Grenzen einer Folge

Der Grenzwert einer Folge ist die Zahl, gegen die sich die Folge im Unendlichen nähert. Der Grenzwert einer Folge ist also eine Art Vorläufer des Grenzwertes einer Funktion, der in der mathematischen Analyse von großer Bedeutung ist.

Eine kurze Einführung in den Grenzwert

Der Grenzwert einer Folge ist die Zahl, der sich eine gegebene Zahlenfolge kontinuierlich nähert (oder die sie schließlich erreicht). Am besten eignet sich das Bild, das die durch die Regel $a_n=\frac1n$ gegebene Folge zeigt:

In der Abbildung sehen wir, dass die Glieder der Folge immer näher an die Null herankommen. Je größer n ist, desto kleiner wird der Wert von a_n und desto näher kommt er der Null. Die Grafik berührt nie die horizontale Achse, da die Gleichung 1/n = 0 (wobei n eine natürliche Zahl ist) nie gilt. Es lohnt sich jedoch, herauszufinden, auf welche Zahl sich die gesamte Folge zubewegt. Die Frage könnte also lauten: Wenn wir n immer weiter erhöhen, auf welche Zahl wird sich der Wert der Folge zubewegen? Wenn wir uns n bis ins Unendliche nähern, wie hoch wird der Wert des Sequenzglieds sein? Das ist genau das, was Grenzwerte lösen. Wir schreiben es mit dem Befehl lim auf. Im tiefgestellten Index steht dann, welcher Zahl sich n nähert, bei Sequenzen ist es immer unendlich. Die ganze Notation könnte zum Beispiel so aussehen:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0.$$

Wir lesen: "Der Grenzwert der Folge ein Schrägstrich n für n, die sich der Unendlichkeit nähert, ist Null." Einige andere triviale Beispiele: Was ist der Grenzwert der Folge a_n = n? Dies ist eine einfache Folge mit a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766, usw. Welcher Zahl nähern sich die Glieder der Folge im Unendlichen? Je größer n, desto größer a_n, der Grenzwert ist also unendlich.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty$$

Sie können wahrscheinlich intuitiv erraten, dass der Grenzwert der Folge a_n = n² ebenfalls unendlich sein wird. Diese Folge wird sogar noch schneller wachsen als die vorherige. Umgekehrt wird der Grenzwert der Folge $a_n=\frac{1}{2n}$ noch schneller gegen Null fallen als die erste Beispielfolge.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}n^2=\infty,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n}=0$$

Definition des intrinsischen Limits der Sequenz

Es ist an der Zeit, den Grenzwert der Sequenz richtig zu definieren.

Eine Folge $\left\{a_n\in\mathbb{R}\right\}_{n=1}^\infty$ hat ein Eigenlimit a, (konvergiert zum Limit a ∈ ℝ, ist konvergent), wenn es für jedes ε > 0 ein n₀∈ℕ gibt, so dass für alle n>n₀, |a_n − a| < ε gilt.

Die verwendeten Notationen sind:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$$

$$a_n\rightarrow a\mbox{ Für } n\rightarrow\infty$$

$$\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty\rightarrow a$$

Das ist eine schöne Definition, jetzt wollen wir sie erklären. Dazu brauchen wir ein Bild einer Folge, also wählen wir zum Beispiel die folgende Folge:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

Und ihren Graphen:

Anhand des Graphen können wir gut sehen, dass die Folge gegen fünf konvergiert, der Grenzwert dieser Folge ist also fünf. Bevor ich beginne, die Definition des Grenzwerts für diese Folge zu demonstrieren, füge ich dem Graphen etwas Farbe hinzu:

Wir wissen bereits, dass der Grenzwert dieser Folge fünf ist. Im ersten Teil der Definition geht es um ε>0, ein Epsilon, das größer als Null ist. Das Epsilon steht hier für die Nachbarschaft des Grenzwertes, die Nachbarschaft des Punktes. Es ist größer als Null, weil die Nachbarschaft weder negativ noch Null sein kann. In der Abbildung wird diese Nachbarschaft durch die senkrechten grünen Linien auf der Achse y dargestellt. Der Punkt ist hier der Wert fünf, und die Nachbarschaft des Punktes sind die grünen Linien auf der Achse y. Somit ist die Nachbarschaft in beide Richtungen definiert, nach oben und nach unten. Wir benötigen nun diesen imaginären Streifen, der durch die grünen horizontalen Linien definiert ist. In der Abbildung ist das ε = 1.

