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Körper

Sie brauchen keine besonderen mathematischen Fähigkeiten oder Kenntnisse, um die folgenden Erklärungen zu verstehen. Sie müssen nur die Grundlagen der Schulmathematik verstehen und den Wunsch haben, etwas Neues zu lernen oder wieder zu lernen.

Eine Blase namens algebraischer Festkörper

Wenn der Name algebraischer Festkörper Sie erschreckt, müssen Sie keine Angst haben. Ein solcher Körper ist eigentlich eine sehr einfache Sache, wenn man ihn aus dem richtigen Blickwinkel betrachtet.

Einalgebraischer Festkörper ist eine beliebige Menge plus zwei binäre Operationen, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Das ist alles. Nicht mehr und nicht weniger. Wie Sie sehen können, nichts Gefährliches oder Beängstigendes. Und wenn wir das erst einmal wissen, können wir ohne Angst ein wenig näher herangehen.

Die vielen Elemente des Körpers

Wir nennen unsere willkürliche Menge T und nennen ihre Elemente die Elemente des Körpers. Glauben Sie mir, meine Freunde, die Menge der Elemente eines Festkörpers kann völlig willkürlich sein. Es kann die Menge aller geraden Zahlen sein, die Menge aller Socken, für die Sie keinen Partner haben, oder sogar Ihre Sammlung von ausgestopften Elefanten. Die einzige Bedingung ist vielleicht, dass die Menge T nicht leer sein darf. Denn das wäre nicht sehr lustig.

Binäre Operationen

Wenn Ihnen nicht sofort klar ist, was eine Binäroperation eigentlich ist, können Sie sie sich wie eine kleine Mühle vorstellen. Du gibst zwei (daher das Binäre im Namen) Elemente einer Menge hinein, drehst ein wenig an der Kurbel, und sie lässt ein anderes Element aus deiner Menge herausfallen. Eine schöne binäre Operation wie diese ist die Division. Sie fragen sich, wie viel 10 / 5 ist? Nehmen Sie die binäre Operation der Division (Mühle), wobei Ihre Menge die Menge der reellen Zahlen sein soll. Legen Sie zuerst eine Zehn und dann eine Fünf in die Mühle, drehen Sie die Kurbel und, oh Wunder, eine Zwei fällt heraus.

Wir nennen unsere beiden Operationen Addition und Multiplikation und bezeichnen sie als $\oplus$ und $\otimes$. Lassen Sie sich von den Namen nicht täuschen. Diese Operationen haben vielleicht nicht viel mit den Additions- und Multiplikationsoperationen gemeinsam, die wir normalerweise verwenden. Das liegt genau daran, dass die Elemente eines Festkörpers beliebige Objekte sein können. Und "unsere" Addition und Multiplikation können nicht auf ausgestopfte Elefanten oder Socken angewendet werden.

Operationen an einem Festkörper

Die Operationen $\oplus$ und $\otimes$ müssen bestimmte Bedingungen erfüllen. Wir können sie nicht willkürlich einführen. Tatsächlich geht es bei der Einführung dieser Operationen darum, die gewöhnliche Addition und Multiplikation zu verallgemeinern, die wir bei Zahlen verwenden. Wir wollen diese Operationen so einführen können, dass wir sie auf Elemente eines Festkörpers anwenden können, die, wie wir bereits wissen, völlig beliebige Objekte sein können, nicht nur Zahlen. Wir wollen jedoch, dass die Operationen $\oplus$ und $\otimes$ einen gewissen grundlegenden Sinn von Addition und Multiplikation beibehalten. Wir stellen dies sicher, indem wir zehn Bedingungen einführen, die diese Operationen erfüllen müssen, damit unsere Struktur ein Festkörper ist. Wir nennen diese Bedingungen die Axiome eines Solids. Hier sind sie:

  1. Kommutativität der Addition - Für zwei beliebige Elemente a, b des Festkörpers T muss $a \oplus b = b \oplus a$ gelten.
  • Assoziativität der Addition - Für drei beliebige Elemente a, b, c des Festkörpers T muss $(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$ gelten.
  • Existenz eines Nullelements - Es muss ein Element aus dem Festkörper T mit der Bezeichnung 0 (nicht zu verwechseln mit der Zahl 0) geben, das die Eigenschaft hat, dass für jedes beliebige Element a aus dem Festkörper T $a \oplus 0 = a$ gilt.
  • Existenz des entgegengesetzten Elements - Es muss ein Element aus dem Körper T existieren, bezeichnen wir es mit -a, das die Eigenschaft haben muss, dass für jedes Element a aus dem Körper T, $a \oplus -a = 0$ gilt.
  • Kommutativität der Multiplikation - Für zwei beliebige Elemente a, b aus dem Körper T , $a \otimes b = b \otimes a$ muss gelten.
  • Assoziativität der Multiplikation - Für beliebige drei Elemente a, b, c aus dem Körper T muss $(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$ gelten.
  • Existenz eines Einheitselements - Es muss ein Element aus dem Festkörper T mit der Bezeichnung 1 (nicht zu verwechseln mit der Zahl 1) existieren, das die Eigenschaft hat, dass für ein beliebiges Element a aus dem Festkörper T $a \otimes 1 = a$ gilt.
  • Existenz eines inversen Elements - Es muss ein Element aus dem Körper T existieren, bezeichnen wir es mit a-1 , das die Eigenschaft haben muss, dass für jedes Element a ungleich 0 aus dem Körper T, $a \otimes a^{-1} = 1$ gilt.
  • Distributivität - Für drei beliebige Elemente a, b, c aus dem Körper T muss $a \otimes ( b \oplus c ) = ( a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$ gelten.
  • Nontrivialität - Die Elemente Null und Einheit dürfen nicht ein und dasselbe sein. Also $0 \neq 1$

