Potenzen und Quadratwurzeln

Die Multiplikation ist eine mathematische Funktion, die, einfach ausgedrückt, dazu dient, wiederholte Multiplikationen in abgekürzter Form zu schreiben.

Der natürliche Exponent

Die Multiplikation hat die Form aⁿ, wobei wir den Ausdruck n den Exponenten und den Ausdruck a die Basis nennen. Als nächstes werden wir uns vor allem für die Form des Exponenten interessieren. In diesem Abschnitt zeigen wir die Eigenschaften einer Potenz mit natürlichem Exponenten, das heißt, wenn der Exponent eine Zahl ist 1, 2, 3, 4, …

Ein Beispiel für eine solche Potenz ist 6². Sechs ist die Basis, zwei ist der Exponent. Der Exponent gibt an, wie oft hintereinander man sechs multiplizieren muss, um das Ergebnis zu erhalten. Also 6² = 6 · 6 = 36. Ein weiteres Beispiel ist 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Im Allgemeinen kann man es so schreiben:

$$a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\mbox{ -Zeiten }}$$

Die Basis kann alles sein - eine Zahl, aber Sie können auch einen komplexeren Ausdruck verwenden. Bei der Berechnung multiplizieren Sie dann einfach den gegebenen Ausdruck so oft, wie der Exponent angibt. Beispiele:

$$\begin{eqnarray} (-5)^3&=&(-5)\cdot(-5)\cdot(-5)\\ x^4&=&x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3)^2&=&(x+3)\cdot(x+3) \end{eqnarray}$$

Für einen Exponenten, der Null ist, führen wir die Gleichung a⁰ = 1 ein.

Für einen negativen Exponenten verwenden wir die folgende Gleichung

In diesem Abschnitt gehen wir davon aus, dass der Exponent negativ sein wird. Was könnte die Interpretation sein? Wir nehmen an, dass a⁰ = 1. Wenn wir a¹ berechnen wollen, könnten wir sagen, dass wir a⁰ mit dem Ausdruck a multiplizieren. Da a⁰ = 1, erhalten wir a⁰ · a = a durch das Produkt. Wir erhalten a. Wenn wir a² berechnen wollen, könnten wir a² = a⁰ · a · a schreiben.

Wir können sagen, dass der Wert von a⁰ = 1 unser Standardwert ist, und wenn wir aⁿ berechnen, multiplizieren wir einfach n-mal den Wert von a⁰ mit dem Ausdruck a. Wie würden wir vorgehen, wenn n negativ wäre? Wenn n positiv ist, multiplizieren wir. Wenn n negativ ist, dividieren wir. Wir würden also a⁻¹ erhalten, indem wir den Anfangswert von a⁰ nehmen und diesen Wert durch den Ausdruck a dividieren. So erhalten wir die Gleichung:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac1a$$

Wenn wir a⁻² wissen wollen, müssen wir a⁰ zweimal durch den Ausdruck a dividieren. Was würden wir erhalten? Schauen wir uns zunächst an, wie wir die Division anders schreiben können. Wenn wir den Quotienten x/y haben, können wir ihn genauso gut schreiben als

$$x\cdot\frac1y$$

Dies ist eine der grundlegenden Eigenschaften von Brüchen. Wenn wir also einen Ausdruck x zweimal durch einen Ausdruck y dividieren wollen, können wir ihn wie folgt schreiben

$$x\cdot\frac1y\cdot\frac1y$$

Kehren wir zu dem Beispiel von a⁻² zurück. Wir haben gesagt, dass wir dies erhalten, indem wir den Ausdruck a⁰ zweimal durch a teilen. Wir modifizieren dies weiter wie folgt:

$$a^{-2}=a^0\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac1a=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

An dieser Stelle haben wir ein Verfahren zur Berechnung einer Potenz mit einem negativen Exponenten. Wir berechnen die Potenz, als ob der Exponent positiv wäre, und invertieren dann einfach den Wert, indem wir einen Schrägstrich durch das Ergebnis des Exponenten dividieren. Genauer geschrieben:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Hier gehen wir davon aus, dass −n eine negative Zahl ist, also ist n positiv.)

Hier also ein paar Beispiele:

$$\begin{eqnarray} 2^{-1}&=&\frac{1}{2^1}=\frac12\\ 5^{-3}&=&\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3)^{-8}&=&\frac{1}{(2x+3)^8} \end{eqnarray}$$

Rationaler Exponent

Wir können den Exponenten für alle rationalen Zahlen weiter ausdehnen. Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch ausgedrückt werden kann, also als Quotient zweier ganzer Zahlen. Nehmen wir an, es handelt sich um einen Bruch der Form m/n, wobei n eine positive Zahl ist. Dann können wir die folgende Formel schreiben

$$\Large a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Der Schnörkel über a^m ist das Zeichen für die Quadratwurzel.

Taschenrechner

Wenn du eine Potenz berechnen musst, kannst du den Potenzrechner hier benutzen 🧮.

Eigenschaften von Potenzen

• a⁰ = 1Wenn a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, wenn n > 0.
• 0⁰ ist ein undefinierter Ausdruck.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\Large \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, wenn a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.