Vektorräume

Ein Vektorraum, manchmal auch linearer Raum genannt, ist eine Menge von Elementen, die bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen, damit sich die Elemente dieser Menge, die wir Vektoren nennen, "schön" verhalten.

Ein Beispiel für einen Vektorraum

Bevor wir einen Vektorraum definieren, zeigen wir Ihnen ein Beispiel für einen Vektorraum, den Sie bereits aus der Schule kennen sollten, von dem Sie aber nicht wissen, dass er ein Vektorraum ist. Dies sind klassische Vektoren in der Ebene.

Unter einem Vektor in der Ebene verstehen wir ein geordnetes Paar [a, b], wobei a, b ∈ ℝ. beliebige Koordinaten im Raum ℝ² sind (d. h. das kartesische Produkt ℝ×ℝ). Wir können einen solchen Vektor durch einen Pfeil von einem Punkt [0, 0] zu einem Punkt [a, b] darstellen. Der Vektor [2, 3] würde so aussehen:

Wir wissen, dass wir Vektoren nach der Regel [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d] addieren können. Die Summe der Vektoren [2, 3] + [4, 1] wäre gleich dem Vektor [2 + 4, 3 + 1] = [6, 4]. Wir würden ihn wie folgt grafisch darstellen:

Gleichzeitig können wir das k-fache des Vektors berechnen, wobei k eine reelle Zahl ist. k-fach wird als k · [a, b] geschrieben. Das Ergebnis ist ein neuer Vektor, der als k · [a, b] = [k · a, k · b] definiert ist. Grafisch wird dies dadurch dargestellt, dass der Vektor "gestreckt", "verkürzt" wird oder die Richtung ändert. Wenn wir einen Vektor u = [2, 3] haben, dann sehen die Vektoren 2 · u, $\frac12u$ und −1 · u wie folgt aus:

Wir werden später beweisen, dass die Menge aller Vektoren ℝ² mit auf diese Weise definierten Operationen einen Vektorraum bilden. Zunächst werden wir einen Vektorraum definieren und diesen Vektorraum ℝ² verwenden, um jede Eigenschaft zu zeigen.

Definition des Vektorraums

Ein Vektorraum (oder linearer Raum) ist eine nicht leere Menge V, deren Elemente als Vektoren bezeichnet werden. Außerdem müssen zwei Operationen auf der Menge existieren: die Vektoraddition, d. h. die $V \times V \longrightarrow V$-Darstellung, und die Vektormultiplikation mit einer reellen Zahl, d. h. die $\mathbb{R} \times V \longrightarrow V$-Darstellung. (Ganz allgemein kann jeder beliebige Festkörper anstelle einer Menge reeller Zahlen verwendet werden, aber dazu später mehr.) Wir bezeichnen die Vektoraddition mit + und die Vektormultiplikation mit · . Diese beiden Operationen müssen die folgenden Bedingungen erfüllen. Das heißt, sie müssen für alle x, y, z ∈ V und für alle a, b ∈ ℝ gelten (beachten Sie, dass die Vektoren x, y, z fett gedruckt sind, während die Zahlen a, b normal sind):

1. x + y = y + x: Vektoraddition ist kommutativ. Um auf das Beispiel mit den Vektoren in ℝ² zurückzukommen, spielt es keine Rolle, ob wir die Vektoren wie folgt addieren [2, 3] + [4, 1] oder umgekehrt: [4, 1] + [2, 3] .

• (x+y)+z = x+(y+z): Vektoraddition ist assoziativ. Auch hier können wir einige Vektoren aus ℝ² einfügen und sehen, dass es funktioniert.
• a · (b · x) = (a · b) · x: Gesetz der assoziativen Multiplikation. Für unsere Vektoren gilt, dass 4 · (5 · [6, 7]) dasselbe ist wie (4 · 5) · [6, 7]. Beide Beispiele führen zu dem Vektor [20 · 6, 20 · 7].
• a · (x + y) = a · x + a · yDas : Distributivgesetz für Vektoren aus V. Auch hier sehen wir, dass 2 · ([2,3]+[4,5]) dasselbe ist wie 2 · [2,3]+2 · [4,5]. Beide Ausdrücke führen zu dem Vektor [2 · 6,2 · 8].
• (a + b) · x = a · x+b · x: Distributivität der Addition von Zahlen.
• 1 · x = x: Wenn wir einen beliebigen Vektor mit der reellen Zahl 1 multiplizieren, ändert sich der Wert des Vektors nicht. In unserem Fall, 1 · [5, 8] = [5,8].
• Es gibt ein Element 0∈ V, so dass 0 · x = 0. Eine fette Null, d.h. 0, ist ein sogenannter Nullvektor, während eine nicht-fette Null 0 einfach die Zahl Null ist. Dieser Punkt besagt, dass es einen Vektor in V geben muss, den wir durch Multiplikation eines beliebigen Vektors x∈ V mit der Zahl Null erhalten. Für unseren Raum ℝ² ist dies der Vektor [0,0], denn für alle Vektoren [a, b] ∈ ℝ² gilt: 0 · [a,b] = [0,0].

