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Multiplikation auf Papier

Kapitoly: Multiplikation, Multiplikation auf Papier, Multiplikation negativer Zahlen

Wie man zwei Zahlen nur mit Stift und Papier multipliziert.

Wie man auf Papier multipliziert

Wir beginnen mit einem einfachen Beispiel, ein komplexeres Beispiel finden Sie am Ende des Artikels. Zu Beginn gehen wir davon aus, dass wir zwei Zahlen haben, die wir multiplizieren wollen. Wir werden vorerst nur mit natürlichen Zahlen arbeiten. Nehmen wir an, wir wollen die Zahlen 13 · 72 multiplizieren. Wir schreiben diese Zahlen auf und fügen eine Zeile darunter ein:

$$ \begin{array}{cr} &13\\ \cdot&72\\\hline \end{array} $$

Wir beginnen mit der Multiplikation der letzten Ziffer (anstelle der Einsen) der unteren Zahl mit allen Ziffern der oberen Zahl. Wir fangen wieder von rechts an, multiplizieren also zuerst 2 · 3 = 6. Das Ergebnis schreiben wir direkt unter die Ziffer 2. Als nächstes multiplizieren wir die Ziffer 2 mit der zweiten Ziffer von rechts, multiplizieren also 2 · 1 = 2. Dieses Ergebnis schreiben wir direkt unter 7:

$$ \begin{array}{cr} &13\\ \cdot&72\\\hline &26 \end{array} $$

Wenn wir die untere Zahl um eine Stelle nach links verschieben, kommen wir auf die Ziffer 7 und führen das gleiche Verfahren durch. Da wir jedoch eine Größenordnung verschoben haben (die Sieben steht für Zehner, die Zwei für Einser), müssen wir auch eine Größenordnung unter die Zeile verschieben. Unten rechts, unter der Sechs, schreiben wir eine Null. Dann fahren wir auf die gleiche Weise fort.

$$ \begin{array}{cccc} &1&3\\ \cdot&7&2\\\hline &2&6&\\ &&0 \end{array} $$

Wir multiplizieren also mit 7 · 3 = 21. Hier kommt der Verrat ins Spiel - wir können nur eine Ziffer addieren, wir können nicht 21 schreiben - das sind zwei Ziffern. Wir lösen das Problem, indem wir die Zahl in zwei Ziffern aufteilen: Wir schreiben die rechte, 1, auf das Papier und merken uns die linke, 2, bis zur nächsten Runde. Also: 1 schreiben wir auf das Papier, 2 merken wir uns. Wir schreiben sie neben die Null.

$$ \begin{array}{cccc} &1&3\\ \cdot&7&2\\\hline &2&6&\\ &1&0 \end{array} $$

Dann multiplizieren wir die Ziffer 7 mit der Ziffer 1 in der oberen Zahl: 7 · 1 = 7 Jetzt kommt unsere Ziffer 2, die wir uns gemerkt haben: wir addieren sie zu diesem Ergebnis: 7 + 2 = 9 Diese Zahl schreiben wir links neben die Ziffer 1 in der untersten Zeile:

$$ \begin{array}{cccccc} &&1&3\\ \cdot&&7&2\\\hline &&2&6&\\ &9&1&0 \end{array} $$

Damit bleibt der letzte Schritt: Wir addieren die Zahlen unter der Zeile.

$$ \begin{array}{cccccc} &&2&6&\\ +&9&1&0\\\hline &9&3&6 \end{array} $$

13 · 72Der nächste Schritt besteht darin, die Zeile zu beenden, was der letzte Schritt ist: Wir müssen die letzte Zeile zur untersten Zeile hinzufügen.

Warum das funktioniert

Wir können die Multiplikation in einfachere Summen und Summanden zerlegen: Wir können schreiben, dass 13 · 72 dasselbe ist wie 13 · 2 + 13 · 70. Sie können den Vorwurf darin sehen, aber der einfache Grund reicht aus: Wenn ich siebzig Mal die Zahl Dreizehn addiere, ist es dasselbe, als wenn ich siebzig Mal die Zahl Dreizehn addiere und dann zwei weitere Dreizehn addiere.

Das beschriebene Verfahren ergibt nichts anderes als diese aufeinanderfolgenden Summen. In den Fußnoten finden wir die Zahlen 26 und 910. Aber 26 = 2 · 13 und 910 = 70 · 13.

Damit es wirklich passt, mussten wir in der zweiten Zeile eine Null hinzufügen - denn wir zählten ja eigentlich 7 · 13. Um das Produkt von 70 · 13 zu erhalten, müssen wir eine weitere Null zum Ergebnis hinzufügen.

Ein komplizierteres Beispiel

Berechne: 28 · 617 Als Erstes schreiben wir die Zahlen darunter:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline \end{array} $$

Im ersten Schritt berechnen wir: 7 · 8 = 56. Wir schreiben 6, 5 folgt als nächstes.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &&&6 \end{array} $$

Als nächstes: 7 · 2 = 14, addieren wir 5 vom letzten Mal: 14 + 5 = 19. Als nächstes schreiben wir 9, 1.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &&9&6 \end{array} $$

Da es nichts mehr zu multiplizieren gibt, fügen wir eins hinzu:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6 \end{array} $$

Wir gehen in die zweite Zeile. Wir fügen eine Null hinzu und multiplizieren: 1 · 8 = 8, wir schreiben 8:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &&8&0 \end{array} $$

Weiter: 1 · 2 = 2, schreiben Sie 2:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0 \end{array} $$

Und wir gehen in die dritte Zeile. Wir gehen eine Zeile weiter nach oben, also schreiben wir eine Null mehr als vorher:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ &&0&0 \end{array} $$

Und wir multiplizieren: 6 · 8 = 48, 8 schreiben wir, 4 geht weiter.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ &8&0&0 \end{array} $$

Weiter: 6 · 2 = 12, wir addieren 4, so erhalten wir 12 + 4 = 16. 6 schreiben wir, 1 geht weiter.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ 6&8&0&0 \end{array} $$

Da es nichts mehr zu multiplizieren gibt, addieren wir eins:

$$ \begin{array}{ccccc} &&&2&8\\ \cdot&&6&1&7\\\hline &&1&9&6\\ &&2&8&0\\ 1&6&8&0&0 \end{array} $$

Und jetzt addieren wir alle drei Zahlen unter der Linie:

$$ \begin{array}{cccccc} &&&1&9&6\\ &&&2&8&0\\ +&1&6&8&0&0\\\hline &1&7&2&7&6 \end{array} $$