Dimensionen des Vektorraums
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Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl der Elemente der Basis dieses Vektorraums. Wenn die Basis unendlich ist, dann ist auch die Dimension unendlich.
Definition der Dimension eines Vektorraums
Betrachten wir einen Vektorraum V und eine Basis B. Das heißt, B ⊆ V, die Menge B enthält linear unabhängige Vektoren und die lineare Abdeckung der Menge B ist gleich dem Raum V: <B> = V.
Wenn die Basis B eine endliche Anzahl von Elementen hat n, dann sagen wir, dass die Dimension des Raums V n ist. Wir bezeichnen die Dimension mit dim, also dim V = |B| = n. Wenn die Basis B unendlich ist, sagen wir, dass die Dimension des Raums ebenfalls unendlich ist. Da alle Basen des Raumes immer gleich groß sind, ist es egal, welche Basis wir nehmen.
Beispiel: Der Raum ℝ3 hat die Basis [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]. Es gibt insgesamt drei Vektoren, also $\dim \mathbb{R}^3 = 3$. Im Allgemeinen kann man sagen, dass $\dim \mathbb{R}^n = n$.
Wenn der Raum V die Dimension n hat, spricht man von einem n-dimensionalen Vektorraum.
Eigenschaften der Dimension eines Vektorraums
- Betrachten wir einen Vektorraum V und einen Unterraum von W ⊆ V. Dann $\dim W \le \dim V$.
- Gegeben sei ein Vektorraum V und ein Unterraum von W ⊂ V. Dann gilt $\dim W < \dim V$. Dieser Punkt unterscheidet sich dadurch, dass wir W = V nicht zulassen. Wenn wir also einen Unterraum W haben, der kleiner ist als V, dann hat auch dieser Unterraum eine geringere Dimension. Warum? Weil es einen Vektor x ∈ V ∖ W gibt, der keine Linearkombination der Vektoren von W ist, und somit auch keine Linearkombination der Vektoren von irgendeiner Basis W.
- Wenn der Raum V die Dimension n hat, dann bilden alle linear unabhängigen Vektoren von n die Basis des Raums V. Die Menge der Vektoren von n + 1 bildet dann eine linear abhängige Menge von Vektoren.