Sequenzen

Eine Folge ist eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist. Eine Folge kann entweder unendlich sein, wenn ihr Definitionsbereich die gesamte Menge der natürlichen Zahlen ist, oder endlich, wenn ihr Definitionsbereich nur eine endliche Teilmenge des Bereichs der natürlichen Zahlen ist. Wenn nicht ausdrücklich gesagt wird, dass sie endlich ist, wird angenommen, dass eine Folge unendlich ist.

Definition einer Folge

Dieses Kapitel beschreibt zumindest ein wenig die Bedeutung der Definition einer Folge; es ist nicht unbedingt notwendig, sie zu kennen; Sie können das gesamte Kapitel überspringen, wenn Sie möchten.

Die Einleitung hat bereits gezeigt, dass es sich um eine Funktion handelt, die die natürlichen Zahlen als ihren Definitionsbereich annimmt. Der Wertebereich kann dann eine beliebige Menge sein, aber wir gehen hier von einer Menge der reellen Zahlen aus. Was bedeutet das? Die sichtbarste Veränderung wird im Graphen der Funktion zu sehen sein, da es sich nicht um eine kontinuierliche Linie handelt, wie es bei gewöhnlichen Funktionen oft der Fall ist, sondern nur um vereinzelte Punkte in der Folge.

Eine Folge könnte zum Beispiel eine Reihe von Zahlen sein: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... Dies ist wahrscheinlich eine ziemlich gut definierte Folge, und es wäre für jeden klar, wie sie verläuft. Da es sich um eine Funktion handelt, würde eine Tabelle, die diese Folge darstellt, wie folgt aussehen:

$$\begin{eqnarray} 1&\rightarrow&1\\ 2&\rightarrow&3\\ 3&\rightarrow&5\\ 4&\rightarrow&7\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Die Zahlen in der ersten Spalte (die Werte aus dem Definitionsbereich) geben also die Reihenfolge der Zahlen in der Folge an. In unserer einfachen Folge steht zum Beispiel die Zahl fünf an dritter Stelle. Das ist genau das, was uns die Tabelle sagt. Die Zahl sieben steht an vierter Stelle in der Folge, die Zahl eins an erster Stelle und so weiter. Dies bedeutet auch, dass der Definitionsbereich einer endlichen Folge p eine Menge der Form

$$D(p)=\left\{1, 2, 3, \ldots, n\right\},$$

sein sollte, damit es sich wirklich um eine Folge handelt und keine Position ausgelassen wird. Zum Beispiel passt diese Menge

$$D(p)=\left\{1{,}2,3{,}5,7\right\}$$

nicht in den Definitionsbereich der Sequenz passen, weil das vierte und sechste Element fehlen.

Eine Folge wird also dadurch ausgedrückt, dass ihre Elemente in irgendeiner Weise angeordnet werden können, dass jedes Element der Folge, außer dem ersten und letzten, einen Vorgänger und einen Nachfolger hat. Das ist ein großer Unterschied zu realen Funktionen, für die so etwas nicht gilt. Wenn wir die Funktion f(x) = 2x nehmen, welcher Wert folgt auf f(5/2)? Wir wissen es nicht, das Ergebnis ist eine reelle Zahl und reelle Zahlen haben keinen Nachfolger.

Die Folgenschreibweise

Wir wissen bereits, dass - vereinfacht gesagt - eine Folge eine nummerierte Folge von Zahlen ist. Wie können wir nun die Folge schreiben? Normalerweise benennen wir die Folge selbst mit einem tiefgestellten Kleinbuchstaben, zum Beispiel a_i.

Die erste Möglichkeit ist, alle Werte der Folge aufzulisten. Dies haben wir bereits im vorherigen Kapitel kennengelernt. Die Aufzählung kann endlich oder unendlich sein:

$$\begin{eqnarray} a_k&=&(1{,}2,3{,}4,5)\\ a_n&=&(2{,}4,6{,}8,10,\ldots) \end{eqnarray}$$

Hinweis: Ich bin mir nicht sicher, welche Klammern üblicherweise für Sequenzen verwendet werden; ich habe keine einheitliche Konvention gefunden. Ich würde wahrscheinlich keine zusammengesetzten Klammern verwenden, weil sie Mengen bezeichnen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt, während bei Sequenzen die Reihenfolge der Glieder wichtig ist.

Die andere Möglichkeit ist die Formel für das n-te Mitglied einer Folge. Zum Beispiel enthielt die Menge a_n alle geraden Zahlen. Wir könnten dies in einer Formel wie dieser ausdrücken

$$a_n=2n.$$

Der tiefgestellte Index n sagt uns, wie oft wir gerade das zehnte Glied der Folge zählen. Wenn wir also das erste Element wissen wollen, dann wollen wir das Element a₁ wissen, wenn das siebte, dann a₇. Wir würden dann das siebte Element berechnen, indem wir es in die Vorschrift einsetzen.

$$a_7=2\cdot7=14$$

Diese Schreibweise ist praktisch, weil sie es uns ermöglicht, jedes Element der Folge sofort zu berechnen. Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung einer rekurrenten Definition. Die rekurrente Definition erlaubt es uns, das nächste Element zu berechnen, wenn wir das aktuelle kennen. Oder, wenn wir das Element a_n kennen, können wir das Element a_{n + 1} berechnen.

