Mathe einordnen

Der Rang einer Matrix ist eine Zahl, die die Anzahl der unabhängigen Zeilen oder Spalten der Matrix angibt.

Definition

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilen/Spalten in der Matrix. Eine Nullmatrix hat den Rang Null, jede andere Matrix hat mindestens den Rang Eins. Eine Matrix vom Typ m× n kann höchstens den Rang min(m, n) haben. Wenn die Matrix also weniger Zeilen als Spalten hat, ist der Rang der Matrix höchstens gleich der Anzahl der Zeilen. Gleiches gilt für die Spalten.

Der Rang einer Matrix wird gewöhnlich mit dem englischen Wort "rank" bezeichnet. Wir schreiben dann rank(A) = x.

Wie man den Rang berechnet

Wie kann man nun den Rang einer Matrix berechnen? Das ist ganz einfach. Man muss die Matrix so umordnen, dass deutlich wird, welche Zeilen linear unabhängig sind. Meistens geschieht dies, indem man die Matrix stufenförmig anordnet (alle Nullen unterhalb der Diagonalen), und dann kann man sehen, wo die Matrix steht. Shupity presto für ein Beispiel - wir haben diese Matrix:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&1&-1\\1&3&3\end{array}\right)$$

Und wir müssen ihren Rang herausfinden. Jetzt müssen wir noch eine Kleinigkeit beachten. Wenn wir zwei Zeilen haben, die voller von Null verschiedener Zahlen sind, können sie theoretisch linear abhängig sein. Das müssten wir dann berechnen. Aber wenn eine dieser Zeilen an irgendeiner Stelle eine Null hat und die andere Zeile an derselben Stelle keine Null hat, können wir mit Sicherheit sagen, dass sie nicht abhängig sind. Denn wir können keine Zahl finden, mit der wir diese Null (und damit die ganze Zeile) multiplizieren können, um dort die gleiche Zahl zu erhalten wie in der anderen Zeile. Daher werden wir immer versuchen, die Matrizen in eine schrittweise Form zu bringen, um diese Nullen dort zu erhalten.

Wir können den vorherigen Absatz wie folgt schreiben. Wenn α₁, α₂≠0, dann:

$$ \alpha_1\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix}0&2&3\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}0&a&b\end{pmatrix} $$

Deshalb versuchen wir, die Matrix in eine ähnliche Form zu bringen, damit wir die Abhängigkeiten leicht erkennen können. Sehen Sie sich das Beispiel an:

$$ \begin{pmatrix} 4&-5&1\\ 0&7&2\\ 0&0&3 \end{pmatrix} $$

Dies ist eine Matrix in Stufenform, keine Zeile ist linear abhängig. Sie können die ersten beiden Zeilen nicht verwenden, um die dritte auszudrücken, denn wenn Sie Alphakoeffizienten haben, die nicht Null sind, haben Sie immer eine Zahl, die nicht Null ist, an den ersten paar Stellen.

Die Vorgehensweise ist in der Regel wie folgt: Zuerst werden Nullen in der ersten Spalte (außer in der ersten Zeile) ermittelt. Dann modifizieren wir die Matrix weiter, um Nullen in der zweiten Spalte zu erhalten, dann in der dritten, usw. usw. usw., bis wir eine Treppe erhalten. Addieren Sie die Zeilen, die keine Nullen enthalten, und siehe da, wir haben eine Rangmatrix. Wir können diese Änderungen verwenden, ohne den Rang der Matrix zu verändern:

• Vertauschen Sie zwei beliebige Zeilen.
• Multiplizieren einer Zeile mit einem beliebigen Nicht-Null-Ausdruck.
• Addieren einer Zeile zur anderen.
• Alle oben genannten Änderungen können auch auf Spalten angewendet werden.

Beispiel

In unserer vorherigen Matrix werden wir die Anpassungen wie folgt vornehmen: Schauen wir uns an, in welcher Beziehung die Elemente a₁₁ und a₂₁ zueinander stehen. Wir sehen, dass sie gleich sind; um also bei a₂₁ eine Null zu erhalten, müssen wir −1 mal die erste Zeile addieren. Addieren Sie −1 mal die erste Zeile zur zweiten Zeile (oder subtrahieren Sie die erste Zeile von der zweiten):

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\1&3&3\end{array}\right)$$

Jetzt haben wir eine Null, wo wir sie haben wollten. Jetzt brauchen wir noch eine Null an der Position a₃₁. Dort steht wieder eine Eins, also subtrahieren wir einfach die erste Zeile:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\0&1&2\end{array}\right)$$

Jetzt haben wir Nullen in der ersten Spalte, also gehen wir mit Schwung in die zweite Spalte. Wir sehen, dass die Zahlen a₂₂ und a₃₂ vertauscht sind, also müssen wir nur die Zeilen addieren:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\0&0&0\end{array}\right)$$

Und schon haben wir eine Nullzeile. Die Bearbeitung ist bereits abgeschlossen, wir haben eine gestufte Form. Jetzt brauchen wir nur noch die Nicht-Null-Zeilen zu addieren und wir haben den Rang. Er ist gleich dem Rang A = 2. Diese Matrix hatte einen Rang von zwei.