Für diejenigen, die sich im mathematischen Formalismus üben möchten, habe ich hier die Axiome des Körpers so aufgeschrieben, wie sie im mathematischen Sprachgebrauch stehen.

  1. $ \forall a,b \in T \quad a \oplus b = b \oplus a$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$
  • $ \exists 0 \in T : \forall a \in T \quad a \oplus 0 = a$
  • $ \forall a \in T : \exists -a \in T \quad a \oplus -a = 0$
  • $ \forall a,b \in T \quad a \otimes b = b \otimes a$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad (a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$
  • $ \exists 1 \in T : \forall a \in T \quad a \otimes 1 = a$
  • $ \forall a \in T : \exists a^{-1} \in T, a \neq 0 \quad a \otimes a^{-1} = 1$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad a \otimes ( b \oplus c ) = ( a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$
  • $0 \neq 1$

Sie werden jetzt vielleicht denken, dass das eine ganze Menge Axiome sind. Aber sie sind alle leicht zu verstehen, wenn wir uns klar machen, was sie bedeuten. Die ersten vier beschreiben die üblichen Eigenschaften der Addition, und die nächsten vier beschreiben die üblichen Eigenschaften der Multiplikation, die den ersten vier ebenfalls sehr ähnlich sind. Das neunte Axiom beschreibt, wie Addition und Multiplikation zusammenhängen. Nur das zehnte Axiom ist ein eher technisches Axiom, das sicherstellt, dass der Körper keine seltsamen Eigenschaften haben kann.

Beachten Sie, wie gut wir die Einführung von Subtraktion und Division vermieden haben. Diese Operationen werden durch die Addition des inversen Elements und die Multiplikation mit dem inversen Element eingeführt. So ist z. B. 4 − 2 nur eine Abkürzung für 4 + (−2) und 4 / 2 nur eine Abkürzung für 4 · 2−1.

Parade der Festkörper

Wir haben nun den Begriff des algebraischen Körpers formal eingeführt. Wenn wir intuitiv ausdrücken wollen, was ein Festkörper ist, können wir sagen, dass es sich um eine Art Struktur handelt, die es uns ermöglicht, beliebige Objekte zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren, auf denen wir diese Operationen definieren können, und zwar in ähnlicher Weise, wie wir diese Operationen in der elementaren Arithmetik durchführen.

Unser erster Festkörper

Nachdem wir nun so schön über Festkörper nachgedacht und sie beschrieben haben, wollen wir nun einige reale Festkörper konstruieren. Zunächst wählen wir eine Reihe von Elementen für den Festkörper aus. Für den Moment experimentieren wir nicht zu sehr mit ausgestopften Elefanten oder Socken, sondern wählen natürliche Zahlen als Elemente des Festkörpers. Der Einfachheit halber nehmen wir einfach die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4. Unsere Menge T sieht also wie folgt aus:

$$T = \left\{0, 1, 2, 3, 4\right\}$$

Jetzt müssen wir nur noch irgendwie geschickt die Operationen $\oplus$ und $\otimes$ definieren. Hier verwenden wir die Additions- und Multiplikationsoperationen, die wir bereits aus der Arithmetik kennen. Aber wir werden sie ein wenig abändern, damit sie in unserem Solid funktionieren.

  • Die Operationen $\oplus$Die Addition von zwei Elementen $a \oplus b$ erfolgt durch die Berechnung des Rests nach der Division von fünf durch die Summe von a + b. Die Additionsoperationen in unserem Solid sehen wie folgt aus:$ 1 \oplus 1 = 2 \qquad 1 \oplus 3 = 4 \qquad 2 \oplus 3 = 0 \qquad 4 \oplus 2 = 1$ usw.
  • Die Operation $\otimes$Das Produkt zweier Elemente $a \otimes b$ wird durchgeführt, indem der Rest nach der Division von fünf durch das Produkt ab berechnet wird. Die Multiplikationen in unserem Solid sehen also so aus: $ 1 \otimes 1 = 1 \qquad 2 \otimes 2 = 4 \qquad 2 \otimes 3 = 1 \qquad 4 \otimes 2 = 3 \qquad$ usw.

Und das war's. Wir haben nun einen vollwertigen Festkörper erstellt. Wir müssten noch die Gültigkeit aller Axiome überprüfen, um sicher zu sein, dass wir einen echten Festkörper und nicht irgendeinen Schwachsinn gemacht haben.

