Der Definitionsbereich einer Funktion

Der Definitionsbereich einer Funktion sind alle zulässigen Werte, die wir nach dem Argument x in die Funktion f(x) einfügen können, damit die Funktion einen Sinn ergibt.

Was ist der Definitionsbereich einer Funktion?

Ein einfaches Beispiel ist die Funktion f(x) = 1/x. Der Definitionsbereich ist die Menge aller zulässigen Werte, die, wenn sie in die Funktion 1/x eingesetzt werden, einen gültigen Ausdruck ergeben.

Um zu wissen, was ein "gültiger Ausdruck" ist, müssen wir die Eigenschaften von Funktionen und Operationen kennen. In unserer Funktion dividieren wir die Variable x, und die Variable x steht im Nenner des Bruchs. Durch welche Werte können wir dividieren? Durch alle außer Null. Wir können nicht durch Null dividieren, und Null kann auch nicht im Nenner eines Bruchs stehen. Es gibt keine weitere Einschränkung für die Division.

Daher können wir nach x jede reelle Zahl außer Null setzen. Der Definitionsbereich ist also gleich: D(f) = ℝ ∖ {0} Normalerweise schreiben wir den Definitionsbereich mit dem Buchstaben D und die Funktion, deren Definitionsbereich wir berechnen, in Klammern.

An dieser Stelle haben wir den größten Definitionsbereich berechnet. Da wir aber den Definitionsbereich als die Menge der Werte definiert haben, die wir hinter x setzen können, ist jede Teilmenge des Definitionsbereichs wiederum der Definitionsbereich. Manchmal kann es sinnvoll sein, eine Funktion auf einige x einzuschränken. Bei Sequenzen beschränken wir uns beispielsweise auf natürliche Zahlen, in der Goniometrie zählen wir oft nur das Intervall <0, 2π>.

Wird uns jedoch ein Beispiel gegeben, bei dem der Definitionsbereich einer Funktion berechnet werden soll, wird in der Regel erwartet, dass Sie den größtmöglichen Definitionsbereich berechnen.

Wir können den Definitionsbereich auch aus dem Graphen der Funktion ablesen. Nehmen wir als Beispiel den Graphen der vorherigen Funktion f(x) = 1/x.

Wenn Sie den Graphen auf die Achse von x projizieren, erhalten Sie den Definitionsbereich. Wenn der Punkt x nicht zum Definitionsbereich gehört, dann schneidet die Senkrechte zur Achse x in diesem Punkt keinen Punkt des Graphen. Wir sehen, dass nur die Null diese Bedingung erfüllt - sie hat keinen Punkt "über oder unter" irgendeinem Punkt auf dem Graphen der Funktion. Alle anderen erfüllen sie.

Berechnen des Definitionsbereichs

Um den Definitionsbereich einer zusammengesetzten Funktion zu berechnen, muss man die Definitionsbereiche aller Funktionen kennen, aus denen die zusammengesetzte Funktion besteht. Andernfalls können Sie das nicht. Wenn ich Sie bitten würde, den Definitionsbereich der Funktion f(x) = raz(x) + dva(x) zu berechnen, würden Sie scheitern, weil Sie nicht wissen, wie die Funktionen raz und dva definiert sind. Lassen Sie uns die Definitionsbereiche einiger elementarer Funktionen zeigen:

• DerLogarithmus hat D(f) = (0, ∞).
• DieQuadratwurzel hat D(f) = <0, ∞).
• DerTangens hat D(f) = ℝ ∖ {π/2 + Kπ}; K ∈ ℤ.
• Für denKotangens gilt D(f) = ℝ ∖ {Kπ}; K ∈ ℤ.
• DieExponentialfunktion hat D(f) = ℝ.
• Lineare Funktionen und quadratische Funktionen haben D(f) = ℝ.

Wenn Sie nur eine Funktion haben, ist es sehr einfach. Finden Sie einfach heraus, welchen Definitionsbereich die Funktion hat, schauen Sie sich das Argument an und setzen Sie es dann in die entsprechende (Un-)Gleichung ein. Beispiel: Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion $\log (3x + 2)$. Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, also muss 3x + 2 > 0 gelten. Dies ist eine lineare Ungleichung, die wir leicht berechnen können:

$$\begin{eqnarray} 3x + 2 &>& 0\\ 3x&>&-2\\ x&>&-\frac23 \end{eqnarray}$$

Der Definitionsbereich sind alle x, die diese Ungleichung erfüllen, also D(f) = (−2/3, ∞).

Berechnen Sie den Definitionsbereich von $\sqrt{2x + 8}$.

Es darf keine negative Zahl unterhalb der Quadratwurzel geben, also lösen wir die Ungleichung 2x + 8 ≥ 0 und erhalten das Ergebnis:

$$\begin{eqnarray} 2x+8 &\ge& 0\\ 2x&\ge&-8\\ x&\ge&-4 \end{eqnarray}$$

Also D(f) = <−4, ∞).