Unser Ziel ist es, eine Zahl auf der unteren horizontalen Achse n₀ zu finden, die die untere Achse in zwei Teile teilt. Es muss so sein, dass alle Glieder der Folge rechts von der Zahl n₀ in diesem grünen Streifen liegen. Wo sich die Zahlen links von n₀ befinden, ist unerheblich, wir müssen nicht die kleinste n₀ finden, für die diese Definition gilt. In der Abbildung gilt n₀ = 12.

Was bedeutet es wirklich, dass ein Glied der Sequenz im grünen Streifen liegt? Dass es höchstens ein Epsilon vom Grenzwert (in diesem Fall die Zahl fünf) entfernt ist. Und genau das besagt die Definition: |a_n − a|<ε. Erinnern Sie sich daran, dass der Wert a den Grenzwert angibt, in unserem Fall also schon: a = 5 Versuchen wir nun, den Wert des fünfzehnten Elements zu berechnen:

$$a_{15}=\frac{5\cdot15}{15+1}=4{,}6875$$

Wir setzen nun die Beziehung |a_n − a|<ε ein:

$$\begin{eqnarray} \left|a_n-a\right|&<&\epsilon\\ \left|4{,}6875-5\right|&<&1\\ 0{,}3125&<&1 \end{eqnarray}$$

Wir sehen, dass die Ungleichung gilt. Dieser Punkt erfüllt die Definition. Die Zahl 0,3125 drückt den Abstand zwischen dem fünfzehnten Glied der Folge und dem Grenzwert der Folge aus. In der Abbildung ist dieser Abstand durch die kurze lila Linie hervorgehoben. Wenn wir alle Zahlen, die größer als n₀ sind, auf diese Weise testen würden, würden wir feststellen, dass diese Ungleichung immer noch gilt. Die Zahl a = 5 erfüllt also die Definition des Grenzwerts dieser Folge.

Die Definition enthält aber noch einen wichtigen Punkt. Sie besagt, dass wir für jede ε>0 die Zahl n₀ finden können. Also für ein beliebig großes Epsilon, aber vor allem für ein beliebig kleines Epsilon. Egal, wie klein wir das Epsilon auf eine kleine (aber immer noch positive) Zahl reduzieren, wir sollten immer noch in der Lage sein, n₀ zu finden.

Versuchen wir also, das Epsilon auf einen kleineren Wert zu reduzieren. Und was passiert? Das grüne Band, in das wir passen müssen, wird kleiner. Das ist in Ordnung, wir erhöhen einfach den Wert von n₀ - und verschieben ihn nach rechts. Sowohl das Schrumpfen als auch das Verschieben sind in der folgenden Abbildung dargestellt:

Diese Verschiebung veranschaulicht sehr schön das Verhalten der Grenzen. Wir erwarten, dass sich die Glieder der Folge dem Grenzwert nähern, so dass ihr Abstand zum Grenzwert ständig abnimmt. (Der Abstand vom Grenzwert ist das, was wir soeben berechnet haben, die lila Linie in der Abbildung.) Wenn der Abstand ständig abnimmt und die Glieder sich dem Grenzwert nähern, müssen sie irgendwann in einen Zustand gelangen, in dem sie dem Grenzwert näher sind als das Epsilon. Und damit haben wir unseren Wert n₀ gefunden. Wenn wir umgekehrt epsilon größer wählen, können wir n₀ kleiner wählen:

Ich habe eingangs erwähnt, dass sich die Folge ständig ihrem Grenzwert nähert, ihn aber nie berührt. Eine Folge kann jedoch ihren Grenzwert berühren, eine Folge kann ihren Grenzwert sogar unendlich oft erreichen. Zum Beispiel hat die konstante Folge a_n = 1 an jedem Punkt den Wert eins und damit auch einen Grenzwert von eins.