Dies sind alles Eigenschaften, die ein (linearer) Vektorraum V erfüllen muss. Wenn wir einen Vektor mit einer reellen Zahl a multiplizieren, dann nennen wir diese Zahl a einen Skalar. Wir sprechen also oft von der Multiplikation mit einem Skalar und meinen einen Ausdruck der Form a · x, wobei a eine reelle Zahl und x ein Vektor ist.

Die doppelte Bedeutung des Pluszeichens +

Beachten Sie, dass das Pluszeichen + in einigen Ausdrücken eine doppelte Bedeutung haben kann. Im Distributivitätspunkt der Addition von Zahlen haben wir z. B. die Gleichung (a + b) · x = a · x+b · x. Das +-Zeichen auf der linken Seite der Gleichung addiert jedoch reelle Zahlen, weil a und b beide reelle Zahlen sind, während es auf der rechten Seite Vektoren addiert, weil das Produkt a · x ein Vektor ist.

Diese automatische Erkennung wird in der Mathematik häufig angewandt - aus dem Kontext ist immer klar, welche Addition gemeint ist. Wenn wir den Ausdruck x + y haben und x, y dennoch Vektoren sind, verwenden wir die Vektorsumme. Wäre x, y eine Zahl, würden wir eine klassische Summe verwenden. Wären es Matrizen, würden wir Matrizensumme verwenden, usw.

Wir könnten ein anderes Vorzeichen für die Vektoraddition verwenden, z. B. $\oplus$. Dann könnten wir die Distributivität der Zahlenaddition wie folgt schreiben: $(a+b)\cdot \mathbf{x} = a\cdot \mathbf{x}\oplus b\cdot \mathbf{x}$. Das normale + steht hier für die Addition von reellen Zahlen a, b, das Zeichen $\oplus$ für die Addition von Vektoren. In der Regel wird jedoch ein einziges + Zeichen für beide Versionen der Addition verwendet, und seine Bedeutung ist aus dem Kontext bekannt. Dasselbe gilt für das Zeichen · .

Vektorraum R²

Im ersten Abschnitt haben wir den Vektorraum V = ℝ² definiert, jetzt wollen wir beweisen, dass er tatsächlich ein Vektorraum ist. Als erstes müssen wir überprüfen, ob wir die Operationen Addition und Multiplikation richtig definiert haben. Die Addition soll zwei Vektoren addieren und das Ergebnis soll ein neuer Vektor sein. Dies ist erfüllt, da [a, b]+[c, d] = [a + c,b + d]. Die Addition der beiden Vektoren von ℝ² ergibt einen neuen Vektor von ℝ².

Wenn wir zum Beispiel die Addition von Vektoren als die Summe ihrer Größen definieren würden, wäre dies keine gültige Summenoperation im Vektorraum. Wir würden die Größe des Vektors [a, b] als $\sqrt{a^2+b^2}$ berechnen. Somit wäre das Ergebnis der Addition von [3,4]+[5, 12] die Zahl $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+12^2}=5+13=18$, die kein Vektor des Raums ℝ² ist.

Als nächstes müssen wir überprüfen, ob wir die Multiplikation richtig definiert haben. Bei der Multiplikation wird eine reelle Zahl mit einem Vektor aus ℝ² multipliziert und das Ergebnis sollte ein neuer Vektor aus ℝ² sein. Dies ist wiederum erfüllt, da wir die skalare Multiplikation als k · [a,b] = [k · a, k · b] definiert haben.

