Durchschnitt
Kapitoly: Durchschnitt, Median, Modus, Wie man den Notendurchschnitt berechnet, Geometrisches Mittel, Harmonisches Mittel
Der Mittelwert ist ein in der Statistik häufig verwendeter Wert, der als arithmetisches Mittel von Werten berechnet wird.
Was ist der Mittelwert?
Der Mittelwert ist das klassische arithmetische Mittel der beobachteten Werte. Nehmen wir als Beispiel diese Tabelle der Löhne in CZK:
| Name | Lohn |
|---|---|
| Tomas | 10 000 |
| Martin | 15 000 |
| Jiří | 18 000 |
| Miroslav | 21 000 |
| Jana | 19 000 |
| Lenka | 25 000 |
| Ondřej | 15 000 |
| Lukas | 45 000 |
| Petra | 29 000 |
| Jan | 85 000 |
| Josef | 15 000 |
Dies sind die Löhne von 11 imaginären Arbeitnehmern unseres imaginären Unternehmens Matweb s.r.o. Wie hoch wäre der Durchschnittslohn in diesem Unternehmen? Wir würden alle Beträge nehmen und sie addieren:
$$ \begin{array}{l} 10 000+ 15 000+ 19 000+ 21 000+ 18 000+ \\ 25 000+ 15 000+ 45 000+ 29 000+ 85 000+ 15 000 = 297 000 \end{array} $$
Die Gesamtsumme der gezahlten Löhne beträgt 297 000 CZK pro Monat. Wir erhalten den Durchschnittslohn, indem wir diesen Betrag durch die Anzahl der Beschäftigten, also elf, teilen: 297 000 / 11 = 27 000 Der Durchschnittslohn in unserem Unternehmen beträgt 27 000 CZK. Das ist doch nicht schlecht, oder?
Wenn wir also eine Reihe von n Werten haben, nennen wir sie x1, x2, …, xn, erhalten wir den Durchschnittswert, indem wir alle xi addieren und das Ergebnis durch n teilen. Wir bezeichnen den Durchschnittswert gewöhnlich als $\overline{x}$. Formel:
$$ \overline{x} = \frac{x_1+x_2+…+x_n}{n} $$
Alternativ kann die gleiche Formel auch mit Summe verwendet werden:
$$ \overline{x} = \frac1n\cdot\sum_{i=1}^nx_i $$
Wie man den Durchschnitt in Excel berechnet
Im tschechischen Excel wird die Funktion "Durchschnitt" zur Berechnung des Durchschnitts verwendet, im englischen die Funktion "average". Im englischen Excel verwenden wir die Durchschnittsfunktion.
Probleme mit dem Durchschnitt
Es gibt einige Probleme, die mit dem Durchschnittswert auftreten können:
- Der Durchschnittswert gibt nicht den häufigsten oder wahrscheinlichsten Wert an. Es handelt sich einfach um einen Durchschnittswert. Wenn wir den Durchschnitt Ihrer Schulnoten berechnen würden, kämen wir vielleicht auf eine Zahl von 2,3, was nicht einmal eine gültige Schulnote ist. Aber es ist eine Durchschnittsnote. In ähnlicher Weise liegt der Durchschnittslohn in unserem Unternehmen bei 27.000, und niemand hat diesen Lohn tatsächlich.
- Der Durchschnitt kann uns ein schlechtes Bild von den Daten vermitteln, wenn es große Ausreißer in den Daten gibt. Ein Durchschnittslohn von 27 000 CZK klingt zwar ganz nett, aber die meisten Arbeitnehmer sind weit davon entfernt, diesen Lohn zu erreichen. Ein so hoher Lohn ist vor allem auf einen Arbeitnehmer, Jan, zurückzuführen, der 85.000 erhält und damit den Durchschnitt weit nach oben treibt. Wenn wir Jan entlassen würden, läge der Durchschnittslohn nur bei 21 200, was auf den ersten Blick eine weniger irreführende Zahl zu sein scheint.