Das zweite Beispiel

Nun wollen wir versuchen, den Rang einer etwas größeren Matrix zu berechnen:

$$\left(\begin{array}{cccc}7&2&5&1\\1&3&5&-7\\4&-5&1&0\\2&8&10&-9\end{array}\right)$$

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen, so dass wir es uns leisten können, die Zeilen in der Matrix nach Belieben umzuordnen. Hier wäre es zum Beispiel sinnvoll, die Zeile mit der Eins an den Anfang der Matrix zu setzen, damit wir sie besser berechnen können. Wir können also die erste Zeile mit der zweiten Zeile verschieben:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\7&2&5&1\\4&-5&1&0\\2&8&10&-9\end{array}\right)$$

Nun gehen wir wie im vorherigen Beispiel vor. Wir brauchen alle Nullen in der ersten Spalte (statt in der ersten Zeile, natürlich), also addieren wir −7 mal die erste Zeile zur zweiten Zeile, −4 mal die dritte Zeile und −2 mal die letzte Zeile. Die erste Zeile bleibt unverändert:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&-19&-30&50\\0&-17&-19&28\\0&2&0&5\end{array}\right)$$

Vertauschen Sie die Zeilen erneut, diesmal sollten wir die letzte Zeile statt der zweiten Zeile erhalten, wegen der zwei in der zweiten Position. Tausche die zweite und vierte Zeile:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&-17&-19&28\\0&-19&-30&50\end{array}\right)$$

Aber wir sehen, dass wir unter der Zwei die Zahlen −17 und −19 haben. Keine dieser Zahlen ist durch zwei teilbar, was irgendwie unangenehm, sogar peinlich ist. Also multiplizieren wir jetzt die dritte und vierte Zeile mit zwei:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&-34&-38&56\\0&-38&-60&100\end{array}\right)$$

Nun können wir mit den Anpassungen fortfahren und versuchen, die zweite Spalte auf Null zu setzen. Für die dritte Zeile lesen wir 17 mal die zweite Zeile und für die vierte Zeile 19 mal:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&0&-38&141\\0&0&-60&195\end{array}\right)$$

Okay, jetzt haben wir ein paar ziemlich - für die weitere Bearbeitung - unangenehme Zahlen, aber das kriegen wir schon irgendwie hin. Teilen Sie die dritte Zeile durch −38:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&-60&195 \end{pmatrix} $$

Jetzt multipliziere die dritte Zeile mit 60 und addiere zur vierten Zeile:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&0&195-\frac{60\cdot141}{38} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&0&-\frac{525}{19} \end{pmatrix} $$

Wir erhalten eine hässliche Zahl, die aber nicht Null ist. Die Matrix hat also Rang vier, sie enthält keine linear abhängigen Zeilen.

Beispiel mit Parameter

Welchen Rang hat die Matrix A in Abhängigkeit von dem Parameter q?

$$ A=\begin{pmatrix} 1&8&17\\ q&5&8\\ 4&1&3 \end{pmatrix} $$

Dies ist ein etwas komplizierteres Problem, da wir den Parameter q haben. Wir müssen herausfinden, bei welchen Werten von q die Matrix den maximalen Rang hat, wenn überhaupt, und bei welchen Werten sie einen niedrigeren Rang hat. Wir folgen dem klassischen Ansatz, mit der Ausnahme, dass wir manchmal die abstrakte q anstelle der konkreten Werte verwenden. Im ersten Schritt verschieben wir den Parameter q an eine schönere Stelle, nämlich nach rechts unten. Wir tauschen die zweite Zeile mit der dritten und dann die erste Spalte mit der letzten aus:

$$ \begin{pmatrix} 1&8&17\\ q&5&8\\ 4&1&3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&8&17\\ 4&1&3\\ q&5&8 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 17&8&1\\ 3&1&4\\ 8&5&q \end{pmatrix} $$

Jetzt haben wir den Parameter an einer günstigen Stelle, wo er nicht allzu sehr ins Gewicht fällt. In der ersten Spalte haben wir jedoch ein paar ziemlich unangenehme Zahlen, aber wir haben eine Eins in der Mitte: Wir verschieben sie nach links oben, d.h. wir vertauschen die erste und zweite Zeile sowie die erste und zweite Spalte:

$$ \begin{pmatrix} 17&8&1\\ 3&1&4\\ 8&5&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3&1&4\\ 17&8&1\\ 8&5&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 8&17&1\\ 5&8&q \end{pmatrix} $$

Jetzt haben wir eine schöne Matrix. Multiplizieren Sie die erste Zeile mit −8 und addieren Sie sie zur zweiten Zeile:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 8&17&1\\ 5&8&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 5&8&q \end{pmatrix} $$

Multipliziere die erste Zeile mit −5 und addiere zur dritten Zeile:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 5&8&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&-7&q-20 \end{pmatrix} $$

Okay, wir haben die erste Spalte so, wie wir sie brauchen. Jetzt addieren wir −1 mal die zweite Zeile zur dritten Zeile:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&-7&q-20 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&0&q+11 \end{pmatrix} $$

Und schon sind wir mit den Matrixanpassungen fertig. Wir sehen, dass die erste und zweite Spalte definitiv linear unabhängig sind. Aber die dritte Zeile kann linear abhängig sein. Eine Zeile ist linear abhängig, wenn sie ganz Null ist, das heißt, wenn wir den Parameter q so wählen, dass der Ausdruck q + 11 Null ist. Wenn q = −11, dann ist die Zeile natürlich Null und somit linear abhängig.

Fazit: Für q = −11 hat die Matrix den Rang zwei, andernfalls hat sie den Rang drei.