Der Satz von Sinus und Kosinus

Der Sinussatz ist ein Satz, der - im Gegensatz zu gewöhnlichen goniometrischen Funktionen - für ein allgemeines Dreieck gilt. Er gibt uns das Verhältnis zwischen Seitenlängen und Winkeln an. Der Kosinussatz gilt ebenfalls für ein allgemeines Dreieck, und sein Spezialfall ist der Satz des Pythagoras.

Der Sinussatz

Der Sinussatz besagt, dass das Verhältnis aller Seitenlängen und der Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel in einem gegebenen allgemeinen (!) Dreieck konstant ist. Wir schreiben ihn wie folgt:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2r,$$

wobei r der Radius des beschriebenen Kreises ist und a, b und c die Seitenlängen des Dreiecks sind. Wir können die vorherige Gleichung auch in der Form umschreiben:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}, \frac{b}{c}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}, \frac{c}{a}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}$$

Kosinussatz

Der Kosinussatz gilt auch für ein allgemeines Dreieck, ebenso wie der Sinussatz. Der Satz des Kosinus lautet:

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\ b^2 &=& c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta\\ c^2 &=& a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma \end{eqnarray}$$

Wenn einer der Winkel rechtwinklig ist, d. h. einen Betrag von 90 Grad hat, dann verschwindet der letzte Teil der Formel und wir erhalten die Form des Satzes von Pythagoras. Denn wenn $\alpha=90^{\circ}$, dann cos(α) = 0 und so erhalten wir:

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\ a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot 0\\ a^2 &=& b^2 + c^2 \end{eqnarray}$$

Begründung

Betrachten wir ein Dreieck ABC mit der Seitenlänge c und der Länge |c| = 9. Die Größe der Winkel ist: $\alpha=40^{\circ}, \beta=80^{\circ}, \gamma=60^{\circ}$ Die Frage ist: Wie lang sind die beiden verbleibenden Seiten? An dieser Stelle können wir uns nicht mit den üblichen goniometrischen Funktionen begnügen, da sie in einem rechtwinkligen Dreieck funktionieren, was dieses definitiv nicht ist. Abbildung:

An dieser Stelle müssen wir andere Wege einschlagen. Einer davon ist der Sinussatz. Welchen Weg gehen wir damit? Der Sinussatz sagt uns das:

$$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Wir kennen alle Winkel und die Länge der Seite c. Also berechnen wir die Seite b aus der Gleichung

$$\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Hier müssen wir die Seitenlänge b isolieren. Wir führen eine äquivalente Umstellung der Gleichungen durch und multiplizieren die Gleichung mit dem Sinus des Winkels beta. Wir erhalten:

$$|b|=\frac{|c|\cdot\sin\beta}{\sin\gamma}$$

Wir kennen oder können alle Ausdrücke der ersten Seite berechnen. Also addieren wir:

$$|b|=\frac{9\cdot0{,}985}{0{,}866}=10{,}23.$$

Auf genau dieselbe Weise berechnen wir die restliche Seite von a:

$$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Wir isolieren |a|, indem wir die Gleichung mit dem Sinus des Winkels alpha multiplizieren.

$$|a|=\frac{|c|\cdot\sin\alpha}{\sin\gamma}$$

Berechnen wir das Ergebnis:

$$|a|=\frac{9\cdot0{,}642}{0{,}866}=6{,}672$$

Herleitung des Sinussatzes

Warum gilt der Sinussatz? Betrachten wir ein gewöhnliches Dreieck ABC, bei dem wir noch die Höhe zur Seite c auftragen.

Die Frage ist, wie lang die Seite CP_c ist. Mit der Höhe haben wir ein Dreieck ABC, das in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt ist, die wir verwenden können, um die Länge der Höhe auszudrücken. Versuchen wir also, die Länge der Seite CP_c mit Hilfe der beiden Dreiecke zu bestimmen. Es ist wahr, dass der Sinus des Winkels alpha gleich ist:

$$\sin(\alpha)=\frac{|CP_c|}{|AC|}$$

Von hier aus drücken wir |CP_c| aus:

$$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot|AC|=\sin(\alpha)\cdot |b|.$$

Jetzt drücken wir die Länge der Seite CP_c mit Hilfe des zweiten Dreiecks aus, indem wir den Winkel beta verwenden:

$$\sin(\beta)=\frac{|CP_c|}{|BC|}$$

Von hier aus isolieren wir wieder |CP_c|:

$$|CP_c|=\sin(\beta)\cdot|BC|=\sin(\beta)\cdot |a|$$

An diesem Punkt haben wir also die Länge der Höhe durch zwei Formeln ausgedrückt:

$$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|,$$

Wir erhalten also die Gleichheit

$$\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|.$$

Das kommt der Aussage des Sinussatzes schon etwas näher. Wir teilen die ganze Gleichung durch Sinus Alpha mal Sinus Beta:

$$\begin{eqnarray} \sin(\alpha)\cdot |b|&=&\sin(\beta)\cdot |a|\qquad/:\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)\\ \frac{\sin(\alpha)\cdot |b|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}&=&\frac{\sin(\beta)\cdot |a|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}\qquad/\mbox{ Kürzen Sie die Sinie }\\ \frac{|b|}{\sin(\beta)}&=&\frac{|a|}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray}$$

In der vorherigen Prozedur haben wir einen Teil des Sinussatzes bewiesen, aber der Beweis für die anderen Kombinationen von Seiten ist identisch.