Logarithmische Funktionen

Eine logarithmische Funktion ist die Umkehrung einer Exponentialfunktion.

Was ist ein Logarithmus?

Wir schreiben eine logarithmische Funktion mit dem Wort $\log$, und wenn es sich um einen natürlichen Logarithmus handelt (siehe unten), bezeichnen wir sie als ln. Die Grundschreibweise einer logarithmischen Funktion sieht so aus:

$$y=\log_ax$$

Die Notation lautet: "Der Logarithmus der Zahl x mit der Basis a". Diese logarithmische Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion f(x) = a^x. Der Funktionswert der logarithmischen Funktion wird Logarithmus genannt.

Da die logarithmische Funktion die Umkehrung der Exponentialfunktion ist, muss die folgende Äquivalenz gelten:

$$\Large y=\log_ax\quad\Leftrightarrow\quad a^y=x$$

Wenn also der Wert von a^y gleich x ist, dann ist der Logarithmus von x mit der Basis a gleich y. Wir wollen versuchen, einige Beispiele zu zeigen. Betrachten wir die Exponentialgleichung f(x) = 2^x. Wie würde die umgekehrte (logarithmische) Funktion aussehen? Etwa so: $f^{-1}(x)=\log_2x$ Wenn wir der Exponentialfunktion ein Tripel hinzufügen, erhalten wir: f(3) = 2³ = 8.

Welche Beziehung muss nun bestehen? Wenn wir eine Acht in die Umkehrfunktion f⁻¹ einsetzen, muss die logarithmische Funktion eine Drei zurückgeben. Denn die Zahl 3 war das Argument der Exponentialfunktion und die Zahl 8 war das Ergebnis. Die Umkehrfunktion verhält sich umgekehrt, die Eingabe ist die Zahl 8 und die Ausgabe ist die Zahl 3. In der Zwischenzeit können Sie bei Google nachsehen, dass dies tatsächlich der Fall ist (lg steht für Logarithmus zur Basis zwei).

Wenn wir also 2³ = 8 schreiben, dann gibt uns die umgekehrte logarithmische Funktion die Beziehung: $\log_28=3$ Was ist also ein Logarithmus? Der Logarithmus ist der Exponent, mit dem wir die Basis multiplizieren müssen, um das Argument x zu erhalten.

Wichtige logarithmische Funktionen

Einige logarithmische Funktionen sind besonders wichtig. Insbesondere der "natürliche Logarithmus", der die Eulersche Zahl als Basis hat. Wir bezeichnen ihn mit e. Es handelt sich um eine irrationale Zahl, d. h. eine Zahl mit unendlicher Dezimalentwicklung. Ihr ungefährer Wert ist: e = 2,718 281 828… Wir schreiben den natürlichen Logarithmus entweder als $\log_ex$ oder einfacher als ln x. Der Buchstabe "n" kommt vom lateinischen "logaritmus naturalis", aber zum Auswendiglernen braucht man nur das Englische, wo es ähnlich ist: "natural" = "natürlich".

Ein weiterer wichtiger Logarithmus ist der "dekadische Logarithmus", der eine logarithmische Funktion zur Basis zehn ist. Er wird in der Regel entweder als $\log_{10}x$ oder einfach als $\log x$ geschrieben. Wenn für einen Logarithmus keine Basis angegeben ist, wird angenommen, dass er die Basis 10 hat.

Eigenschaften der logarithmischen Funktion

Wie wir bereits wissen, ist die logarithmische Funktion die Umkehrung der Exponentialfunktion. Folglich übernimmt sie auch einige ihrer Eigenschaften und Einschränkungen. Wir wissen, dass die Exponentialfunktion die Form f(x) = a^x hat, wobei a eine reelle Zahl ist, die größer als Null und verschieden von Eins ist. Das bedeutet, dass die Basis des Logarithmus a ebenfalls größer als Null und ungleich Eins sein muss. Also noch einmal die Notation der logarithmischen Funktion:

$$y=\log_ax,\quad a\in\mathbb{R},\quad a>0,\quad a\ne1$$

Da sie eine Umkehrfunktion ist, kennen wir auch den Definitionsbereich und den Wertebereich. Der Definitionsbereich einer logarithmischen Funktion ist der gleiche wie der Wertebereich einer Exponentialfunktion, also ist der Definitionsbereich einer logarithmischen Funktion gleich (0, ∞). Der Wertebereich des Logarithmus ist dann derselbe wie der Definitionsbereich der Exponentialfunktion, d. h. die Menge aller reellen Zahlen.

