Lineare Kombinationen von Vektoren

Linearkombination ist der Prozess der Konstruktion eines neuen Vektors aus einer Menge von Vektoren, wobei nur Addition und Multiplikation verwendet werden.

Was ist Linearkombination?

Betrachten wir einen Vektorraum V. Wir wissen, dass der Raum unter der Operation der Vektoraddition geschlossen ist, so dass für zwei Vektoren x, y ∈ V immer gilt: x+y∈ V. Wenn wir zwei Vektoren addieren, erhalten wir wieder einen Vektor aus demselben Raum. Das Gleiche gilt für die skalare Multiplikation. Wenn wir etwas k∈ ℝ haben, dann auch k · x ∈ V.

Wir können die beiden Operationen kombinieren - wir nehmen k, l ∈ ℝ und der Ausdruck k · x + l · y gibt uns wieder einen neuen Vektor, nennen wir ihn v, und dieser Vektor v wird wieder im Raum V liegen. Warum? k · x ∈ V l · y∈ V Wir addieren die beiden Vektoren des Raumes V, also müssen wir per Definition einen Vektor aus dem einfachen V erhalten.

Wir können also sagen, dass der Vektor v eine Linearkombination der Vektoren x und y ist. Allgemein gilt: Wenn wir die Vektoren x₁, x₂, …, x_n und die reellen Zahlen k₁, k₂, …, k_n haben, die wir Koeffizienten nennen, ist die Linearkombination dieser Vektoren der Vektor v, den wir erhalten

$$\mathbf{v}=k_1\cdot \mathbf{x}_1+k_2\cdot \mathbf{x}_2 + \ldots + k_n\cdot \mathbf{x}_n.$$

Beispiel: Betrachten wir den Raum ℝ² und daraus zwei Vektoren: [2,3] und [0,8]. Wählen Sie nun die Koeffizienten: k₁ = 2, k₂ = 5 Durch lineare Kombination dieser Vektoren mit den Koeffizienten von k₁, k₂ erhalten wir den Vektor

$$2\cdot\left[2{,}3\right]+5\cdot\left[0{,}8\right]=\left[4{,}6\right]+\left[0{,}40\right]=\left[4{,}46\right]$$

Wir sehen, dass wir den Vektor [4,46] erhalten haben, der Teil des Raums ℝ² ist. Wenn wir andere Koeffizienten gewählt hätten, hätten wir einen anderen Vektor erhalten. Für k₁ = 0, k₂ = −1 haben wir:

$$0\cdot\left[2{,}3\right]-1\cdot\left[0{,}8\right]=\left[0{,}0\right]+\left[0,-8\right]=\left[0,-8\right]$$

Linear abhängige Vektoren

Linearkombinationen sind mit linear abhängigen oder linear unabhängigen Vektoren verwandt. Zur Veranschaulichung ein Beispiel: Betrachten wir den Vektorraum ℝ² und die Menge der Vektoren Q aus diesem Raum:

$$Q=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right], \left[3, 5\right], \left[10, 18\right]\right\}$$

Uns interessiert nun die Frage, ob wir jeden dieser vier Vektoren als Linearkombination der anderen drei Vektoren ausdrücken können. Betrachtet man die Vektoren auf diese Weise, so stellt man fest, dass der Vektor [3, 5] gleich der einfachen Summe der ersten beiden Vektoren ist.

$$\left[1{,}1\right]+\left[2{,}4\right]=\left[3{,}5\right]$$

Der Vektor [3,5] ist also eine Linearkombination der Vektoren [1,1] und [2,4]. Damit es Spaß macht, entfernen wir diesen Vektor aus der Menge Q. Wir erhalten eine neue Menge Q₁ und sie hat die Form:

$$Q_1=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right], \left[10, 18\right]\right\}$$

Können wir dort irgendeinen anderen Vektor finden, der eine Linearkombination der anderen ist? Ja, der Vektor [10,18] ist eine Linearkombination der ersten beiden Vektoren für k₁ = 2, k₂ = 4:

$$2\cdot\left[1{,}1\right]+4\cdot\left[2{,}4\right]=\left[2{,}2\right]+\left[8{,}16\right]=\left[10{,}18\right]$$

Wenn wir diesen Vektor wieder entfernen, erhalten wir:

$$Q_2=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right]\right\}$$

Wir fragen noch einmal - können wir einen der Vektoren als Kombination der anderen erhalten? Das geht nicht, denn kein Vielfaches des Vektors [1,1] ist gleich dem Vektor [2,4].

