wird im allgemeinen Sprachgebrauch recht häufig verwendet. Normalerweise ist damit gemeint, dass etwas sehr schnell wächst. Ein klassisches Beispiel dafür ist die Teilung von Bakterien, wie wir sie aus der Fernsehserie Once Upon a Time kennen. Da gab es einmal ein böses Bakterium, das sich so zu vermehren begann, dass es sich immer teilte. Wir können diese Methode der Vermehrung durch eine Exponentialfunktion f(x) = 2^x beschreiben. Der Funktionswert gibt uns die Anzahl der Bakterien nach x Runden der Teilung.

Beispiel: Zu Beginn (Anzahl der Teilungen Null, x = 0) haben wir eine Bakterie, d.h. 2⁰ = 1. Nach der ersten Multiplikationsrunde haben wir 2¹ = 2, d.h. zwei Bakterien. Das passt, ein Bakterium wird sich in zwei teilen. Nun teilen sich diese beiden Bakterien, d. h. wir haben 2² = 4 vier Bakterien. Wieder teilt sich jedes einzelne, so dass wir nach der dritten Runde 2³ = 8 Bakterien haben. Und so weiter.

Diese Vermehrung ist, auch wenn es nicht so aussieht, furchtbar schnell. Wie viele Bakterien haben wir nach der zehnten Runde? 2¹⁰ = 1024 Das ist eine schöne Zahl. Nach 20 Runden haben wir: 2²⁰ = 1 048 576 Nach dreißig Runden sind wir bei über einer Milliarde angelangt.

Diese Rate ist viel höher als bei der gewöhnlichen quadratischen Gleichung. Wenn wir die Geschwindigkeit der Exponentialfunktion f(x) = 2^x und der quadratischen Funktion g(x) = x² vergleichen, gewinnt die Exponentialfunktion eindeutig. Wir kennen bereits den Wert der Funktion f am Punkt x = 20, während der Wert der quadratischen Funktion g am Punkt x = 20 gleich ist: g(20) = 20² = 400 Dieser Wert ist um ein Vielfaches kleiner als 1 048 576.