Median

Vereinfacht ausgedrückt, teilt der Median eine Menge von Werten so auf, dass die Hälfte der Werte kleiner als der Median und die andere Hälfte der Werte größer als der Median ist. In Wirklichkeit ist es ein wenig komplizierter, und das werden wir uns jetzt ansehen.

Was ist der Median?

Beim Median spielt es eine Rolle, ob die Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit gerade oder ungerade ist. Wenn die Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit ungerade ist, erhalten wir den Median, indem wir alle Werte vom kleinsten zum größten ordnen, und der Wert, der genau in der Mitte liegt, ist der Median.

Nehmen wir als Beispiel die Zahlenfolge 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Es gibt insgesamt 7, was eine ungerade Zahl ist. Wir sortieren die Zahlen, um die Folge 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75 zu erhalten. Der Median, den wir als $\mbox{Me}$ bezeichnen, ist das Element, das in der Mitte liegt, also die Zahl 3. Eine allgemeine Formel für eine Grundgesamtheit X der Größe |X| = N, deren Elemente x_i sind und von der kleinsten bis zur größten Zahl geordnet sind, würde also lauten:

$$ \mbox{Me}(X) = x_{(N+1)/2} $$

Wenn wir dies für unsere Wertemenge X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] ausprobieren, erhalten wir:

$$ \mbox{Me}(X) = x_{(N+1)/2} = x_{(7+1)/2} = x_{8/2}=x_4=3 $$

Für eine gerade Anzahl von Elementen müssen wir eine kleine Anpassung vornehmen, da eine gerade Folge von Werten kein "Element in der Mitte" hat. Wenn wir eine Zwei aus unserer Grundgesamtheit entfernen, erhalten wir die Grundgesamtheit: Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75] und sie hat kein mittleres Element. Die beiden Zahlen 3 und 4 liegen "gleichmäßig in der Mitte". In diesem Fall kann man das Problem lösen, indem man die beiden Elemente, die sich in der Mitte befinden, nimmt und den Median als ihr arithmetisches Mittel ansetzt. Somit wäre der Median der Werte von Y der Wert von (3 + 4)/2 = 3,5.

Die allgemeine Formel für X Werte von N mit den Elementen x_i in einer Reihe würde wie folgt aussehen:

$$ \mbox{Me}(X) = \frac{x_{N/2} + x_{(N/2)+1}}{2} $$

Wenn wir den Median der Werte von Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], wo wir die Elemente y_i bezeichnen, auf diese Weise berechnen, erhalten wir:

$$ \mbox{Me}(Y) = \frac{y_{N/2} + y_{(N/2)+1}}{2} = \frac{y_{6/2} + y_{(6/2)+1}}{2} = \frac{y_3 + y_4}{2} = \frac{3+4}{2}=3{,}5 $$

Vorteile des Medians

Der Median hat im Gegensatz zum Mittelwert keine Probleme mit extremen Werten in der Wertemenge. Im obigen Beispiel mit der Menge X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] würden wir den Mittelwert $92 / 7 \approx 13,1428$ erhalten, was ein etwas merkwürdiger Wert ist, da sechs der sieben Elemente viel kleiner sind. Der Median ist dann eine vernünftige Zahl, nämlich drei.

Der Median kann weiterhin für alle Werte verwendet werden, die irgendwie sortiert werden können. Wir können den Durchschnitt nur für Werte nehmen, die wir addieren und dann dividieren können. Nehmen wir z. B. eine Kleidergröße: Normalerweise gibt es eine Reihenfolge wie XS, S, M, L, XL, XXL. Es wäre schwierig, einen Durchschnitt aus solchen Werten zu bilden, denn es ist nicht klar, wie man XS + L oder XL + L addieren kann, und es ist nicht klar, wie man sie am Ende teilen würde. Wenn jedoch eine Population Kleidung in den Größen S, S, M, L, L, XXL gekauft hat, können wir sagen, dass der Median die Größe L ist. Das Problem kann entstehen, wenn wir eine gerade Anzahl von Größen haben, denn dann können wir keinen arithmetischen Durchschnitt bilden. In diesem Fall wählen wir in der Regel einfach eine der beiden mittleren Zahlen als Median.