Vektor-Unterraum

Ein Vektorunterraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die für Addition und Multiplikation mit einem Skalar noch geschlossen ist.

Definition

Betrachten wir einen Vektorraum V. Dann wäre der Vektorunterraum W eine Teilmenge des Raums V, wobei die Menge W ebenfalls ein Vektorraum ist. Eine Teilmenge W ⊆ V muss also die beiden folgenden Bedingungen erfüllen, damit sie ein Vektorunterraum des Raums V ist: für alle x, y ∈ W und für jeden a ∈ ℝ:

• x+y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Wir müssen also eine Teilmenge von V so wählen, dass diese Vektoren unter Addition und Multiplikation geschlossen sind.

Der Unterraum des Raumes R³

Versuchen wir, den Raum ℝ³ zu nehmen und einen Unterraum zu finden.

1. Wie wäre es zum Beispiel mit allen Tripeln der Form [a, a, a], wobei a∈ ℝ. Das heißt, Tripel wie $\left[1, 1, 1\right], \left[\frac12, \frac12, \frac12\right]$ oder [−π, −π, −π]. Ein solcher Unterraum, nennen wir ihn W₁, wäre eine Teilmenge des Raums ℝ³, d.h. W₁⊆ ℝ³, denn ℝ³ enthält einfach alle Tripel.

Ein solcher Raum wäre in Bezug auf die Vektoraddition geschlossen, denn

$$\left[a,a,a\right]+\left[b,b,b\right]=\left[a+b, a+b,a+b\right].$$

Nach der Addition der beiden Vektoren würden wir einen neuen Vektor erhalten, der wieder dieselben drei Glieder hätte, und ein solcher Vektor ist in der Menge W₁ enthalten. Die Menge W₁ erfüllt also die erste Bedingung eines Vektorunterraums. Erfüllt sie aber auch die zweite Bedingung?

Ja, das tut sie, denn das k-Multiplikator ändert wieder alle drei Komponentenvektoren, aber er ändert sie genau gleich:

$$k\cdot\left[a,a,a\right]=\left[k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a\right].$$

Wir erhalten wieder einen Vektor, bei dem alle drei Komponenten gleich sind, und ein solcher Vektor befindet sich in der Menge W₁. Die Menge W₁ ist also ein Vektorunterraum von ℝ³.

• Wir können versuchen, alle Tripel von [a, b, c] so zu nehmen, dass a, b, c ∈ <−1, 1>. Wir bezeichnen diese Menge mit W₂ und die Elemente sind z.B. Tripel von $\left[\frac12, -\frac27, \frac89\right]$ oder $\left[0, \frac{\pi}{4}, 1\right]$. Sind die Elemente von W₂ geschlossen für Addition? Sicherlich nicht, denn $\left[1, 1, 1\right]+\left[\frac12, \frac13, \frac14\right]$ ist gleich dem Tripel $\left[\frac32, \frac43, \frac54\right]$, das nicht zu W₂ gehört. Die Menge W₂ bildet also keinen Unterraum des Raums V, und die Menge W₂ bildet überhaupt keinen Raum.

• Nehmen wir nun alle Tripel der Form [a, 0, b], wobei a, b∈ ℝ. Dies sind alle Tripel, die die zweite Komponente Null haben. Bezeichnen wir diese Menge mit W₃. Ist diese Menge für die Addition geschlossen? Ja, das ist sie, denn

$$\left[a, 0, b\right]+\left[c, 0, d\right]=\left[a+c, 0, b+d\right]$$

Das Ergebnis ist das Tripel [a + c, 0, b + d], bei dem die zweite Komponente Null ist und die beiden anderen reelle Zahlen enthalten. Sicherlich ist dieses Tripel in W₃ enthalten. Ist W₃ geschlossen für die Multiplikation? Ja, das ist es, denn

$$k\cdot\left[a, 0, b\right]=\left[k\cdot a, 0, k\cdot b\right]$$

Wieder erhalten wir das Tripel [k · a, 0, k · b], bei dem die zweite Komponente immer Null ist und die anderen Komponenten reelle Zahlen sind. Ein solches Tripel ist ein Element von W₃. Die Menge W₃ bildet also einen Unterraum des Raums V. Wären die Tripel von der Form [a, b, 0] oder [a, 0, 0], würden sie ebenfalls einen Vektorunterraum bilden.

Unterraum von Polynomen

Im vorigen Artikel haben wir einen Vektorraum gezeigt , der aus Polynomen besteht. Zur Wiederholung: Ein Polynom ist ein Ausdruck der Form

$$p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_n x^n.$$

Wir nehmen an, dass a_n≠0. Der Grad eines solchen Polynoms ist dann einfach die Zahl n. Die reellen Zahlen a₀, …, a_n werden die Koeffizienten des Polynoms genannt. Ein Beispiel für ein Polynom ist der Ausdruck 4 + 3x − 7x². Versuchen wir, einen Vektorunterraum zu finden. Nehmen wir also einen Vektorraum P(x) aller Polynome.

