Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion ist jede Funktion, die durch y = ax + b gegeben ist, wobei a und b reelle Zahlen sind. Ein Sonderfall einer linearen Funktion liegt vor, wenn a = 0, da die vorherige Schreibweise wie folgt abgekürzt werden kann: y = b, was eine konstante Funktion ist (einige Quellen zählen konstante Funktionen nicht zu den linearen Funktionen).

Arten von linearen Funktionen

Lineare Funktionen haben recht schöne Graphen, da sie immer durch eine Gerade beschrieben werden. So hat z. B. die bereits erwähnte konstante Funktion einen Graphen in Form einer zur x-Achse parallelen Gerade, die die y-Achse im Punkt b schneidet. Wenn b = 0, geht die Gerade immer durch den Ursprung [0, 0]. Diese Funktion wird auch als lineare Proportionalität bezeichnet.

Weitere Eigenschaften einer linearen Funktion ergeben sich aus dem, was a. Denn wenn a > 0, handelt es sich um den Graphen einer steigenden Funktion, aber wenn a < 0, ist der Graph eine fallende Funktion. Der Graph der Funktion y = ax ist achsensymmetrisch entlang der Achse y mit der Funktion y = −ax.

Eigenschaften von linearen Funktionen

DerDefinitionsbereich von linearen Funktionen ist die Menge der reellen Zahlen, wie beim Wertebereich. Die Funktion ist fallend oder steigend in Abhängigkeit von einer Konstanten a. Es handelt sich um eine einfache Funktion, da es keine horizontale Linie gibt, die den Graphen einer linearen Funktion in mehr als einem Punkt schneidet (dies gilt nicht für eine konstante Funktion). Außerdem ist sie nicht periodisch, sie ist über ihren gesamten Definitionsbereich stetig und hat kein Maximum oder Minimum. Eine lineare Funktion ist weder gerade noch ungerade, nur wenn b = 0 eine ungerade Funktion ist.

Beispiel

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion y = −3x +1.

Der Graph dieser Funktion ist einfach zu zeichnen. Wir wissen, dass der Graph jeder linearen Funktion eine Gerade ist (theoretisch kann er auch ein Geradenabschnitt sein, wenn man den Graphen einer linearen Funktion nur auf einem bestimmten Intervall zeichnen will). Das reicht für uns aus. Um eine Gerade zu zeichnen, müssen wir nur die Koordinaten von zwei Punkten kennen. Berechnen wir sie. Zuerst erhalten wir die einfachste Zahl, Null, nach x. Wir erhalten f(0) = 1. Der erste Punkt, durch den die Gerade verläuft, ist [0, 1]. Für den zweiten Punkt können wir z. B. die Eins einsetzen. Wir erhalten dies: f(1) = −3 + 1 = −2 Der zweite Punkt wird die Koordinaten [1, −2] haben. Jetzt haben wir die beiden Punkte, die wir brauchen, um den Graphen dieser Funktion zu zeichnen: