Division von Zahlen

Das Dividieren von Zahlen ist der umgekehrte Prozess zum Multiplizieren von Zahlen. Gleichzeitig ist die Division eine gute Quelle für Humor, denn wie jeder weiß, kann man nicht durch Null dividieren, da dies unser Notebook verbrennen würde.

Was ist die Division von Zahlen?

Wir können uns die Division als ein Beispiel dafür vorstellen, wie man ein großes Ganzes in gleichgroße kleinere Teile teilt. Wir könnten einen Vater haben, der ein 100 cm langes Brett in fünf gleich große Stücke schneiden muss. Wie groß wird jedes Stück sein?

Wir können den umgekehrten Weg gehen: Wenn wir die Längen aller fünf geschnittenen Teile zusammenzählen, müssen wir die Zahl 100 erhalten. Welche Zahl erfüllt diese? Es ist die Zahl 20, denn 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Wir können auch die Multiplikation statt der Addition verwenden. Wir können fragen: Welche Zahl multipliziert mit fünf ergibt 100? Auch hier ist es die Zahl 20, denn 5 · 20 = 100.

Grafisch könnte man dies so ausdrücken, dass man ein Liniensegment der Länge 100 in fünf gleiche Längen unterteilt:

Wenn wir die Zahl 100 durch 5 teilen wollen, finden wir heraus, "wie oft die Zahl fünf in die Zahl hundert passt". Wir schreiben die Division entweder mit einem Schrägstrich: 100 / 5 oder mit einem Doppelpunkt: 100 : 5 Das Ergebnis der Division von zwei Zahlen ist ein Quotient. In unseren Beispielen ist die Zahl 20 der Quotient aus den Zahlen 100 und 5. Die Zahl auf der linken Seite wird als Divisor, die Zahl auf der rechten Seite als Quotient bezeichnet. Wir können die Division auch mit einem Bruch schreiben, statt 100 / 5 können wir $\frac{100}{5}$ schreiben. Zusammenfassung der Nomenklatur:

$$ a : b = \frac{a}{b} = c $$

• a wird als Divisor bezeichnet,
• b wird als Divisor bezeichnet,
• c wird Quotient genannt.

Definition durch Multiplikation

Die einfachste Art, einen Quotienten zu definieren, ist die Multiplikation. Nehmen wir zum Beispiel den Quotienten der folgenden Zahlen: 35 / 7 Was ist das Ergebnis? Wir suchen nach einer Zahl, die, wenn sie mit 7 multipliziert wird, die Zahl 35 ergibt. Wenn wir 48 / 8 dividieren würden, würden wir nach einer Zahl suchen, die, wenn sie mit 8 multipliziert wird, die Zahl 48 ergibt.

Das Ergebnis von 35 / 7 ist also die Zahl 5, weil 7 · 5 = 35. Das Ergebnis von 48 / 8 ist die Zahl 6, weil 8 · 6 = 48.

Wenn wir a / b allgemein dividieren, dann ist das Ergebnis die Zahl c, für die b · c = a gilt.

Obwohl wir alle Beispiele mit natürlichen Zahlen gezeigt haben, können wir aufgrund der Definition mit Multiplikation auch jede andere Zahl dividieren. Zum Beispiel können wir den Quotienten −85,76 / 6,7 finden, indem wir die Zahl x finden, für die 6,7 · x = −85,76 gilt. Dies gilt auch für x = −12,8.

Wir können Null durch eine andere Zahl dividieren

Wir können Null durch eine andere Zahl dividieren, dies ist ein gültiger Ausdruck: 0 / 15 Im Grunde wollen wir damit sagen, dass wir die Null in 15 gleiche Teile teilen wollen. Wir können uns vorstellen, dass wir keinen Kuchen haben und diesen Kuchen, den wir nicht haben, in 15 Teile teilen wollen - wie groß werden die Teile sein? Sie werden Null sein, weil wir einfach keinen Kuchen haben. Oder stellen Sie sich vor, Sie haben null Kronen in Ihrem Portemonnaie und Sie wollen diese null Kronen unter drei Kindern aufteilen. Wie viel bekommt jedes Kind? Sie bekommen nichts, weil Sie nichts haben. Deshalb 0 / 15 = 0.

