✖

Linearer Wrapper

Kapitoly: Vektorräume, Beispiele für Vektorräume, Vektor-Unterraum, Lineare Kombinationen von Vektoren, Linearer Wrapper, Basen des Vektorraums, Dimensionen des Vektorraums, Übergangsmatrix

Wenn wir eine Menge von Vektoren haben und alle ihre Linearkombinationen zählen, dann erhalten wir die lineare Hülle dieser Menge von Vektoren.

Definition der linearen Einhüllenden

Betrachten wir die Vektoren x1, …, xn. Wir wissen bereits, dass wir mit Hilfe einer Linearkombination einen neuen Vektor aus diesen Vektoren zusammensetzen können. Wir wählen die reellen Zahlen a1, …, an und erhalten den neuen Vektor y durch Multiplikation und Addition

$$ \mathbf{y}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n $$

Wenn sich mindestens einer der Vektoren xi vom Nullvektor unterscheidet, können wir auf diese Weise unendlich viele "andere" Vektoren aus der Menge der Vektoren x1, …, xn erzeugen - wir müssen nur irgendwie verschiedene Koeffizienten a1, …, an entsprechend wählen.

Wenn wir immer wieder Vektoren erzeugen, erhalten wir schließlich alle Vektoren, die durch lineare Kombination der Vektoren x1, …, xn erhalten werden können. Eine solche Menge nennen wir dann die lineare Einhüllende der Vektoren x1, …, xn. Wir bezeichnen die lineare Einhüllende der Menge der Vektoren X durch spitze Klammern: <X> Formal könnte man die lineare Einhüllende wie folgt schreiben

$$ \left<\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right> = \left\{a_1 \cdot \mathbf{x}_1+\ldots+a_n \cdot \mathbf{x}_n | a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\right\}, $$

wenn wir eine endliche Anzahl von Vektoren haben. Wenn wir eine unendliche Menge von Vektoren X haben, können wir alle endlichen Teilmengen von Yi ⊆ X nehmen, d.h. |Yi| = r für einige r ∈ ℕ, und die lineare Umhüllung der Menge X wäre dann die Vereinigung aller Mengen <Yi>.

Beispiel

Bleiben wir bei dem beliebten Vektorraum ℝ3. Wir wählen eine Ein-Punkt-Menge X1 = {[1,2,1]} und fragen: Was ist die lineare Hülle dieser Menge? Sind alle Linearkombinationen des Vektors [1,2,1]. Die resultierende Hülle hat die Form

$$ \left<X_1\right> = \left\{\left[a,2a,a\right]|a\in \mathbb{R}\right\} $$

Sie sind also Vektoren der Form [3,6,3],[8,16,8],[−1,−2,−1] usw. Wir können versuchen zu überprüfen, ob die Summe zweier Vektoren einen neuen Vektor der gleichen Form ergibt:

$$\begin{eqnarray} \left[3{,}6,3\right]+\left[3{,}6,3\right]&=&\left[6{,}12,6\right]\\ \left[3{,}6,3\right]+\left[-1,-2,-1\right]&=&\left[2{,}4,2\right]\\ \left[8{,}16,8\right]+\left[2{,}4,2\right]&=&\left[10{,}20,10\right] \end{eqnarray}$$

Ein zweites Beispiel sind die klassischen Vektoren X2 = {[1,0,0], [0,1,0]}. Zählt man alle Linearkombinationen, so stellt man fest, dass sie die Form [a, b, 0] haben, wobei a, b, ∈ ℝ. Dies lässt sich leicht zeigen, denn

$$\left[a,b,0\right] = a \cdot \left[1{,}0,0\right] + b \cdot \left[0{,}1,0\right].$$

Die Vektoren dieser Hülle sind also z. B. [0,8,0], [14,15,0], usw. Formal würden wir es wie folgt schreiben:

$$ \left<X_2\right> = \left\{\left[a,b,0\right] | a,b \in \mathbb{R}\right\} $$

Ein linearer Wrapper ist der kleinste Unterraum

Man betrachte einen Vektorraum V und eine Menge von Vektoren X ⊆ V. Der lineare Wrapper <X> ist dann ein Vektorunterraum des Raums V, d.h. der Wrapper <X> ist ein Vektorraum.

Wir müssen nur zeigen, dass die Hülle <X> in Bezug auf Addition und Multiplikation geschlossen ist. Das ist sie sicherlich, da jeder Vektor x ∈ <X> als Linearkombination von Vektoren aus X entstanden ist.