Wir werden alle 7 Eigenschaften, die ein Vektorraum erfüllen muss, der Reihe nach überprüfen. Wir werden unsere Vektoren [a, b], [c, d], … durch die einzelnen Vektoren x, y ersetzen, wie es sich gehört.

1. x + y = y + x, Kommutativität der Vektoraddition. Ist unsere definierte Vektoraddition kommutativ? Ja, das ist sie, denn sie ist definiert als [a, b]+[c, d] = [a + c,b + d]. Wenn wir die Vektoren auf der linken Seite vertauschen, erhalten wir: [c, d]+[a, b] = [c + a,d + b] Da c + a die Summe zweier reeller Zahlen ist und die Summe reeller Zahlen eine kommutative Operation ist, gilt c + a = a + c und dasselbe für das andere Paar: d + b = b + d Es gilt also: [a + c,b + d] = [c + a,d + b].

• (x+y)+z = x+(y+z). Dies ist eine Art Spiel mit Klammern. Im Grunde handelt es sich um einfache Modifikationen, nur werden sie unordentlich sein, weil es zu viele Klammern geben wird. Versuchen wir nun, diese Vektorsumme zu berechnen:

$$ \left(\left[a,b\right]+\left[c,d\right]\right)+\left[e,f\right] = \left[a+c,b+d\right]+\left[e,f\right]=\left[\left(a+c\right)+e, \left(b+d\right)+f\right] $$

Da a, c, e reelle Zahlen sind und die Additionsoperation bei reellen Zahlen assoziativ ist, (a + c)+e = a + c + e. Dasselbe gilt für die zweite Koordinate. Wir können also schreiben, dass

$$ \left(\left[a,b\right]+\left[c,d\right]\right)+\left[e,f\right] = \left[a+c+e, b+d+f\right] $$

Versuchen wir nun, die gleichen Vektoren mit unterschiedlich gestapelten Klammern zu addieren:

$$\left[a,b\right]+\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right)=\left[a,b\right]+\left[c+e,d+f\right]=\left[a+\left(c+e\right),b+\left(d+f\right)\right]$$

Wiederum a+(c + e) = a + c + e, also können wir schreiben, dass

$$\left[a,b\right]+\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right)=\left[a+c+e, b+d+f\right]$$

Wir sehen also, dass wir, egal wie wir die Summe der drei Vektoren klammern, immer denselben Vektor [a + c + e, b + d + f] erhalten. Die Additionsoperation in ℝ² ist also assoziativ und erfüllt die zweite Eigenschaft von Vektorräumen.

Sie können versuchen, bestimmte Zahlen nach den a, …, f Variablen zu ersetzen und Sie werden sehen, dass es funktioniert.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Auch hier zerlegen wir zunächst die linke Seite der Gleichung und setzen den Vektor [c, d] nach x ein:

$$a\cdot \left(b \cdot \left[c, d\right]\right) = a \cdot \left[b \cdot c, b \cdot d\right] = \left[a \cdot (b \cdot c), a\cdot (b\cdot d)\right]$$

Da die Multiplikation von reellen Zahlen assoziativ ist, erhalten wir die Gleichung a · (b · c) = a · b · c. Wir können also schreiben:

$$a\cdot \left(b \cdot \left[c, d\right]\right) = \left[a\cdot b \cdot c,a\cdot b\cdot d\right]$$

Wir zerlegen nun die rechte Seite der Gleichung, d. h. die Seite (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot\left[c, d\right]=\left[(a\cdot b)\cdot c, (a\cdot b)\cdot d\right]$$

Wiederum (a · b) · c = a · b · c, also:

$$(a\cdot b)\cdot\left[c, d\right]=\left[a\cdot b \cdot c,a\cdot b\cdot d\right]$$

Wir sehen, dass beide Seiten der Gleichung zu dem resultierenden Vektor [a · b · c,a · b · d] führen, also gilt die Gleichung.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Die Vorgehensweise ist die gleiche, wir müssen nur die linke Seite der Gleichung auflösen:

$$a\cdot\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right) = a\cdot\left(\left[c+e, d+f\right]\right)=\left[a\cdot(c+e), a\cdot (d+f)\right]$$

Da a, c, e reelle Zahlen sind, für die das Distributivgesetz gilt, erhalten wir die Gleichung: a · (c + e) = ac + ae. Wir können also schreiben:

$$a\cdot\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right) = \left[ac+ae, ad+af\right]$$

Die rechte Seite der Gleichung:

$$a\cdot\left[c,d\right]+a\cdot\left[e,f\right]=\left[ac, ad\right]+\left[ae, af\right]=\left[ac+ae, ad+af\right]$$

Wir sehen, dass die linke und die rechte Seite der Gleichung nach der Umstellung gleich sind.

