Beispiele für Vektorräume
Kapitoly: Vektorräume, Beispiele für Vektorräume, Vektor-Unterraum, Lineare Kombinationen von Vektoren, Linearer Wrapper, Basen des Vektorraums, Dimensionen des Vektorraums, Übergangsmatrix
Im vorigen Abschnitt haben wir Vektorräume oder lineare Räume definiert und ein Beispiel für einen klassischen Vektorraum ℝ2 gezeigt. In diesem Artikel werden wir uns andere Beispiele ansehen.
Vektorraum Rn
Wir sind bereits mit dem Vektorraum ℝ2 vertraut, der aus Vektoren der Form [a, b] besteht, wobei a, b reelle Zahlen sind. Wir werden zeigen, dass in der Tat jede Menge von geordneten n-tic ℝn, für n > 0, einen Vektorraum bildet.
Für n = 2 erhalten wir die Menge der Paare von [a, b]. Wenn wir n auf n = 3 erhöhen, erhalten wir die Menge der Tripel. Damit kommen wir aus der Ebene in den Raum. ℝ2 stellt also die klassische Ebene dar, ℝ3 den klassischen dreidimensionalen Raum.
Die Definitionen der Additions- und Multiplikationsoperationen sind die gleichen wie im Fall von n = 2, nur müssen wir immer alle Teile der Vektoren addieren/multiplizieren:
$$\begin{eqnarray} \left[a_1, a_2, …, a_n\right] + \left[b_1, b_2, …, b_n\right] &=& \left[a_1+b_1, a_2+b_2, …, a_n+b_n\right]\\ k\cdot\left[a_1, a_2, …, a_n\right] &=& \left[k\cdot a_1, k\cdot a_2, …, k\cdot a_n\right] \end{eqnarray}$$
Wir sollten nun einen Beweis führen, dass der Vektorraum ℝ3, oder allgemeiner ℝn, alle sieben Punkte aus der Definition von Vektorräumen erfüllt. Die Beweise wären jedoch größtenteils die gleichen, wir würden nur mit einem Vektor mit drei Komponenten statt mit einem Vektor mit zwei Komponenten arbeiten. Zum Beispiel würden wir den ersten Punkt über die Kommutativität der Vektoraddition für n = 3 wie folgt beweisen:
Wir müssen beweisen: x + y = y + x, wobei x, y ∈ ℝ3. Wir würden die Addition von zwei Vektoren aufschlüsseln:
$$\left[a, b, c\right] + \left[d, e, f\right] = \left[a+d, b+e, c+f\right]$$
Wenn wir die Vektoren auf der linken Seite vertauschen, erhalten wir:
$$\left[d, e, f\right] + \left[a, b ,c\right] = \left[d+a, e+b, f+c\right]$$
Aber die Eigenschaft der Addition zweier reeller Zahlen impliziert, dass die resultierenden Vektoren gleich sind, d. h. [a + d, b + e, c + f] = [d + a, e + b, f + c].
Wenn Sie dies mit dem Beweis für n = 2 im vorherigen Artikel vergleichen, werden Sie sehen, dass der Beweis praktisch derselbe ist. Die anderen sechs Punkte können also auf ähnliche Weise bewiesen werden.
Interessanterweise ist der Vektorraum auch ℝ1 = ℝ, selbst eine Menge reeller Zahlen. Das Addieren und Multiplizieren von Vektoren wird dann zu einer gewöhnlichen Addition und Multiplikation von reellen Zahlen, und die Operationen des Addierens und Multiplizierens von reellen Zahlen erfüllen sicherlich alle 7 Punkte.
Wir werden mit Sicherheit wieder auf den ℝn Raum stoßen, er ist ein ziemlich gängiger Vektorraum.
Matrix-Vektorraum m× n
Die Menge aller Matrizen, die m Zeilen und n Spalten haben und nur reelle Zahlen enthalten, bilden zusammen mit den Operationen der Matrixaddition und der skalaren Matrixmultiplikation einen Vektorraum. Wir werden diesen Raum kurz mit ℝm× n bezeichnen.
Für m = 2, n = 3 würden wir Matrizen erhalten, die zwei Zeilen und drei Spalten haben. Ein Beispiel für eine bestimmte Matrix ist
$$\begin{pmatrix} 4&5&1\\ 9&1&3 \end{pmatrix}$$
Wir definieren die Additionsoperation wie folgt:
$$ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&…&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&…&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ b_{m1}&b_{m2}&…&b_{mn}\\ \end{pmatrix} =$$
$$ = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&…&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&…&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&…&a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix} $$
Klassische Matrixaddition. Die skalare Multiplikation definieren wir ähnlich:
$$ k \cdot \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} k\cdot a_{11}&k\cdot a_{12}&...&k\cdot a_{1n}\k\cdot a_{21}&k\cdot a_{22}&...&k\cdot a_{2n}\\vdots&\vdots&\vdots\k\cdot a_{m1}&k\cdot a_{m2}&...&k\cdot a_{mn}\\end{pmatrix} $$So definiert, bilden die Operationen auf der Menge aller Matrizen ℝm× n einen Vektorraum. Wichtig ist, dass wir immer die Menge aller Matrizen desselben Typs nehmen müssen. Käme eine Matrix eines anderen Typs in die Quere, z. B. wenn wir eine Matrix vom Typ 3 × 1 zu ℝ2× 2 addieren würden, hätten wir ein Problem, denn wir können nicht einmal eine Matrix vom Typ 3 × 1 zu einer Matrix vom Typ 2 × 2 addieren.
