Zyklometrische Arkusfunktionen

Damit die goniometrischen Grundfunktionen einen Sinn ergeben, müssen auch ihre Umkehrfunktionen definiert werden. Diese werden einfach Arcus-Funktionen genannt, genauer gesagt sind es Arcus-Sinus, Arcus-Kosinus, Arcus-Tangens und Arcus-Kotangens. Sie werden auch als arcsin, arccos, arctan und arccot abgekürzt.

Begründung

Lassen Sie uns mit einem Beispiel beginnen. Berechnen Sie den Betrag des Winkels alpha:

Wir kennen die Längen zweier Seiten in einem Dreieck, die Seite b = 3 und die Seite a = 6. Wir müssen den Winkel alpha berechnen - die Seite a ist die Hypotenuse und die Seite b ist die Hypotenuse gegenüber dem Winkel alpha. Die Sinusfunktion arbeitet mit der Hypotenuse, genauer gesagt ist der Sinus des Winkels alpha gleich dem Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Länge der Hypotenuse. Versuchen wir also, das in die Formel einzusetzen:

$$\sin(\alpha)=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac12$$

Wir wissen nun, dass der Sinus des Winkels Alpha gleich der Hälfte ist. Die Frage ist nun, wie man aus dieser Zahl den Winkel ermitteln kann. Dazu brauchen wir die Umkehrfunktion der Sinusfunktion. Die Sinusfunktion nimmt einen Winkel als Eingabe und gibt das Verhältnis der beiden Seiten zurück. Nun brauchen wir eine Funktion, in die wir das Verhältnis einsetzen können, um den Winkel zu erhalten.

Genau das tut die Arcus-Funktion. Bevor wir genau definieren, was Bogenfunktionen eigentlich sind, wollen wir mit Google ein Beispiel berechnen, das uns sagt, dass der Bogensinus einer Hälfte 30 Grad beträgt. Wenn Sie dasselbe Beispiel mit einem Taschenrechner berechnen möchten, wird der Arkussinus oft als sin⁻¹ bezeichnet.

Umgekehrte Funktion zum Arkussinus?

Betrachten Sie zunächst den Graphen der Sinusfunktion:

Betrachten wir nun einige Eigenschaften von Funktionen. Die Funktion f hat eine Umkehrfunktion, wenn sie einfach ist. Was bedeutet das? Wenn wir zwei Elemente x₁ und x₁ aus dem Definitionsbereich nehmen, dann muss es wahr sein, dass ihre Bilder f(x₁) und f(x₂) unterschiedlich sind. Dies muss für alle möglichen Paare gelten. Das lässt sich leicht am Graphen erkennen: Wenn wir den Graphen mit einer Linie schneiden können, die parallel zur Achse von x verläuft, so dass diese Linie den Graphen der Funktion f mehr als einmal schneidet, dann ist die Funktion nicht einfach.

Für die Sinusfunktion ist es offensichtlich möglich, eine solche Linie zu finden. Zum Beispiel schneidet die Achse x selbst den Graphen der Sinusfunktion mehr als einmal, oder genauer gesagt, sie schneidet ihn unendlich oft. Daher ist die Sinusfunktion nicht einfach und es gibt keine Umkehrfunktion zu ihr.

Umkehrfunktion zur Einschränkung der Sinusfunktion

Aus dem letzten Kapitel wissen wir, dass es keine Umkehrfunktion zur Sinusfunktion gibt. Aus dem ersten Kapitel wissen wir jedoch, dass es eine Funktion arcsin gibt, die sich genau so verhält, wie wir es wollen. Wie haben wir das erreicht? Wir haben nur den Teil der Sinusfunktion ausgewählt, der einfach ist, so dass wir eine Umkehrfunktion zu dieser Einschränkung der Funktion definieren können.