Wir haben eine Menge von Vektoren erhalten, bei der keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren ausgedrückt werden kann. Wir nennen eine solche Menge eine linear unabhängige Menge von Vektoren. Lässt sich ein Vektor durch eine Kombination der anderen Vektoren ausdrücken, spricht man von einem linear abhängigen Vektor. Lässt er sich nicht ausdrücken, spricht man von einem linear unabhängigen Vektor.

Nullvektor

Der Nullvektor 0 spielt bei der linearen Abhängigkeit eine wichtige Rolle. Kehren wir zur Menge der Vektoren Q₁ und dem Raum ℝ² zurück. Die Menge Q₁ sieht wie folgt aus:

$$Q_1=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right], \left[10, 18\right]\right\}$$

und wir wissen bereits, dass der Vektor [10, 18] abhängig ist, weil 2 · [1,1]+4 · [2,4] = [10, 18]. Was würde also passieren, wenn wir den Vektor [10, 18] vom Ausdruck 2 · [1,1]+4 · [2,4] subtrahieren? Oder wenn wir sein −1 Vielfaches addieren? Es würde wie folgt aussehen:

$$2\cdot\left[1{,}1\right]+4\cdot\left[2{,}4\right]-\left[10, 18\right]$$

Dieser Ausdruck wäre mit Sicherheit gleich dem Nullvektor:

$$2\cdot\left[1{,}1\right]+4\cdot\left[2{,}4\right]-\left[10, 18\right]=\left[0{,}0\right]$$

Daraus können wir eine interessante Eigenschaft ableiten. Wenn die Menge der Vektoren x₁, x₂, …, x_n linear abhängig ist, dann gibt es reelle Koeffizienten a₁, a₂, …, a_n, so dass

$$a_1\cdot \mathbf{x}_1+a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n = \mathbf{0}$$

Mindestens ein Koeffizient von a_i muss ungleich Null sein. Wenn wir alle Koeffizienten durch Nullen ersetzen würden, bekämen wir immer eine gültige Gleichung und damit, dass jede Menge von Vektoren linear abhängig ist, was sicherlich Unsinn ist. Die Argumentation hinter der vorherigen Gleichung ist einfach. Wenn zum Beispiel der Vektor x₁ linear abhängig ist, dann bedeutet dies, dass

$$a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n=\mathbf{x}_1$$

Fügen Sie zu dieser Gleichung einfach −x₁ hinzu und Sie erhalten

$$-1\cdot\mathbf{x}_1 + a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n=\mathbf{0}$$

Wie man erkennt, ob Vektoren abhängig sind

Wenn wir die Vektoren x₁, x₂, …, x_n haben und herausfinden wollen, ob sie linear (un)abhängig sind, lösen wir einfach die obige Gleichung

$$a_1\cdot \mathbf{x}_1+a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n = \mathbf{0}$$

d.h. wir finden die Koeffizienten a_i. Wenn wir uns im Raum ℝ³ befinden, könnten wir die folgenden Vektoren haben: [1,2,3], [2,1,7], [1,−4,5]. Da wir herausfinden wollen, ob sie abhängig sind, lösen wir diese Gleichung:

$$a_1\cdot\left[1{,}2,3\right] + a_2\cdot\left[2{,}1,7\right] + a_3\cdot\left[1,-4{,}5\right]=\left[0{,}0,0\right]$$

Wir brechen diese Gleichung einfach durch die Definition der Vektoraddition und -multiplikation auf. Es ist wahr, dass a₁ · [1,2,3] = [a₁,2a₁,3a₁] usw. Wir zerlegen sie wie folgt:

$$\left[a_1{,}2a_1{,}3a_1\right]+\left[2a_2, a_2{,}7a_2\right]+\left[a_3, -4a_3, 5a_3\right]=\left[0{,}0,0\right]$$