Nun sollten wir noch einmal überprüfen, ob der so definierte Vektorraum alle 7 Bedingungen erfüllt, die wir an den Vektorraum stellen. Da wir im Falle von Matrizen unterschreiben würden, nun, ich würde insbesondere unterschreiben, nur kurz:
Das Addieren zweier Matrizen ergibt eine neue Matrix des gleichen Typs. Die Multiplikation mit einem Skalar ergibt eine neue Matrix desselben Typs, unsere Operationen stimmen also vom Typ her überein.
- x + y = y + xDie Addition von Matrizen ist offensichtlich kommutativ, denn das Element an den Koordinaten ij in der resultierenden Matrix hat die Form $x_{ij}+y_{ij} = y_{ij}+x_{ij}$.
- (x+y)+z = x+(y+z): Matrixaddition ist auch assoziativ, denn $(x_{ij}+y_{ij})+z_{ij}=x_{ij}+(y_{ij}+z_{ij})$
- a · (b · x) = (a · b) · x: wiederum die $a \cdot (b\cdot x_{ij}) = (a\cdot b)\cdot x_{ij}$
- a · (x + y) = a · x + a · y: wieder für Elemente an den Koordinaten ij erhalten wir Gleichheit: $a \cdot (x_{ij} + y_{ij}) = a\cdot x_{ij} + a\cdot y_{ij}$
- (a + b) · x = a · x+b · x: wieder drücken wir nur das Element an den Koordinaten ij aus: $(a+b)\cdot x_{ij} = a\cdot x_{ij}+b\cdot x_{ij}$
- 1 · x = x: weil $1\cdot x_{ij} = x_{ij}$, gilt auch dieser Punkt.
- Vorhandensein eines Nullelements. Dies ist eine Nullmatrix, denn für alle Matrizen x unseres Vektorraums gilt 0 · xij = 0
Vektorraum der Polynome
Ein Polynom, oder anders gesagt ein Polynom, wird mit p(x) bezeichnet und ist ein Ausdruck der Form
$$ p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n. $$
Wir nehmen an, dass an≠0. Der Grad eines solchen Polynoms ist dann einfach die Zahl n. Die reellen Zahlen a0, …, an werden die Koeffizienten des Polynoms genannt. Ein Beispiel für ein Polynom ist der Ausdruck 4 + 3x − 7x2, wobei a0 = 4, a1 = 3, a2 = −7 und der Grad des Polynoms 2 ist. Einige Koeffizienten können Null sein, so dass der Ausdruck x2+π x7 ein Polynom vom Grad 7 ist und a2 = 1, a7 = π und die anderen Koeffizienten Null sind.
Wir können Polynome einfach addieren - kurz gesagt, wir addieren ihre Koeffizienten. Beispiel:
$$ (2+3x-x^2) + (4-5x+101x^2+5x^3) = 6-2x+100x^2+5x^3 $$
Im Allgemeinen können wir die Addition von Polynomen wie folgt definieren:
$$ (a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n) + (b_0 + b_1x + b_2x^2 + … + b_m x^m) = $$
$$ = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + (a_2+b_2)x^2 + … + (a_q+b_q) x^q,$$
wobei q das Maximum von m und n ist. k-das Polynom p(x) erhält man dann durch Multiplikation von k mit allen Koeffizienten:
$$k\cdot (a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n) =$$ $$= (k\cdot a_0) + (k\cdot a_1)x + (k\cdot a_2)x^2 + … + (k\cdot a_n) x^n$$
Zum Beispiel:
$$ 7\cdot (3+6x-5x^2) = 21+42x-35x^2 $$
Die Menge aller Polynome, bezeichnen wir sie mit P(X), mit den so definierten Additions- und Multiplikationsoperationen, bildet einen Vektorraum. Verifizierung:
Die Summe von zwei Polynomen ergibt wieder ein Polynom, die Multiplikation mit einem Skalar erzeugt ebenfalls ein neues Polynom. Die von uns definierten Operationen stimmen vom Typ her überein.
Die anderen sieben Eigenschaften, die ein Vektorraum erfüllen muss, können Sie bereits in Ihrer Hausaufgabe überprüfen. Der Beweis ist praktisch derselbe wie für die vorherigen Matrizen, nur dass du statt xij xi schreibst. Das Nullpolynom ist dann das Polynom p(x) = 0.
Während wir für Matrizen verlangt haben, dass nur Matrizen des gleichen Typs im Vektorraum liegen, verlangen wir dies für Polynome nicht. Wir können es nicht einmal verlangen. Wenn wir die Menge aller Polynome zweiten Grades nehmen würden, würde diese Menge keinen Vektorraum bilden. Und warum? Wir können dies anhand eines Gegenbeispiels veranschaulichen. Addieren wir diese beiden Polynome:
$$ \left(1+2x+3x^2\right) + \left(1+2x-3x^2\right) = 2+4x $$
Indem wir 3x2 in das erste Polynom und −3x2 in das zweite setzen, erhalten wir nach der Addition 0x2, was jedoch den Grad des Polynoms verringert. Das Polynom 2 + 4x ist ein Polynom vom Grad 1, nicht 2.