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Eigenschaften von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens

Kapitoly: Goniometrische Grundfunktionen, Der Einheitskreis, Zyklometrische Arcus-Funktionen, Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens, Formeln für goniometrische Funktionen, Graphen von goniometrischen Funktionen, Der Satz von Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus sind goniometrische Grundfunktionen.

Sinus

Der Sinus des Winkels alpha ist gleich dem Verhältnis zwischen der Länge des gegenüberliegenden Schenkels und der Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.

$$\sin(\alpha)=\frac{\mbox{ Die Länge des gegenüberliegenden Aufhängers }}{\mbox{ Delka prepona }}$$

Der Graph der Sinusfunktion ist eine Kurve, die Sinus genannt wird. Der Graph ist in der folgenden Abbildung zu sehen:

Graph der Sinusfunktion

Der Sinus ist die periodische Funktion, die die kleinste Periode 2π hat. Weitere Eigenschaften:

  • DerDefinitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen.
  • Der Wertebereich ist das Intervall <−1,1>.
  • Der Sinus hat an unendlich vielen Stellen ein Maximum. Genauer gesagt hat er sein "erstes" Maximum an einem Punkt $x=\frac{\pi}{2}$ und, da es sich um eine periodische Funktion handelt, hat er auch ein Maximum an jedem Punkt $\frac{\pi}{2}+2k\pi$, wobei k eine ganze Zahl ist. Der Wert des Maximums ist dann 1.
  • Ähnlich verhält es sich mit dem Minimum: Der Sinus hat ein Minimum in den Punkten $-\frac{\pi}{2}+2k\pi$, wobei k eine ganze Zahl ist und sein Wert −1 ist.
  • Der Sinus ist eine ungerade und beschränkte Funktion.

Kosinus

Der Kosinus des Winkels alpha ist gleich dem Verhältnis zwischen der Länge des benachbarten Schenkels und der Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Berechnet man also den Kosinus des Winkels alpha mit einem Taschenrechner, so erhält man den Wert des Verhältnisses von

$$\cos(\alpha)=\frac{\mbox{ Länge des angrenzenden Kleiderbügels }}{\mbox{ Länge der Vorsilbe }}.$$

Der Graph der Kosinusfunktion ist eine Kurve, die Kosinus genannt wird. Sie können den Graphen in der folgenden Abbildung sehen:

Graph der Kosinusfunktion

Der Kosinus ist eine periodische Funktion mit der kleinsten Periode 2π. Weitere Eigenschaften:

  • DerDefinitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen.
  • Der Wertebereich ist das Intervall <−1,1>.
  • Der Kosinus hat an unendlich vielen Stellen ein Maximum. Genauer gesagt hat er sein "erstes" Maximum an einem Punkt x = 0, und da es sich um eine periodische Funktion handelt, hat er auch ein Maximum an jedem Punkt 2kπ, wobei k eine ganze Zahl ist. Der Wert des Maximums ist dann 1.
  • Ähnlich verhält es sich mit dem Minimum: Der Kosinus hat ein Minimum in den Punkten π + 2kπ, wobei k eine ganze Zahl ist und sein Wert −1 ist.
  • Der Kosinus ist eine gerade und beschränkte Funktion.

Tangens

Der Tangens eines Winkels alpha ist gleich dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels zur Länge des benachbarten Schenkels in einem rechtwinkligen Dreieck. Wir bezeichnen den Tangens üblicherweise mit tg oder tan.

$$\tan(\alpha)=\frac{\mbox{ Die Länge des gegenüberliegenden Aufhängers }}{\mbox{ Die Länge des angrenzenden Kleiderbügels }}$$

Der Graph dieser Funktion ist eine Kurve, die als Tangens bezeichnet wird:

Graph der Tangensfunktion

Der Tangens unterscheidet sich von den vorhergehenden Funktionen vor allem durch die Periode, die nicht mehr 2π ist, sondern nur noch eine π. Weitere Eigenschaften:

$$D(tan)=\mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}\quad k\in\mathbb{Z}$$

Kotangens

Der Kotangens eines Alphawinkels ist gleich dem Verhältnis der Länge des benachbarten Schenkels zur Länge des gegenüberliegenden Schenkels. Üblicherweise wird der Kotangens mit cot oder cotan bezeichnet.

$$\cot(\alpha)=\frac{\mbox{ Die Länge des angrenzenden Kleiderbügels }}{\mbox{ Die Länge des gegenüberliegenden Aufhängers }}$$

Der Graph dieser Funktion ist eine Kurve, die als Kotangens bezeichnet wird:

Graph der Kotangensfunktion

Andere Eigenschaften:

  • Die Periode ist ebenfalls π, wie bei den Tangenten.
  • DerDefinitionsbereich ist die Menge der

$$D(cot)=\mathbb{R}-\left\{k\pi\right\};\quad k\in\mathbb{Z}$$

Die Beziehung zwischen Sinus und Kosinus

Die goniometrischen Funktionen stehen in enger Beziehung zueinander. Wenn man den Graphen der Sinus- und der Kosinusfunktion gleichzeitig betrachtet, sieht man, dass sie sich nicht sehr stark voneinander unterscheiden, dass die eine nur leicht von der anderen abweicht.