Nachweis des Fehlens eines Grenzwertes

Versuchen wir, die Definition einer Folge so zu ändern, dass sie in das folgende Diagramm passt: (die Regel selbst ist im Moment nicht relevant)

Die Folge verhält sich genauso wie im vorherigen Fall, mit Ausnahme des zehnten, zwanzigsten, dreißigsten usw. Glieds der Folge (nehmen wir an, dass diese Glieder immer gleich 3,5 sind - sie wachsen oder schrumpfen in keiner Weise). Diese Glieder sind irgendwie aus dem Rhythmus geraten. In der Abbildung habe ich zwei Nachbarschaften eingezeichnet, Epsilon eins und zwei. Wie wir sehen, können wir für ε₂ (die größere Epsilon-Nachbarschaft) eine solche n₀ finden, dass alle anderen Terme im grünen Bereich liegen. Verringern wir jedoch den Epsilon-Wert auf ε₁, können wir eine solche n₀ nicht mehr finden - jedes zehnte Glied liegt dann außerhalb dieser Nachbarschaft. Diese Sequenz hätte keinen Grenzwert am Punkt fünf (und auch sonst nirgendwo einen Grenzwert).

Beispiele für andere Grenzen

Ein Beispiel für eine Folge, die keinen Grenzwert hat, ist a_n = sin n, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Man sieht, dass die Folge zu keiner Zahl konvergiert; die Glieder der Folge werden immer kleiner und größer. Eine solche Folge wird als divergent bezeichnet.

Bisher haben wir konvergente Folgen gezeigt, die von einer Seite aus zu einem bestimmten Grenzwert konvergieren. Eine Folge kann aber auch von beiden Seiten gegen den Grenzwert konvergieren, wie diese Folge zeigt

$$a_n=(-1)^n\cdot\frac{1}{n}$$

Auch diese Folge konvergiert gegen Null.

Nicht-Eigenlimit

Bislang haben wir den eigentlichen Grenzwert erörtert, d. h. den Fall, dass die Folge gegen eine reelle Zahl konvergiert. Was aber ist mit einer solchen Folge a_n = n? Gegen welche reelle Zahl konvergiert die Folge? Schauen Sie sich das Diagramm an:

Sie nähert sich offensichtlich keiner reellen Zahl, sondern wächst über alle Grenzen hinaus, bis ins Unendliche. Eine solche Folge hat also einen Grenzwert im Unendlichen, und wir sagen, dass ein solcher Grenzwert nicht korrekt ist. Die Definition eines uneigentlichen Grenzwerts ist einfach. Was bedeutet es, dass eine Folge ins Unendliche wächst? Wenn wir eine reelle Zahl A wählen, die beliebig groß ist, finden wir immer einen Index n₀, so dass alle Glieder der Folge, die nach diesem Glied liegen, größer sind als diese Zahl A. Kurz gesagt, wenn wir einen Grenzwert A wählen, dann sind ab einem Teil der Folge alle Glieder größer als dieser A. Mathematisch ausgedrückt:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty\Leftrightarrow\forall A\in\mathbb{R}\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\in\mathbb{N}: n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Am Anfang haben wir für alle A, d.h. für alle Grenzen, die wir wählen möchten. Dann haben wir einen Existenzquantor, der besagt, dass es einen Index n₀ geben muss, für den gilt: Wenn n größer als dieser n₀ ist, dann ist der Wert des Gliedes a_n größer als der Grenzwert, den wir am Anfang gewählt haben, d.h. A. Eine ähnliche Definition gilt für den nicht-proper Grenzwert bei minus unendlich.

Methoden zur Berechnung des Grenzwerts

Wir kennen bereits einige grundlegende Methoden, um den Grenzwert einer Folge zu berechnen. Verschiedene Permutationen der Folge a_n = n wie z. B.

$$a_n=2n,\quad a_n=\frac{n}{2}$$

haben einen Grenzwert bei plus unendlich. Im Gegensatz dazu haben Folgen vom Typ

$$a_n=\frac{1}{n},\quad a_n=\frac{15}{4n}$$

einen Grenzwert von Null. Wir betrachten nun einige grundlegende Beziehungen für das Zählen mit Folgen. Nehmen wir an, dass Folgendes gilt

$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=a,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=b,\quad a,b\in\mathbb{R}.$$

Dann gelten auch die folgenden Beziehungen:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(c_1a_n+c_2b_n)=c_1a+c_2b\quad\forall c_1,c_2\in\mathbb{R}$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=a\cdot b;\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}; b\ne 0.$$

Wir könnten die erste Formel auf das folgende Beispiel anwenden:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n}+5)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}5=0+5=5$$

Was ist, wenn wir ein solches Beispiel haben?

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n}$$

Hier ergibt sich ein Problem, denn der Ausdruck im Zähler geht gegen unendlich, der Ausdruck im Nenner geht ebenfalls gegen unendlich. Wenn wir aber sowohl im Zähler als auch im Nenner unendlich sind, erhalten wir einen sogenannten unbestimmten Ausdruck. Kurz gesagt, wir können nicht bestimmen, was der Ausdruck gleich ist:

$$\frac{\infty}{\infty}$$

Unsere Aufgabe besteht darin, den Ausdruck so zu verändern, dass dieser unbestimmte Ausdruck nicht auftritt. Wenn wir die Variable n aus dem Nenner oder dem Zähler entfernen können, erhalten wir bereits einen Ausdruck mit nur einer Unendlichkeit.

Wir modifizieren den Ausdruck zunächst, indem wir jeden Term durch die Variable n dividieren oder den Bruch durch den Ausdruck 1/n erweitern.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n}=\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{3n+1}{2n}\cdot\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Wir sehen, dass es im Nenner keine Variable n mehr gibt, so dass der Ausdruck im Nenner nicht nahe am Unendlichen ist. In Anlehnung an die vorhergehenden Formeln können wir den gesamten Grenzwert in mehrere kleinere Grenzwerte zerlegen, indem wir die Grenzwerte aller Ausdrücke einzeln zählen und die Ergebnisse addieren und dividieren.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}$$

Damit sind wir in einer Situation, in der wir bereits alle Grenzwerte berechnen können. Gehen wir so vor.

$$\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Der Grenzwert dieser Folge ist die Zahl 1,5.

Versuchen wir ein anderes Beispiel:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Hier können wir entweder das gleiche Verfahren wie beim letzten Mal verwenden oder wir können versuchen, logisches Denken einzubeziehen. Die Funktion n² wird die Folge viel schneller nach oben ziehen als die Funktion n sie nach unten zieht. Die Funktion n² ist viel stärker, und so hat der ganze Ausdruck eine Grenze bei unendlich. Versuchen wir, die Rechnung zu machen. Auch hier teilen wir jeden Ausdruck durch n:

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{2n}&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ &=&\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3n+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}\\ &=&\frac{\infty+0}{2}=\infty \end{eqnarray}$$

Noch ein paar Worte dazu, warum wir n geteilt haben und nicht z. B. n², das auch in dem Ausdruck vorkommt. Unser Ziel ist es, wie wir wissen, eine Variable loszuwerden. Wir wissen jedoch, dass der Wert des Nenners nicht gleich Null sein darf, sonst würden wir wieder einen unbestimmten Ausdruck erhalten. Wir erweitern den Bruch mit einem Ausdruck, bei dem im Nenner keine Null steht. In diesem Fall bedeutet das, dass wir den Bruch mit dem Ausdruck erweitern, der den höchsten Exponenten im Nenner hat.

Wir können also sagen, dass der Grenzwert einer Funktion folgt, die um eine Größenordnung schneller wächst. Achten Sie aber auf die Vorzeichen, auch beim Zählen mit Unendlichkeit müssen wir das Vorzeichen beibehalten:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{-2n}=\ldots=\frac{\infty+0}{-2}=-\infty$$