Die lineare Hülle der Menge X ist auch der kleinste Unterraum, der alle Vektoren aus der Menge X enthält. Warum? Der kleinste Vektorunterraum, der die Vektoren von X enthält, muss auch alle Linearkombinationen der Vektoren von X enthalten - sonst wäre er kein Vektorraum. Wir können argumentativ annehmen, dass es einen kleineren Vektorunterraum gibt, nennen wir ihn Y, der alle Vektoren aus X, also X ⊆ Y, enthält. Da Y per Annahme kleiner ist als die Hüllkurve von <X>, muss es einen Vektor x geben, der in <X>, aber nicht in Y, also $\mathbf{x}\in\left<X\right> \wedge \mathbf{x}\notin Y$, liegt.

Dabei muss der Vektor x aber als Linearkombination von Vektoren aus X konstruierbar sein, es muss also Vektoren x1, …, xn∈ X und Koeffizienten a1, …, an geben, so dass

$$ \mathbf{x}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n $$

Wenn aber Y diesen Vektor x nicht enthält und dennoch die Vektoren x1, …, xn enthält, dann kann Y kein Vektorraum und somit kein Unterraum sein. Die Hülle von <X> ist also der kleinste Unterraum, der alle Vektoren von X enthält.

Grundlegende Eigenschaften eines linearen Wrappers

  • Es ist immer wahr, dass W ⊆ <W>. Dies sollte offensichtlich sein. Die lineare Hülle der Menge W wird immer gleich oder größer sein als die Menge W. Da die lineare Hülle von <W> alle Linearkombinationen von Vektoren aus W enthält, muss <W> auch alle Vektoren aus W enthalten, denn wenn wir einen Vektor x ∈ W nehmen, erhalten wir die Kombination a · x = x für a = 1.

    Beispiel: Die lineare Abdeckung der Menge W = {[1,0,0]} ist die Menge

    $$\begin{eqnarray} \left<W\right> &=& \left\{\left[a,0{,}0\right],|,a\in \mathbb{R}\right\}\\. \end{eqnarray}$$

    Offensichtlich ist {[1,0,0]} ⊆ {[a,0,0],|,a∈ ℝ}.

  • Es ist immer wahr, dass <W> = <<W>>. Sobald wir eine lineare Hülle berechnen, ist die lineare Hülle dieser Hülle die gleiche Hülle. <W> enthält alle Linearkombinationen von W. Würden wir alle Linearkombinationen von <W> erneut zählen, würden wir keine neuen erhalten.

  • Betrachten wir einen Vektorraum V und haben zwei Teilmengen dieses Raums (nicht notwendigerweise Unterräume) W1 und W2, d.h. W1, W2 ⊆ V. Wenn W1 ⊆ W2 gleichzeitig gilt, dann gilt auch <W1> ⊆ <W2>.

    Mit anderen Worten: Wenn wir zwei Mengen von Vektoren haben, von denen eine kleiner ist, dann hat die kleinere Menge von Vektoren eine kleinere oder gleiche lineare Umhüllung als die größere Menge.

    Beispiel: Nehmen wir W1 = {[1,0,0]} und W2 = {[1,0,0], [0, 1, 0]}. Wir sehen, dass W1 ⊆ W2 gilt. Wie lauten die linearen Einhüllenden?

    $$\begin{eqnarray} \left<W_1\right> &=& \left\{\left[a,0{,}0\right],|,a\in \mathbb{R}\right\}\\ \left<W_2\right> &=& \left\{\left[a,b,0\right],|,a,b\in \mathbb{R}\right\}\\ \end{eqnarray}$$

    Die Menge der Vektoren W2 "erzeugt eine größere Umhüllung" als die Menge W1, was den Erwartungen entspricht. Die Menge W2 enthält alle Vektoren aus der Menge W1, so dass alle linearen Vektorkombinationen aus W1 auch aus den Vektoren in W2 erzeugt werden.

    Ein weiteres Beispiel: W3 = {[1,2,0]} und W2 = {[1,2,0], [5,10,0]}. Auf den ersten Blick ist zu erkennen, dass die Vektoren in W2 voneinander abhängig sind. Daher werden beide Sätze denselben Wrapper erzeugen. Also, obwohl W1 ⊂ W2, so tut <W1> = <W2>.