Die Sinus- und Kosinusfunktionen werden einfach um \pi/2 verschoben

Wenn wir also immer π/2 zum Argument der Funktion addieren, erhalten wir die Kosinusfunktion:

Die um \pi/2 verschobene Sinusfunktion - die Kurve ist dieselbe wie der Graph der Kosinusfunktion

Wenn wir umgekehrt π/2 vom Kosinus subtrahieren, erhalten wir den Sinus.

Die Kosinusfunktion um \pi/2 zurückgeschoben - die Kurve ist dieselbe wie die der Sinusfunktion

Wir können also diese Formeln schreiben:

$$\begin{eqnarray} \sin(x)&=&\cos(x-\frac{\pi}{2})\\ \cos(x)&=&\sin(x+\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$$

Wie man Tangens und Kotangens ausdrückt

Wir können die Tangensfunktion leicht durch Sinus und Kosinus ausdrücken. Erinnern Sie sich einfach daran, was der Tangens ist: das Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels zur Länge des benachbarten Schenkels. Nehmen wir dieses Dreieck zur Hilfe:

Ein Dreieck mit dem Winkel beta markiert

Was ist der Tangens des Winkels Beta?

$$\tan(\beta)=\frac{|b|}{|c|}.$$

Wie könnte man den Zähler oder Nenner ausdrücken? Was ist die Länge der Seite b und die Länge der Seite c gleich? Wir wissen, dass der Sinus des Winkels beta gleich ist:

$$\sin(\beta)=\frac{|b|}{|a|}$$

Aus dieser Formel können wir |b| isolieren:

$$|b|=\sin(\beta)\cdot|a|$$

Der Kosinus des Winkels beta ist gleich:

$$\cos(\beta)=\frac{|c|}{|a|}$$

Wir isolieren |c|:

$$|c|=\cos(\beta)\cdot|a|$$

Jetzt haben wir die Seitenlängen b und c, die mit den Sinus-Kosinus-Funktionen ausgedrückt werden. Wir setzen also diese Zwischenergebnisse in die ursprüngliche Gleichung mit dem Tangens ein:

$$\tan(\beta)=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin(\beta)\cdot|a|}{\cos(\beta)\cdot|a|}$$

Wir können |a| aus Zähler und Nenner abschneiden, um die endgültige Formel zu erhalten:

$$\tan(\beta)=\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$$

Wir können also den Tangens als Quotienten aus Sinus und Kosinus auflösen. Bereits ohne Ableitung können wir den Kotangens als umgekehrten Bruch schreiben, d. h. als Quotient von Kosinus geteilt durch Sinus.

$$\begin{eqnarray} \tan(\alpha)&=&\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\ \cot(\alpha)&=&\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray}$$

Die Beziehung zwischen Tangens und Kotangens

So wie sich die Funktionen Sinus und Kosinus ähneln, sind es auch die Funktionen Tangens und Kotangens. Betrachten Sie beide Graphen in einem Bild:

Ähnlichkeit von tangentialen und kotangentialen Funktionen

Wie macht man aus der Kurve, die den Tangens beschreibt, eine Kurve, die den Kotangens beschreibt? Der Kotangens ist um π/2 verschoben, also beginnen wir mit ihm:

Tangens verschoben um \pi/2

Wir haben uns dem Kotangens angenähert, aber wir haben immer noch Kurven in der falschen Richtung, der Kotangens nimmt in bestimmten Intervallen ab, während diese verschobene Kurve zunimmt. Wir können dem abhelfen, indem wir das Vorzeichen der Variablen x ändern:

Graph der Tangensfunktion a cotangens

Wir können schreiben:

$$\cot(x)=\tan(-x+\frac{\pi}{2})$$

Tabellarische Werte

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens haben schöne Ergebniswerte für einige schöne Winkel. Hier ist eine grundlegende Übersicht über sie:

$$ \LARGE \begin{matrix} &\sin&\cos&\tan&\cot\\ 0^\circ&0&1&0&\times\\ 30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\ 45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ 60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 90^\circ&1&0&\times&0 \end{matrix} $$