Berechnen Sie den Definitionsbereich von 1/x².

Es darf keine Null im Nenner stehen, also lösen wir die Gleichung x² ≠ 0. Dies ist der Fall, wenn x ≠ 0, also D(f) = ℝ ∖ {0}.

Die Zerlegung der zusammengesetzten Funktionen

Bei zusammengesetzten Funktionen ist die Situation etwas komplizierter, weil wir mehrere Funktionen berücksichtigen müssen, die miteinander interagieren und deren Definitionsbereich schrittweise verkleinern. Nehmen wir dieses Beispiel:

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Hier müssen zwei Bedingungen erfüllt sein. Der Term unter der Quadratwurzel muss größer oder gleich Null sein, und er darf nicht negativ sein. Daher x ≥ 0. Aber die Quadratwurzel steht im Nenner des Bruchs, also muss es wahr sein, dass die Quadratwurzel nicht auf Null herauskommen darf, sonst wäre der Bruch wieder sinnlos. Also erweitern wir die vorherige Aussage auf x > 0.

Wir werden bei den anderen Beispielen ähnlich vorgehen. Das Wichtigste ist jedoch, dass wir die Reihenfolge der verschachtelten Funktionen bestimmen - wir müssen herausfinden, welche Funktion die innere und welche die äußere ist. Im vorigen Beispiel war dies offensichtlich: Die innere Funktion war die Quadratwurzel und die äußere Funktion der Bruch. Wenn wir den Ausdruck von Hand berechnen wollten, würden wir zuerst das Argument x quadrieren und dann den Bruch berechnen. Das ist ein ziemlich guter Leitfaden - die innerste Funktion ist diejenige, mit der man beginnen würde, wenn man den Ausdruck von Hand berechnen wollte. Ein anderes Beispiel:

$$f(x) = \sqrt[5]{(\ln(\mbox{tan}(x)))^3}$$

Wir können nun den umgekehrten Ansatz wählen. Wir werden nach der äußeren Funktion suchen. Die äußere Funktion "umhüllt" die innere Funktion. Hier umhüllt die fünfte Wurzel ganz offensichtlich alle anderen Funktionen. Als nächstes umhüllt die dritte Potenz das Ergebnis des Logarithmus, der Logarithmus umhüllt den Tangens, und schließlich umhüllt die Variable x den Tangens. Einfach. Die ältere Methode sieht folgendermaßen aus: Da wir den Wert von x kennen, wenden wir ihn zunächst auf den Tangens an. Es ist also die innerste Funktion. Wir wenden dieses Ergebnis auf den Logarithmus an - es ist also die zweite innerste Funktion. Wir wenden dieses Ergebnis wiederum auf die Potenz an und quadrieren es am Ende.

Zerlegen Sie die zusammengesetzte Funktion:

$$f(x) = \sin \frac{42}{\ln(10^{2x+3})}$$

Wir beginnen mit der äußeren Funktion. Das ist der Sinus. Als nächstes folgt der Bruch, dann der Logarithmus, dann die Exponentialfunktion (stellen Sie sich diese Substitution vor: 10^a) und schließlich die lineare Funktion 2x + 3.

Zerlegen Sie die zusammengesetzte Funktion:

$$\Large f(x) = 2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion 2^a. Danach folgt der Bruch, dann im Nenner des Bruchs die Quadratwurzel und schließlich die lineare Funktion 3x.

Der definitorische Bereich der zusammengesetzten Funktionen

Wenn Sie wissen, wie man Funktionen in äußere und innere Funktionen zerlegt, kann es für Sie kein Problem sein, den Definitionsbereich zu bestimmen. Wir wollen dies gleich an einem Beispiel demonstrieren:

$$f(x) = \frac{47}{\sin(x)-1}$$

Wir beginnen mit einem Bruch. Bei diesem Bruch muss der Nenner von Null verschieden sein. Schreiben wir ihn auf:

$$\begin{eqnarray} \sin(x)-1 &\ne& 0\\ \sin(x) &\ne&+1 \end{eqnarray}$$

Aus den Eigenschaften der Sinusfunktion wissen wir, dass sie an der Stelle x = π/2 den Wert 1 erreicht. Da es sich um eine periodische Funktion handelt, erhalten wir die Menge K = {π/2 + 2Kπ}; K ∈ ℤ. Dies ist die Menge der Werte, für die der Nenner gleich Null ist. Wir können diese x nicht in unsere Funktion einsetzen.

Aber das ist noch nicht alles, wir müssen uns noch den Definitionsbereich der Sinusfunktion ansehen. Glücklicherweise ist dieser gleich ℝ, so dass er uns in keiner Weise einschränkt. Die Einschränkung ergibt sich nur aus dem Nenner des Bruchs. Also D(f) = ℝ ∖ {π/2 + 2Kπ}; K ∈ ℤ.

Weitere gelöste Beispiele finden Sie in der MatWiki-Kategorie Definitionsbereiche von Funktionen.