Wenn wir die Folge rekursiv spezifizieren wollen, müssen wir zwei Informationen angeben: welches Element das erste ist und das Rezept zur Berechnung des Elements (n + 1). Wenn wir die Menge der geraden natürlichen Zahlen rekursiv angeben wollten, könnten wir das so machen:

$$a_1=2;\quad a_{n+1}=a_n+2$$

Wie würden wir nun rechnen? Wir wissen, dass a₁ gleich zwei ist. Jetzt setzen wir eine Eins hinter n und berechnen a₂, indem wir eine Zwei zu a₁ addieren. Wir erhalten vier, die zweite gerade Zahl. Und so weiter.

$$\begin{eqnarray} a_1&=&2\\ a_2&=&a_1+2\quad(=4)\\ a_3&=&a_2+2\quad(=6)\\ a_4&=&a_3+2\quad(=8)\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Das Schreiben mit einer wiederkehrenden Definition ist praktisch, wenn wir einen größeren Teil einer Folge erzeugen müssen. Andererseits ist sie nicht geeignet, wenn wir ein bestimmtes Element berechnen wollen, denn um die 100. gerade Zahl zu berechnen, müssen wir zuerst alle 99 geraden Zahlen berechnen, die der 100. geraden Zahl vorausgehen.

Die letzte Möglichkeit besteht darin, die Folge mithilfe eines Diagramms zu spezifizieren.

Zur Klarstellung: Eine Folge muss nicht unbedingt eine einfache Vorschrift haben, sie muss keine "vernünftige" Zahlenfolge sein. Auch diese Zahlenreihe ist eine Folge, auch wenn sie auf den ersten Blick keine tiefere Bedeutung hat:

$$a_i=(-5, \frac73, \pi, \pi, \pi, 13, 10^6+54, \log_354, 0)$$

Der Graph einer Folge

Sequenzen haben andere Graphen als gewöhnliche reelle Funktionen. Da sie die natürlichen Zahlen als ihren Definitionsbereich haben, besteht ihr Graph aus isolierten Punkten.

Eine arithmetische Folge ist eine Folge von arithmetischen Zahlen, die durch ihre Elemente definiert ist.

Eine arithmetische Folge ist eine einfache Folge, bei der es eine konstante Differenz zwischen den Elementen der Folge gibt. Zum Beispiel ist jedes aufeinanderfolgende Element um drei größer oder um siebzehn kleiner. Der Unterschied, um den sich die Elemente der Folge unterscheiden, wird als Differenz bezeichnet (bezeichnet mit d). Im ersten Fall wäre die Differenz drei, im zweiten Fall minus siebzehn und im Fall einer Folge gerader Zahlen wäre die Differenz zwei. Die Formel für eine arithmetische Folge könnte also wie folgt geschrieben werden:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Die allgemeine Formel zur Berechnung des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge lautet dann

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Für das Beispiel nehmen wir also wieder die geraden Zahlen, bei denen die Differenz zwei ist und die erste gerade Zahl ebenfalls zwei ist. Dann erhält man die zweite gerade Zahl, indem man zur ersten zwei addiert. Wenn wir noch einmal zwei addieren, erhalten wir eine dritte gerade Zahl.

$$\begin{eqnarray} a_1&=&2\\ a_2&=&a_1+2\quad(=4)\\ a_3&=&a_2+2\quad(=6)\\ a_4&=&a_3+2\quad(=8)\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Wenn wir zum Beispiel eine siebte gerade Zahl berechnen wollten, würden wir sie wie folgt in die allgemeine Formel einfügen:

$$a_n=a_1+(n-1)d\rightarrow a_7=2+(7-1)\cdot2=2+12=14$$

Wie findet man heraus, ob eine bestimmte Folge arithmetisch ist? Wir subtrahieren die Formel für das n-te Glied von der Formel für das (n + 1). Glied und wenn wir die Differenz erhalten, handelt es sich um eine arithmetische Folge. Nehmen wir also zum Beispiel eine Folge an

$$a_n=2n+7.$$

Ist diese Folge arithmetisch? Wir beginnen mit dem Ausdruck für (n + 1):

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Nun subtrahieren wir diese beiden Ausdrücke voneinander:

$$\begin{eqnarray} d&=&(2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d&=&2n+2+7-2n-7\\ d&=&2n-2n+7-7+2\\ d&=&2 \end{eqnarray}$$

Wir sehen, dass wir nach der Subtraktion d = 2 haben, also ist es eine arithmetische Folge mit einer Differenz von zwei.

Die Summe der Terme der arithmetischen Folge

Oft müssen wir die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge finden. Wie kann man das tun? Intuitiv, etwa so. Bleiben wir bei den geraden Zahlen. Was ist die Summe der ersten drei geraden Zahlen? Das heißt, die Zahlen 2, 4 und 6. Wir könnten sie natürlich einzeln addieren, aber das wollen wir nicht, wir wollen eine Formel.