Wir können Null durch eine andere Zahl teilen, aber wir können keine andere Zahl durch Null teilen. Dieser Ausdruck ist ungültig: 8 / 0.

Aber warum können wir nicht durch Null dividieren?

Wir können nicht durch Null dividieren, weil das Elfte Gebot es verbietet.

Aber es gibt noch zwingendere Gründe. Für den Moment betrachten wir den Fall, dass der Quotient von Null verschieden ist - die Division hat die Form a / 0, wobei a ≠ 0. Wir werden zwei Gründe aufführen:

1. Bleiben wir bei der Analogie der Teilung eines Ganzen in kleinere, gleich große Teile. Wir haben 15, die grausamsten, Pokémon. Nun wollen wir sie auf null Kinder aufteilen. Wie viele Pokémon bekommt jedes Kind?

Eh????

Ja, du hast die Aufgabe richtig gelesen, und ja, sie macht keinen Sinn. Wir können nicht fragen, wie viele Pokémon jedes Kind bekommen hat, wenn wir keine Kinder haben, denen wir die Pokémon geben können. Deshalb macht es auch keinen Sinn, durch Null zu dividieren, und deshalb sagen wir, dass der Begriff x / 0 undefiniert ist.

• Wir haben die Division durch Multiplikation eingeführt. Wenn wir versuchen, durch Null zu dividieren 15 / 0, suchen wir nach einer Zahl x, für die x · 0 = 15 gilt. Nur was auch immer mal Null ist, wir werden niemals x finden, für die diese Gleichung einen Sinn ergibt.

Was ist mit dem Bruch 0/0?

Der ist genauso undefiniert wie x / 0. Gründe:

Dieses Mal haben wir null der grausamsten Pokémon, die auf null Kinder verteilt werden müssen. Auch dies ist eine unsinnige Forderung.

Nach der Definition der Division suchen wir, wenn wir 0 / 0 dividieren, eine Zahl x, für die x · 0 = 0 gilt. Wir würden eine Lösung finden, oder genauer gesagt: jede reelle Zahl ist eine Lösung dieser Gleichung. Ob wir 4, 1 oder π nach x einsetzen, die Gleichung ist erfüllt. Natürlich ist es unzulässig, dass das Ergebnis der Division die gesamte Menge der reellen Zahlen ist; das macht keinen Sinn.

Wir müssten eine bestimmte Zahl aus der gesamten Menge auswählen und sagen, dass diese bestimmte Zahl das Ergebnis der Division von 0 / 0 ist. Aber welche Zahl? Sollte sie gleich eins sein? Acht? Null? Minus eins? Und warum ist das so? Versuchen wir, Argumente für Null und für Eins zu finden:

1. Wir wissen, dass wenn wir einen Bruch der Form x / x haben, dann ist dieser Bruch gleich eins. Zum Beispiel 7 / 7 = 1 oder 3 / 3 = 1. Von hier aus könnten wir ableiten, dass 0 / 0 so definiert sein sollte, dass 0 / 0 = 1 gilt.

• Schauen wir uns diese Folge von sicher gültigen Brüchen an. In jedem dieser Brüche dividieren wir Null durch eine Zahl, die immer näher an Null herankommt:

$$\begin{eqnarray} \frac{0}{1} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}1} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}01} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}001} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}0001} &=& 0\\ &…&\\ \frac{0}{0{,}0000000001} &=& 0\\ &…&\\ \frac{0}{0} &=& 0?\\ \end{eqnarray}$$

Wir sehen, dass wir, egal wie nahe wir durch eine Zahl nahe Null dividieren, immer noch Null als Ergebnis des Bruches erhalten. Daraus können wir ableiten, dass 0 / 0 = 0.

Dies sind beides gültige Argumente dafür, wie wir den Anteil 0 / 0 definieren können. Nur welches ist besser? Selbst wenn wir uns für eines der beiden Argumente entscheiden und es zum einzig gültigen erklären würden, kämen wir am Ende in einen Konflikt mit anderen Teilen der Mathematik.

Deshalb ist es besser, die Division durch Null undefiniert zu lassen.

Das letzte Argument gegen die Division durch Null

Wenn Ihnen die vorangegangenen Argumente nicht ausreichen, wird Sie vielleicht die folgende Fotodokumentation eines Falles überzeugen, in dem jemand tatsächlich versucht hat, durch Null zu dividieren: