Multiplikation negativer Zahlen

Negative Zahlen können ein wenig kontraintuitiv sein, vor allem, wenn es um ihr Produkt geht.

Wie man sich negative Zahlen vorstellt

Im Alltag begegnet man negativen Zahlen nicht allzu oft. Ich glaube nicht, dass viele Leute sagen: "Hey, Oma, schau mal, da drüben auf dem Hügel sind minus acht Kühe!" Die Multiplikation negativer Zahlen ist noch schwieriger zu erklären.

Aber es gibt zumindest einen Fall, in dem negative Zahlen für alle klar sind: das Haushaltsbudget, seine Einnahmen und Ausgaben. Wenn du zum Beispiel dein Bankkonto ansiehst, siehst du Posten wie:

• +15 000 Kč: Gehaltszahlung
• −1 753 CZK: Einkauf im Hypermarkt
• −980 Kč: Kauf von Kaugummi für das ganze Jahr
• +2500 CZK: staatliche Zulage für gute Laune
• −8000 Kč: Miete

Wenn du Geld einnimmst, steht ein Pluszeichen neben dem Betrag, wenn du Geld ausgibst, steht ein Minuszeichen - denn du ziehst das ausgegebene Geld von deinem Saldo ab.

Wir können uns also negative Zahlen als Ausgaben vorstellen. Wenn wir tausend Kronen hinzugefügt haben, schreiben wir das als +1000, wenn wir fünftausend ausgegeben haben, schreiben wir das als −5000. Es muss nicht nur Geld sein, wenn wir sechs Kaugummis aus dem Korb nehmen, können wir das als −6 vermerken.

Multiplikation einer negativen Zahl mit einer positiven Zahl

Was ist das Ergebnis des Produkts 7 · (−20)? Im Grunde geht es darum, welches Vorzeichen das Ergebnis haben wird. Es ist wahrscheinlich offensichtlich, dass das Ergebnis entweder 140 oder −140 sein wird. Wie begründen Sie das richtige Vorgehen?

Angenommen, eine Packung Kaugummi kostet 20 und wir kaufen 7. Nun fragen wir uns, wie viel Geld wir insgesamt für diese sieben Kaugummis ausgegeben haben. Offensichtlich haben wir 7 · 20 = 140 Kč ausgegeben.

Aber da es sich um Geld handelt, das wir tatsächlich ausgegeben haben, haben wir es nicht verdient, also fügen wir ein Minuszeichen hinzu. Wenn wir das Ergebnis 140 lassen würden, würde das bedeuten, dass es unser Einkommen ist, aber es ist unsere Ausgabe: daher das Ergebnis 7 · (−20) = −140.

Auch dies können wir in eine Addition umwandeln: Angenommen, wir haben nur zwei Kaugummis gekauft. Beide haben zwanzig Kronen gekostet, in unseren Büchern würde es also heißen

• −20 CZK: Kaugummi
• −20 CZK: Kaugummi

Wir können dies auf 2 · (−20) umschreiben, oder wir können die Ausgaben zusammenzählen: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Dann können wir einfach schreiben:

• −40 Kč: zwei Kaugummis

In dem Moment, in dem wir eine positive Zahl mit einer negativen multiplizieren (oder eine negative mit einer positiven, das spielt keine Rolle), können wir uns vorstellen, dass der negative Teil für einige Ausgaben steht und die positive Zahl für die Anzahl dieser Ausgaben. Und da wir die Ausgaben zusammenzählen, muss das Ergebnis auch negativ sein.

Algebraische Rechtfertigung

Dass die Multiplikation einer positiven und einer negativen Zahl eine negative Zahl ergibt, lässt sich algebraisch begründen. Versuchen wir, dieses Beispiel auszurechnen: 5 · (4 − 4). Das Ergebnis ist natürlich Null, denn 4 − 4 = 0 und 5 · 0 = 0. Wenn wir jedoch wissen, wie man Klammern faktorisiert und multipliziert, können wir das vorherige Beispiel wie folgt umschreiben:

$$ 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-4) = 0 $$

Wir haben den Ausdruck in einen anderen, aber gleichwertigen Ausdruck umgeschrieben. Die linke Seite der Gleichung muss immer noch gleich Null sein, weil der ursprüngliche Ausdruck 5 · (4 − 4) ebenfalls gleich Null war. Jetzt multiplizieren wir 5 · 4 = 20:

$$ 20 + 5 \cdot (-4) = 0 $$

Jetzt bleibt nur noch der Ausdruck 5 · (−4) übrig. Aber was muss dieser Ausdruck bedeuten, damit die Gleichung gültig bleibt? Welche Zahl müssen wir zu 20 addieren, um Null zu erhalten? Es ist die Zahl −20. Das einzig mögliche Ergebnis des Ausdrucks 5 · (−4) ist also die Zahl −20. Wir sehen also wieder, dass das Produkt einer positiven und einer negativen Zahl eine negative Zahl ergibt.

Das Produkt von zwei negativen Zahlen

Das Produkt von zwei negativen Zahlen ergibt eine positive Zahl. Auf den ersten Blick mag dies seltsam erscheinen, aber es ist durchaus verständlich. In der Sprache funktioniert es genauso, wenn man eine doppelte Verneinung verwendet: In der Ankündigung "wir werden nicht unhöflich sein" haben wir zwei Verneinungen, aber der Satz sagt uns dasselbe wie "wir werden höflich sein". Theoretisch könnten wir beides sein.)

Eine kleine Rechtfertigung findet sich im nächsten Abschnitt mit der Bewegung des Herrn mit der Aktentasche. Nun folgt eine Übersichtstabelle mit den Beziehungen zwischen positiven und negativen Zahlen in Bezug auf das Produkt:

$$\begin{eqnarray} \mbox{ Positiv } \cdot \mbox{ Positiv } &=& \mbox{ Positiv }\\ \mbox{ Positiv } \cdot \mbox{ Weiterleiten } &=& \mbox{ Weiterleiten }\\ \mbox{ Weiterleiten } \cdot \mbox{ Positiv } &=& \mbox{ Weiterleiten }\\ \mbox{ Weiterleiten } \cdot \mbox{ Weiterleiten } &=& \mbox{ Positiv }\\ \end{eqnarray}$$

Rechtfertigung durch Bewegung

Das Produkt mit negativen Faktoren lässt sich sehr schön durch Bewegung erklären. Stellen wir uns vor, wir stehen im Ursprung der Zahlenachse. Das geht ungefähr so:

Nehmen wir als nächstes das Produkt zweier Zahlen, sagen wir 2 · 3. Wir zeigen dieses Produkt auf der Zahlengeraden als die Bewegung des Herrn mit der Aktentasche. Die erste Zahl steht für die Länge des Schritts und die zweite Zahl für die Anzahl der Schritte, die der Herr macht, so dass wir es als das Produkt delka kroku · počet kroků sehen können.

Dabei werden aber auch negative Zahlen berücksichtigt. Wenn die Schrittlänge positiv ist, geht der Herr normalerweise vorwärts, aber wenn die Schrittlänge negativ ist, geht er rückwärts. Ist die Anzahl der Schritte positiv, geht der Meister nach rechts (wie im Bild oben), ist sie negativ, geht er nach links.

Welche Zahl der Herr mit der Aktentasche auch immer erreicht, sie ist das Ergebnis des Produkts der angegebenen Zahlen. Schauen wir uns an, wie es für alle Kombinationen von positiven und negativen Zahlen funktioniert.

Für das Produkt von 2 · 3 steht der Herr rechts und geht vorwärts. Er macht also drei Schritte von zwei Quadraten nach vorne.

Der Herr mit der Aktentasche erreicht die Zahl 6, also ist das Ergebnis 2 · 3 = 6.

Nun versuchen wir das Produkt −2 · 3. Die erste Zahl ist negativ, was bedeutet, dass der Herr jetzt rückwärts geht. Aber die zweite Zahl ist positiv, also wird er nach rechts schauen. Der Herr schaut also nach rechts und geht drei Schritte rückwärts:

Wir sehen, dass der Herr mit der Aktentasche die Zahl −6 erreicht hat, was mit der Tatsache übereinstimmt, dass −2 · 3 = −6.

Als Nächstes versuchen wir es mit 2 · (−3). Die erste Zahl ist positiv, also wird der Herr vorwärts gehen. Aber die zweite Zahl ist negativ, also wird der Herr nach links schauen. Der Herr schaut nach links und geht drei Schritte vorwärts:

Der Herr ist wieder bei der Zahl −6 angelangt, die mit 2 · (−3) = −6 übereinstimmt. Sie sehen, dass es keine Rolle spielt, ob der Herr nach links schaut und vorwärts geht oder ob er nach rechts schaut und rückwärts geht - in beiden Fällen wird er zu negativen Zahlen kommen.

Zuletzt schicken wir den Herrn, um −2 · (−3) zu berechnen, also drehen wir uns nach links und lassen ihn drei Schritte rückwärts gehen:

Der Herr kommt, vielleicht ein wenig überraschend, bei der Zahl 6 an. Wir können also sagen, dass −2 · (−3) = 6, das Produkt von zwei negativen Zahlen, gleich einer positiven Zahl ist.