Formeln für die Arbeit mit Ableitungen
Einige nützliche Formeln zur Berechnung von Ableitungen von Funktionen.
Grundlegende Formeln
Grundlegende Formeln, die Sie bei fast jeder Berechnung der Ableitung einer Funktion verwenden werden. Die erste Spalte ist die ursprüngliche Funktion, die zweite Spalte ist die Ableitung der Funktion. Wir gehen davon aus, dass wir mit x ableiten und dass c eine Konstante ist.
$$\begin{eqnarray} c^\prime&=&0\\ x^\prime&=&1\\ (x^c)^\prime&=&cx^{c-1} \end{eqnarray}$$
Addition, Multiplikation und Division
Nehmen wir an, dass f(x) und f bzw. g(x) und g einige Funktionen sind. Dann können wir schreiben:
$$\begin{eqnarray} (f+g)^\prime&=&f^\prime+g^\prime\\ (c\cdot f)^\prime&=&c\cdot f^\prime\\ (f\cdot g)^\prime&=&f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime\\ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime&=&\frac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}\\ \end{eqnarray}$$
Speziell dann haben wir die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion:
$$\begin{eqnarray} (f(g(x)))^\prime&=&f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$
Logarithmen und Exponentialfunktionen
$$\begin{eqnarray} (c^x)^\prime&=&c^x\ln c;\quad c>0\\ (e^x)^\prime&=&e^x\\ (\log_cx)^\prime&=&\frac{1}{x\cdot \ln c};\quad c>0\wedge c\ne0\\ (\ln x)^\prime&=&\frac{1}{x} \end{eqnarray}$$
Goniometrische Funktionen
$$\begin{eqnarray} (\sin x)^\prime&=&\cos x\\ (\cos x)^\prime&=&-\sin x\\ (\tan x)^\prime&=&\frac{1}{\cos^2x}\\ (\mbox{cotan},x)^\prime&=&-\frac{1}{\sin^2x}\\ (\arcsin x)^\prime&=&\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x)^\prime&=&-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)^\prime&=&\frac{1}{1+x^2}\\ (\mbox{arccotan}, x)^\prime&=&-\frac{1}{1+x^2}\\ \end{eqnarray}$$