1. Versuchen Sie zunächst die Menge aller Polynome vom Grad n, wobei n≥0 diese Menge mit W₁ bezeichnet. Wir haben bereits in früheren Artikeln festgestellt, dass dies überhaupt kein Vektorraum ist, also kaum ein Vektorunterraum des Raumes P(x). Wiederholen wir das, so erhalten wir, wenn wir z.B. das Polynom in W₁ mit Null multiplizieren, das Polynom p(x) = 0, das per Definition den Grad −1 hat. Dieses Element ist also mit Sicherheit in keinem W₁ enthalten.

2. Versuchen wir, alle Polynome vom Grad n und kleiner als W₂ zu nehmen. Für n = 2 werden also alle Polynome vom Grad 2, 1, 0, −1 in W₂ sein. Ist diese Menge geschlossen für Addition? Ja, denn die Summe zweier Polynome vom Grad n ist nie größer als n, sie kann nur kleiner sein. Ebenso ist diese Menge für die Multiplikation geschlossen, denn jedes k-fache Polynom vom Grad p(x) kann entweder ein Polynom gleichen Grades oder ein Nullpolynom ergeben. Beide Möglichkeiten werden durch die Menge W₂ abgedeckt, so dass W₂ einen Unterraum des Raumes P(X) bildet.

Grundlegende Eigenschaften von Unterräumen

Betrachten wir den Vektorraum V und seine beiden Unterräume W₁ und W₂. Dann

1. Die Schnittmenge W₁ ∩ W₂ ist der Vektorunterraum von V.

   Haben wir einen Vektorraum ℝ³ und die Unterräume W₁ und W₂ so, dass W₁ aus Tripeln der Form [a, b, 0] und W₂ aus Tripeln der Form [a, 0, b] besteht, wobei a, b ∈ ℝ. Somit ist die Schnittmenge W₁ ∩ W₂ die Menge, die Tripel der Form [a, 0, 0] enthält - eine solche Menge ist offensichtlich ein Unterraum des Raums ℝ³.

   Aber das ist natürlich kein Beweis. Er würde wie folgt aussehen: Man nehme einen beliebigen Vektorraum V und seine beiden Unterräume W₁ und W₂. Wir wollen nun beweisen, dass für alle x, y ∈ W₁∩ W₂ gilt, dass x+y∈ W₁∩ W₂.

   Da die Vektoren x und y in der Schnittmenge von W₁∩ W₂ enthalten sind, muss sicher gelten, dass x, y∈ W₁ und auch x, y ∈ W₂ (dies ist wahr durch die Definition der Schnittmenge von Mengen). Da W₁ und W₂ ebenfalls Vektorräume sind, muss auch gelten, dass x+y∈ W₁ und gleichzeitig x+y∈ W₂ enthalten sind (dies gilt durch die Definition von Vektorräumen). Aber jetzt haben wir, dass x+y∈ W₁ und gleichzeitig x+y∈ W₂, was impliziert, dass x+y∈ W₁∩ W₂ (wiederum durch die Definition der Schnittmenge von Mengen - wenn ein Element in der Menge W₁ und auch in der Menge W₂ liegt, muss es in ihrer Schnittmenge liegen).

   Als nächstes müssen wir den Abschluss der Multiplikation überprüfen. Wir müssen beweisen, dass für alle k∈ ℝ und x∈ W₁∩ W₂ k · x∈ W₁∩ W₂ gilt. Die Vorgehensweise ist dieselbe. Da x∈ W₁∩ W₂, so sind x∈ W₁ und x∈ W₂. Da W₁ und W₂ Räume sind, so sind k · x∈ W₁ und k · x ∈ W₂ und somit k · x ∈ W₁ ∩ W₂. $\Box$

2. Die Vereinigung von W₁ ∪ W₂ ist nicht unbedingt ein Unterraum von V.

   Um die zweite Eigenschaft zu beweisen, müssen wir nur ein geeignetes Gegenbeispiel finden. Wir begnügen uns mit den vorherigen Räumen W₁ und W₂, die Tripel der Form [a, b, 0] bzw. [a, 0, b] haben. Wenn wir ihre Vereinigung durchführen, erhalten wir alle Tripel, die eine Null an zweiter oder dritter Stelle haben müssen. Die Vektoren [1,0,1] und [1, 1, 0] sind also sicher in der Vereinigung W₁ ∪ W₂. Aber dabei ist ihre Summe gleich [2, 1, 1], was ein Vektor ist, der nirgendwo eine Null hat. Dieser Vektor ist weder in W₁ noch in W₂ enthalten, kann also nicht in W₁ ∪ W₂ sein. Wir haben also zwei Vektoren gefunden, deren Summe nicht in der gleichen Menge liegt, also kann es sich nicht um einen Vektorraum handeln.

Referenzen und Quellen

• O. Krupková: Lineare Algebra 1 [PDF]
• Petr Olšák: Lineare Algebra