Wir erreichen die Einschränkung der Sinusfunktion, indem wir ihren Definitionsbereich verkleinern. Welche Teilmenge des ursprünglichen Definitionsbereichs(reelle Zahlen) sollten wir wählen? Wir können mehrere Teilmengen wählen, aber die beste Wahl ist das Intervall

$$\left<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right>$$

Dieses Intervall ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Wir können die Umkehrfunktion bereits in diesem Definitionsbereich definieren, da die Sinusfunktion in diesem Intervall einfach ist. Die Umkehrfunktion ist entlang der Achsen des ersten und dritten Quadranten symmetrisch zur ursprünglichen Funktion, so dass wir bereits den Graphen der Funktion zeichnen können, die die Umkehrfunktion unserer Restriktionsfunktion sin(x) sein wird. Siehe die Abbildung:

Der ursprüngliche Sinus ist in blau eingezeichnet. Der Teil der Funktion, für den wir die Umkehrung suchen, ist in rot hervorgehoben. In Grün ist die Umkehrung der Funktion dargestellt, die wir als arcsin oder einfach als asin bezeichnen.

Der Definitionsbereich und der Bereich der Werte von arcsin

Anhand dieser beiden Funktionen lässt sich die Vertauschung des Definitionsbereichs und des Wertebereichs sehr schön veranschaulichen. Schauen Sie sich das folgende Bild an. Es zeigt die gleichen Graphen in den gleichen Farben, nur etwas vergrößert und mit einigen Linien und Punkten versehen:

Beachten Sie, dass der Definitionsbereich der Restriktion der Sinusfunktion (rote Linie) das Intervall

$$\left<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right>$$

Mit Definitionsbereich meinen wir alle x, für die die Funktion definiert ist. Wir haben sie nur für dieses Intervall definiert, um eine einfache Funktion zu erhalten. Im Diagramm suchen wir diese x auf der Achse x.

Sehen Sie nun, wie der Wertebereich der Funktion arcsin aussieht (grüne Linie). Der Wertebereich sind alle y, die die Funktion in der Ausgabe zurückgeben kann, also suchen wir sie auf der Achse y. Der Wertebereich der Funktion arcsin ist wiederum das Intervall

$$\left<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right>$$

Dies ist eine allgemeine Eigenschaft der Umkehrfunktion und sollte daher niemanden überraschen. Ähnliches gilt für den Wertebereich der Restriktion der Sinusfunktion und für den Definitionsbereich von arcsin. Der Wertebereich der Sinusfunktion ist das Intervall von minus eins bis eins. Sinus kann uns nur diese Werte liefern, der Sinus eines beliebigen Winkels ist nicht größer als eins oder kleiner als eins. Und da der Sinus keines Winkels größer als eins sein kann, liegt es auf der Hand, dass auch die Umkehrfunktion keinen Eingabewert annehmen kann, der größer als eins ist. Daher ist der Definitionsbereich der Funktion arcsin auch das Intervall <−1,1>.

Sie können den Wert der Arkussinusfunktion hier im Taschenrechner berechnen.

Arkuskosinus

Nun noch kurz zur Umkehrfunktion zum Kosinus. Aus dem gleichen Grund wie bei der Sinusfunktion gibt es auch hier keine Umkehrfunktion, da die Funktion nicht einfach ist. Wir können jedoch eine Teilmenge des Definitionsbereichs auswählen, um eine einfache Funktion zu erhalten.

Der blaue Teil ist der Graph der Kosinusfunktion, und der rote Teil ist die Einschränkung dieser Funktion auf den Definitionsbereich <0,π>. Die grüne Linie stellt dann den Graphen der Funktion arccos(x) dar, die Umkehrfunktion zu unserer Einschränkung der Kosinusfunktion.

Arcus tangens

Der Graph der Tangensfunktion sieht wie folgt aus:

Der Graph hat eine andere Form als bei der vorherigen Funktion, ist aber immer noch nicht einfach. Aber auch hier können wir eine Einschränkung dieser Funktion vornehmen und einen einfachen Teil wählen. Wir wählen ein Intervall

$$\left<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right>$$

Die Umkehrung der Funktion hat dann die folgende Form:

Arcus cotangens

Das Gleiche wie in den vorherigen Abschnitten. Der Graph der Funktion cotangens: Der Definitionsbereich der Einschränkung der Funktion cotangens ist <0,π>.