Wir ändern die Folge so ab, dass wir zum ersten Element zwei addieren und vom letzten Element zwei subtrahieren. Wir erhalten 4, 4, 4. Wir sehen, dass wir drei gleiche Zahlen haben, also multiplizieren wir einfach vier mit der Anzahl der Terme, also drei. Also 4 · 3 = 12.

Bei fünf Elementen würde es so aussehen: 2, 4, 6, 8, 10. Addieren und subtrahieren Sie vier zu den äußersten Elementen und zwei zum vorletzten.

$$\begin{eqnarray} a_i&=&(2+4), (4+2), 6, (8-2), (10-4)\\ a_i&=&6{,}6,6{,}6,6 \end{eqnarray}$$

Auch hier multiplizieren Sie einfach 6 · 5 = 30. Was sehen wir? Wir multiplizieren immer die Anzahl der Glieder der Folge mit dem mittleren Glied der Folge. In der Folge 2, 4, 6 gab es eine 4 in der Mitte und in der Folge 2, 4, 6, 8, 10 gab es eine 6 in der Mitte. Wie berechnen wir das mittlere Element im Allgemeinen (nennen wir es p)? Wir berechnen es als Durchschnitt aus dem ersten und dem letzten Element der Folge, d. h.

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Zum Beispiel für die zweite Folge

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Die sich daraus ergebende Formel für die Summe der ersten q Glieder der Folge a_n würde wie folgt aussehen:

$$S_q=q\cdot\frac{a_1+a_q}{2}$$

Die Formel gilt für eine gerade Anzahl von Elementen, auch wenn wir in der Ableitung nur eine ungerade Anzahl von Elementen verwendet haben.

Wie man die Differenz berechnet

So berechnen Sie die Differenz, wenn Sie die beiden Terme der Folge kennen. Bleiben wir bei den geraden Zahlen. Angenommen, wir kennen die folgenden zwei Glieder der Folge

$$a_3=6,\quad a_7=14.$$

Wie berechnet man die Differenz? Zunächst berechnen wir die Differenz zwischen diesen beiden Elementen:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Nun müssen wir dieses Ergebnis nur noch durch die Anzahl der Elemente dividieren, die zwischen den beiden bekannten Elementen liegen:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Die Differenz ist zwei. Die daraus resultierende Formel zur Berechnung der Differenz d, wenn wir die Elemente der Folge a_k und a_l kennen:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Der Graph einer arithmetischen Folge weist entweder eine konstante Zunahme oder eine konstante Abnahme auf - isolierte Punkte des Graphen liegen auf derselben Linie.

Eine geometrische Folge

Eine geometrische Folge unterscheidet sich von der vorhergehenden arithmetischen Folge dadurch, dass zwei benachbarte Terme nicht die gleiche Differenz, sondern ein Verhältnis haben. Diese Proportion wird dann nicht wie bei einer arithmetischen Folge als Differenz bezeichnet, sondern als Quotient (bezeichnet mit q). Wir könnten zum Beispiel eine Folge haben, bei der q = 10 und das erste Element 5 ist:

$$\begin{eqnarray} a_1&=&5\\ a_2&=&a_1\cdot10\quad(=50)\\ a_3&=&a_2\cdot10\quad(=500)\\ a_4&=&a_3\cdot10\quad(=5000)\\ \end{eqnarray}$$

Im Allgemeinen gilt also die Formel:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

Die Formel für den allgemeinen Term einer geometrischen Folge würde wie folgt aussehen:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Wir würden zum Beispiel das dritte Element der vorherigen Folge wie folgt berechnen:

$$\begin{eqnarray} a_3&=&a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3&=&5\cdot q^2\\ a_3&=&5\cdot10^2\\ a_3&=&500 \end{eqnarray}$$

Geometrische Folgen lassen sich nach ihrem Quotienten in zwei weitere Gruppen unterteilen. Ist der Absolutwert des Quotienten kleiner als eins, so geht die gesamte Folge auf Null zurück. Eine solche Folge wird daher als konvergent bezeichnet. Ist der absolute Wert des Quotienten hingegen größer als eins, so läuft die Folge gegen unendlich und wird als divergente Folge bezeichnet. Für eine konvergente Folge gilt also die einfache Formel für die Summe einer ganzen Reihe (sie gilt nur für die konvergente Folge, weil die divergente Folge gegen unendlich geht und ihre Summe daher unendlich ist):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

Formel für die Summe der ersten i Elemente einer geometrischen Folge a_n:

$$S_i=a_1\cdot\frac{q^i-1}{q-1}$$

Die Herleitung der Formel können Sie auf Wikipedia nachlesen.

Der Graph einer geometrischen Folge ist die Menge der isolierten Punkte, die nicht auf einer einzigen Linie liegen, es sei denn, der Quotient ist Eins oder Null. Ein typischer Graph einer geometrischen Psolalität sieht so aus:

Wenn der Quotient negativ ist, hat der Graph zwei Verzweigungen: