Aufrunden

Runden ist eine Möglichkeit, hässliche Zahlen in schöne Zahlen zu vereinfachen. Zum Beispiel ist die Zahl 98 unnötig komplex und wir könnten sie zu der schönen Zahl 100 vereinfachen.

Ähnliche Zahlen

Der Sinn des Rundens besteht darin, aus einer exakten, aber zu komplexen Zahl eine wertmäßig ähnliche und einfachere Zahl zu machen. Normalerweise müssen wir nicht wissen, dass ein Auto mit 61,49 km/h fährt, es reicht zu wissen, dass es mit 60 km/h fährt. Dieser Vorgang, bei dem aus 61,49 eine 60 wird, wird als Runden bezeichnet.

Das Prinzip der Rundung

Zunächst wird gezeigt, wie man Zahlen auf ganze Zehnerstellen runden kann. Das bedeutet, dass die resultierende Zahl ohne Rest durch zehn teilbar sein muss. Die Zahl 57 ist nicht gleichmäßig durch zehn teilbar, aber die Zahlen 80 oder 150 sind es. Alle durch zehn teilbaren Zahlen haben eine Null anstelle der Einsen (der letzten Ziffer).

Die Frage ist nun, auf welche Zahl wir 57 runden würden. Wir gehen natürlich nach dem Näherungsverfahren vor - was sind die nächstliegenden Zahlen, die durch zehn teilbar sind? Im Grunde gibt es zwei Kandidaten: eine Zahl, die kleiner als 57 ist, und eine Zahl, die größer als 57 ist. Die erste Zahl, die kleiner als 57 und durch zehn teilbar ist, ist die Zahl 50. Auf der anderen Seite haben wir die Zahl 60.

Aber 57 ist näher an 60 als an 50, denn der Abstand von 60 zu 57 ist 3 (60 − 57) und der Abstand von 57 zu 50 ist 7 (57 − 50). Daher ist 57 aufgerundet auf Zehner gleich 60. 60 ist die nächstliegende Zahl, die durch zehn teilbar ist.

Was passiert aber, wenn man 55 auf die nächste Zehnerstelle runden will? Denn eine solche Zahl ist von 50 genauso weit entfernt wie von 60, weil sie von beiden 5 entfernt ist. (Manchmal werden, vor allem aus technischen Gründen, andere Verfahren verwendet).

Rundungsregeln

Auch hier gehen wir davon aus, dass auf ganze Zehner gerundet wird.

Wir können grundsätzlich auf zwei Arten runden. Die erste Möglichkeit besteht darin, abzurunden, d. h. die ursprüngliche Zahl kleiner zu machen. Wir runden ab, wenn die letzte Ziffer zwischen 0 und 4 liegt. Zum Beispiel runden wir die Zahl 23 auf 20, weil die letzte Ziffer eine 3 ist. Die Zahl 54 auf 50, weil die letzte Ziffer eine Vier ist. Die Zahl 80 auf 80. Vorsicht, wir runden auf keinen Fall auf 70 ab, denn wenn eine Null da ist, ändert sich die Zahl nicht.

Die andere Möglichkeit, aufzurunden, ist das Aufrunden, damit die ursprüngliche Zahl größer wird. Wir runden auf, wenn die letzte Ziffer zwischen 5 und 9 liegt. Wir runden also 19 auf 20, 56 auf 60, 88 auf 90. Wir runden auch auf, wenn die Zahl mit einer 5 endet, also runden wir 15 auf 20, 75 auf 80, usw.

Wenn die Zahl mit 0, 1, 2, 3 oder 4 endet, runden wir ab. Endet sie auf 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet.

Runden nach Größenordnungen

Bis jetzt haben wir immer nur auf ganze Zehner gerundet. Wir können aber auch jede andere Ordnung wählen, auf die wir runden wollen. Mit Ordnung meinen wir Zehner, Hunderter, Tausender...

Wenn wir eine Zahl auf Hunderter runden, bedeutet das, dass die Zahl durch den Rest des Hunderters teilbar sein soll. Die Zahl 1853 ist nicht durch Stämme teilbar, die Zahl 7200 ist durch Stämme teilbar. Ähnliches gilt für die anderen Ordnungen. Solche Zahlen sind immer dadurch gekennzeichnet, dass sie am Ende eine bestimmte Anzahl von Nullen haben. Eine durch Zehn teilbare Zahl hat mindestens eine Null am Ende (es können auch mehr sein, 7200 ist natürlich auch durch Zehn teilbar), eine durch Stämme teilbare Zahl hat zwei Nullen, eine durch Tausender teilbare Zahl hat drei Nullen usw.

Wenn wir eine Zahl auf Hunderter runden wollen, suchen wir die nächstliegende Zahl, die durch hundert teilbar ist. Wir würden also die Zahl 389 auf 400 runden, da diese Zahl näher an 389 als an 300 liegt.

Regeln für die Rundung auf Größenordnungen

Das Verfahren ist praktisch dasselbe wie beim Runden auf Zehnerstellen, mit dem Unterschied, dass wir nicht auf die letzte Ziffer der Zahl schauen, sondern auf die erste Ziffer, die Null sein muss.

Für Zehner ist es die erste Stelle von rechts, für Hunderter die zweite Stelle von rechts, für Tausender die dritte Stelle von rechts...

Probieren wir das Verfahren mit der Zahl 6482 aus, die wir auf die nächste Hunderterstelle runden. Die resultierende Zahl muss mit mindestens zwei Nullen enden, also schauen wir uns die zweite Stelle von rechts an. Das ist die Ziffer 8. Die Ziffer 8 sagt uns, dass wir aufrunden müssen, das ändert sich nicht. Wir erhöhen also den Wert der dritten Ziffer von rechts, das ist die Ziffer 4, um eins und löschen die letzten beiden Ziffern - wir erhalten 6500. Dies ist die nächsthöhere Zahl, die durch 100 teilbar ist.

Versuchen wir, die gleiche Zahl, 6482, auf die nächste Tausenderstelle zu runden. Wir sollten eine Zahl erhalten, bei der die letzten drei Ziffern Null sind. Wir schauen auf die dritte Ziffer von rechts, 4. Das sagt uns, dass wir abrunden müssen. An diesem Punkt ändert sich der Wert der vierten Ziffer von rechts nicht, wir setzen nur die letzten drei Ziffern auf 0, so dass wir 6000 erhalten.

Dezimalzahlen

Auch Dezimalzahlen können gerundet werden, wobei es wiederum darauf ankommt, in welcher Reihenfolge gerundet wird. Zum Beispiel können wir die Zahl 96,6 auf ganze Einheiten auf 97 runden. Dies gilt auch für niedrigere Zahlen. Wenn wir die Zahl 0,327 auf Hundertstel runden wollen, schauen wir uns die dritte Zahl nach dem Komma an und sehen, dass dort eine Sieben steht, die aufgerundet wird, also runden wir auf 0,330. Bei Dezimalzahlen müssen wir keine Nullen am Ende schreiben. Die Zahl 3,200 ist das Gleiche wie 3,2. Wir können also das vorherige Ergebnis nach der Rundung auf 0,33 umschreiben. Wenn wir die ursprüngliche Zahl auf Zehntel runden wollten, würde das Ergebnis 0,3 lauten.

Runden in der Reihenfolge

Wenn wir eine Zahl auf eine Größenordnung runden müssen, schauen wir immer nur eine Größenordnung tiefer. Wir gehen nicht so vor, dass wir der Reihe nach auf alle Größenordnungen runden. Ein Beispiel: die Zahl 746. Wenn wir sie auf die Hunderterstelle runden, erhalten wir die Zahl 700, weil wir auf die zweite Stelle von rechts schauen, und das ist 4, und die wird abgerundet.

Aber wir könnten die Zahl theoretisch zuerst auf Zehner runden, was uns die Zahl 750 geben würde, weil die Ziffer 6 uns sagt, dass wir aufrunden sollen. Erst jetzt würden wir auf den Hunderter aufrunden - wir bekämen 800 und nicht 700, weil wir bereits nach der Ziffer 5 und nicht nach der Ziffer 4 aufrunden.

Dies wird als progressives Runden bezeichnet, und wir verwenden es normalerweise nicht, weil es mühsamer und ungenauer ist.