• (a + b) · x = a · x+b · xWir gehen ganz ähnlich vor wie im vorherigen Schritt. Anpassen der linken Seite der Gleichung:

$$(a+b)\cdot\left[c, d\right]=\left[(a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d\right]=\left[ac+bc,ad+bd\right]$$

Rechte Seite:

$$a\cdot\left[c, d\right]+b\cdot\left[c,d\right]=\left[ac, ad\right]+\left[bc, bd\right]=\left[ac+bc,ad+bd\right]$$

• 1 · x = x: Ich glaube nicht, dass jemand bis zu diesem Punkt gekommen ist, aber sei's drum, wir machen weiter :-). Zumindest dieser Punkt ist einfach. Wir müssen prüfen, ob 1 · [a, b] = [a,b] wahr ist, denn

$$1\cdot\left[a,b\right]=\left[1\cdot a, 1\cdot b\right]=\left[a,b\right]$$

• Es gibt ein Element 0∈ ℝ², so dass 0 · x = 0: ein Vektor [0,0] ist. Dafür gilt, dass 0 · [a,b] = [0,0], denn

$$0\cdot\left[a,b\right]=\left[0\cdot a, 0\cdot b\right]=\left[0{,}0\right]$$

Die Größe von Vektorräumen

Was ist der kleinste Vektorraum, den es gibt? Per Definition wissen wir, dass ein Vektorraum eine nicht leere Menge ist V, also ist die kleinstmögliche Größe, die wir uns vorstellen können, eine Menge mit einem Vektor. Aus dem siebten Punkt der Definition wissen wir, dass der Raum einen Nullvektor enthalten muss. Die Menge V = {0} ist also ein Kandidat für den kleinsten Vektorraum.

Wir können die Addition als 0+0 = 0 und die Multiplikation als a · 0 = 0 definieren. Egal, was wir tun, wir erhalten immer einen Nullvektor. Es ist offensichtlich, dass diese Ein-Punkt-Menge alle sieben geforderten Eigenschaften besitzt.

Wir wissen bereits, dass es einen Ein-Punkt-Vektorraum gibt. Gibt es einen Vektorraum, der zwei Elemente hat? Können wir Additions- und Multiplikationsoperationen für die Menge V = {x, 0} definieren, um einen Vektorraum zu erzeugen?

Die Antwort ist nein, es gibt keinen zweipunktigen Vektorraum. Es gibt auch keinen endlichen Vektorraum außer dem bereits erwähnten Ein-Punkt-Vektorraum. Alle anderen Vektorräume sind bereits unendlich. Wenn man aber, wie vorgeschlagen, statt der Menge der reellen Zahlen einen anderen, endlichen Festkörper verwendet, könnte man einen anderen endlichen Vektorraum erhalten.

Zusammenfassung

Die Definition von Vektorräumen ist nicht ganz einfach: Vektoren und Operationen müssen insgesamt 7 Bedingungen erfüllen, was nicht gerade wenig ist. Andererseits sind diese Bedingungen recht trivial und verständlich - sie zielen darauf ab, die Arbeit mit Vektoren einfach zu machen. Dank der definierten Bedingungen können wir Vektoren aus einem Vektorraum addieren, ohne prüfen zu müssen, ob das Ergebnis der Addition ein Vektor aus einem anderen Vektorraum sein wird. In ähnlicher Weise können wir einen Vektor mit einer reellen Zahl multiplizieren und erhalten immer einen Vektor aus demselben Raum. Dass Vektoren und ihre Operationen Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzen gehorchen, ist ebenfalls ganz natürlich.

Wir könnten den Vektorraum auch allgemeiner definieren. Anstelle einer Menge von reellen Zahlen können wir einen beliebigen Festkörper nehmen. Aber dazu mehr in späteren Artikeln.

Links und Quellen

• O. Lineare Algebra 1 [PDF]
• Petr Olšák: Lineare Algebra