Graphen von logarithmischen Funktionen

Ähnlich wie bei der Exponentialfunktion müssen wir zwischen zwei Fällen unterscheiden. Wenn die Basis a aus dem Intervall (0, 1) stammt und wenn sie aus dem Intervall (1, ∞) stammt. Im ersten Fall, d. h. wenn a aus dem Intervall (0, 1) stammt, sieht der Graph wie folgt aus:

Für den Fall, dass die Basis a aus dem Intervall (1, ∞) stammt, sieht das Diagramm wie folgt aus:

Siehe auch den Graphen der Exponentialfunktion und ihrer umgekehrten logarithmischen Funktion in einem Graphen (blau ist der Logarithmus, rot die Exponentialfunktion):

Warum schneiden sich die Graphen in dem Punkt [1, 0]

Beide Graphen schneiden die Achse x in dem Punkt x = 1. Das ist in Ordnung, da jede Exponentialfunktion durch den Punkt [0, 1] geht. Da der Logarithmus eine Umkehrfunktion ist, muss diese Funktion immer durch den Punkt [1, 0] gehen. Das macht Sinn. Wenn der Graph durch den Punkt [1, 0] geht, bedeutet das, dass wir für den Eingang der Funktion x = 1 den Ausgang f(x) = 0 haben.

Im Fall der Logarithmen bedeutet dies, dass wir den Exponenten suchen, mit dem wir bei der Multiplikation mit der Basis eins erhalten. Was ist der Exponent? Nur Null. Alles bis Null ist Eins, also wird die logarithmische Funktion unabhängig von der Basis durch den Punkt [1, 0] gehen, weil alles bis Null Eins ist. (Hinweis: Denken Sie daran, dass die Basis überhaupt nichts sein kann: a>0 und a≠1.)

Theoreme über Logarithmen (Formeln)

Im Folgenden finden Sie einige wichtige Beziehungen und Formeln, die wir über Logarithmen sagen können:

Nehmen wir an, dass die Basis a tatsächlich die Basis eines Logarithmus ist, d.h. a>0, a≠1. Ferner seien x₁ und x₂ beliebige positive reelle Zahlen. Dann:

$$\begin{eqnarray} \log_a(x_1\cdot x_2)&=&\log_a x_1+\log_a x_2\\ \log_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)&=&\log_a x_1 - \log_a x_2\\ \log_a x^r&=&r\cdot\log_ax\quad\forall r\in\mathbb{R}\\ \log_a\sqrt[n]{x}&=&\frac{1}{n}\log_ax\quad\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$$

Einige Beziehungen, die sich direkt aus der Definition des Logarithmus ergeben:

$$\begin{eqnarray} \log_a1&=&0\quad(a^0=1)\\ \log_aa&=&1\quad(a^1=a)\\ a^{\log_a x} &=& \log_a{a^x} = x \end{eqnarray}$$

Wie man den natürlichen Logarithmus verwendet, um einen anderen Logarithmus auszudrücken

Manchmal kommt es vor, dass wir zum Beispiel auf einem Taschenrechner keinen Logarithmus mit beliebiger Basis haben, sondern nur einen natürlichen und einen dekadischen. Was ist zu tun, wenn Sie einen Logarithmus mit einer anderen Basis berechnen müssen? Es gibt eine Formel, die Ihnen dabei hilft. Das ist richtig:

$$\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}$$

Wenn wir als Wert von b die Eulersche Zahl wählen, erhalten wir die Formel:

$$\log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}$$

Im ersten Kapitel mussten wir den Logarithmus der Zahl 8 zur Basis 2 berechnen. Wir können den natürlichen Logarithmus verwenden, um dies wie folgt zu berechnen:

$$\log_28=\frac{\ln8}{\ln2}=3$$

Auch hier können wir die Berechnung bei Google nachsehen. Aber du musst nicht den natürlichen Logarithmus verwenden, du kannst auch den dekadischen Logarithmus verwenden, die Formel erlaubt das. Also, wie auch immer:

$$\log_28=\frac{\log8}{\log2}=3$$

(Denken Sie daran, dass die Basis angenommen wird, wenn keine Basis angegeben wird: a = 10.) Auch hier können Sie bei Google nachsehen.

Taschenrechner

Wenn Sie den Logarithmus berechnen müssen, können Sie den Logarithmus-Rechner hier benutzen 🧮.