Jetzt zerlegen wir die Addition. Wir addieren immer an denselben Koordinaten, also addieren wir die erste Komponente des ersten Vektors a₁ mit der ersten Komponente des zweiten Vektors 2a₂ mit der ersten Komponente des dritten Vektors a₃, und all das muss gleich der ersten Komponente des Nullvektors sein, also Null. Und so weiter für die zweite Komponente. Wir erhalten ein System von linearen Gleichungen:

$$ \begin{array}{} a_1&+&2a_2&+&a_3&=&0\\ 2a_1&+&a_2&+&-4a_3&=&0\\ 3a_1&+&7a_2&+&5a_3&=&0\\ \end{array} $$

Wir können dieses System in eine klassische Matrix schreiben:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 2&1&-4&0\\ 3&7&5&0 \end{pmatrix} $$

Beachten Sie, dass die Spalten dieser Matrix die ursprünglichen Vektoren sind. Die erste Spalte der Matrix enthält den ursprünglichen Vektor [1,2,3], die dritte Spalte enthält den Vektor [1,−4,5], und so weiter. Man muss also nicht immer all diese komplizierten Anpassungen vornehmen, wenn man rechnet. Man erstellt diese Matrix, indem man die Vektoren, von denen man herausfinden will, ob sie abhängig sind, in die Spalten stapelt und dann eine Nullspalte hinzufügt.

Wir können das System mit der Gaußschen Eliminationsmethode lösen. Ändern wir die Matrix in eine schrittweise Form. Zuerst addieren wir −2 zur zweiten Zeile mal der ersten Zeile und −3 zur dritten Zeile mal der ersten Zeile:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 2&1&-4&0\\ 3&7&5&0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&-3&-6&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} $$

Jetzt können wir zur zweiten Zeile 3 das Vielfache der dritten Zeile addieren:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&-3&-6&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} $$

Wir brauchen gar nicht weiter zu rechnen, wir haben es geschafft, eine Zeile mit Null zu belegen, was bedeutet, dass die Vektoren linear abhängig sind. Aber wir können das System berechnen. Wir wählen den Parameter a₃ = t. Dann ergibt sich aus der Gleichung

$$a_2+2a_3=0$$

die die letzte Zeile der Matrix ist, erhalten wir die Gleichung durch Einsetzen von a₃ = t:

$$\begin{eqnarray} a_2+2t&=&0\\ a_2&=&-2t \end{eqnarray}$$

Diese Werte setzen wir nun in die erste Gleichung ein, d.h. in die erste Zeile der Matrix:

$$\begin{eqnarray} a_1+2a_2+a_3&=&0\\ a_1-4t+t&=&0\\ a_1&=&3t \end{eqnarray}$$

So erhalten wir a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Wenn wir z. B. t = 3 nach t einsetzen, erhalten wir eine bestimmte Lösung a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Wir können diese Koeffizienten in die ursprüngliche Gleichung einsetzen

$$a_1\cdot\left[1{,}2,3\right] + a_2\cdot\left[2{,}1,7\right] + a_3\cdot\left[1,-4{,}5\right]=\left[0{,}0,0\right]$$

und wir erhalten:

$$9\cdot\left[1{,}2,3\right] + (-6)\cdot\left[2{,}1,7\right] + 3\cdot\left[1,-4{,}5\right]=\left[0{,}0,0\right]$$

Passen Sie die linke Seite an:

$$\begin{eqnarray} 9\cdot\left[1{,}2,3\right] + (-6)\cdot\left[2{,}1,7\right] + 3\cdot\left[1,-4{,}5\right]&=&\left[0{,}0,0\right]\\ \left[9{,}18,27\right] + \left[-12,-6,-42\right] + \left[3,-12{,}15\right]&=&\left[0{,}0,0\right]\\ \left[9-12+3{,}18-6-12{,}27-42+15\right] &=& \left[0{,}0,0\right]\\ \left[0{,}0,0\right] &=& \left[0{,}0,0\right]\\ \end{eqnarray}$$

Wir sehen, dass wir, wenn wir z. B. a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3 als Koeffizienten wählen, einen Nullvektor aus den Vektoren [1,2,3], [2,1,7], [1,−4,5] erhalten. Hätte das System nur eine Lösung, nämlich Null, dann wären die Vektoren linear unabhängig.

Referenzen und Quellen

• O. Krupková: Lineare Algebra 1 [PDF]
• Petr Olšák: Lineare Algebra