  • Die Kommutativität und Assoziativität von Addition und Multiplikation können Sie sicherlich selbst überprüfen, ebenso wie die Distributivität.
  • Aus der Art und Weise, wie wir Addition und Multiplikation definiert haben, ergibt sich auch, dass es ein Nullelement (in unserem Fall ist es zufällig die Zahl 0) und ein Einheitselement (in unserem Fall 1) gibt, die sich voneinander unterscheiden.
  • Jetzt müssen wir nur noch die Existenz der entgegengesetzten und inversen Elemente überprüfen. Sicherlich können wir alle sehen, dass es zu jeder Zahl in der Menge {0, 1, 2, 3, 4} eine Zahl in derselben Menge gibt, so dass das Ergebnis ihrer Summe fünf ist (d.h. 0 in unserem Körper).
  • In ähnlicher Weise gilt dies für die Multiplikation, und das Ergebnis ist 6 (1 in unserem Körper), mit Ausnahme der Zahl 4, die ein inverses Element 4 hat, weil 4 · 4 = 16 und nach der Division durch 5 ein Rest von 1 übrig bleibt. Versuchen Sie, die anderen inversen Elemente zu finden!

Beispiele für andere Festkörper

Vor einiger Zeit haben wir einen Festkörper mit fünf Elementen hergestellt. Es hat sich herausgestellt, dass auch andere Festkörper auf die gleiche Weise hergestellt werden können, bei denen die Anzahl der Elemente eine Primzahl ist. Solche Festkörper werden als Festkörper der Restklassen bezeichnet und mit Zp bezeichnet, wobei p die Anzahl der Elemente des Festkörpers ist, und sie werden häufig in der Mathematik oder Informatik und natürlich in verschiedenen Schreibbeispielen verwendet.

Können Festkörper mit einer anderen als einer Primzahl von Elementen hergestellt werden? Ja, aber nicht so, wie ich es soeben gezeigt habe. Warum? Stellen Sie sich einen Festkörper vor, der nach dem oben beschriebenen Verfahren hergestellt wurde und nur vier Elemente hat. In einem solchen Festkörper, $2 \otimes 2 = 0$. Das Produkt von zwei Zahlen, die nicht Null sind, ist also Null. Das kann in einem Festkörper nicht passieren. Es ist zwar nicht direkt in den Axiomen des Festkörpers verboten, aber es lässt sich recht einfach aus ihnen ableiten. Es stellt sich jedoch heraus, dass man Festkörper erzeugen kann, deren Anzahl der Elemente eine Potenz der Primzahl ist, wenn man Polynome anstelle von Zahlen als Elemente des Festkörpers verwendet. So gibt es einen viergliedrigen Festkörper, weil vier eine Potenz von zwei ist.

Natürlich sind auch Körper mit einer unendlichen Anzahl von Elementen möglich. So bilden beispielsweise die Menge der reellen Zahlen und unsere üblichen Operationen der Addition und Multiplikation ebenfalls einen Festkörper. Das gilt natürlich nicht nur für reelle Zahlen, sondern auch für natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen und komplexe Zahlen.

Und das Beste kommt zum Schluss. Natürlich schreibt niemand vor, dass Festkörper aus Zahlen, Polynomen oder überhaupt aus mathematischen Objekten bestehen müssen. Wie ich schon sagte, kann man den Körper auch aus Socken, ausgestopften Elefanten usw. herstellen. Das einzige Problem wäre wohl, wie man Addition und Multiplikation bei Elefanten definiert. Das Interessante dabei ist, dass man niemals einen Körper aus sechs Socken bilden kann. Denn sechs ist weder eine Primzahl noch eine Potenz einer Primzahl. Aber man kann leicht einen Körper mit siebzehn Socken erstellen, jeden einzelnen nummerieren (eine weiße Socke wäre 0, eine schwarze wäre 1, eine grüne wäre 2 usw.) und sie dann auf dieselbe Weise addieren, wie wir es beim Körper der Restklassen getan haben.

Und wofür ist das alles gut?

Wenn Sie bis hierher gelesen haben, fragen Sie sich vielleicht, wozu in aller Welt wir so eine verrückte Struktur wie einen algebraischen Körper brauchen? Nun, Körper sind sehr wichtig, sowohl aus theoretischer Sicht, da sie das beschreiben und, was noch wichtiger ist, verallgemeinern, was man als Zählen, d. h. als Arithmetik, bezeichnen könnte, als auch aus praktischer Sicht, da viele mathematische oder computerwissenschaftliche Probleme leichter zu lösen sind, wenn wir sie als Zählen in Körpern betrachten. Endliche Körper sind zum Beispiel für Codes auf CDs oder DVDs von großer Bedeutung. Was die lineare Algebra selbst betrifft, so bilden die Körper den Grundstein für andere, komplexere und damit weitaus nützlichere und interessantere Strukturen, wie z. B. die Vektorräume. Diese bilden eine Art Fundament für die gesamte Lineare Algebra.

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Der Autor dieses Artikels ist Lishaak.