Distributivität

Distributivität ist eine Eigenschaft von zwei binären Operationen, wie z. B. Addition und Multiplikation. Im Falle der Multiplikation und der Addition sagt uns die Distributivität, dass wir "die Klammern multiplizieren" können. Wenn wir zum Beispiel einen Ausdruck haben

$$2\cdot(3+4)$$

dann wissen wir, dass wir die Klammern multiplizieren können, um einen anderen Ausdruck zu erhalten

$$2\cdot(3+4) = 2\cdot3+2\cdot4$$

Beide Ausdrücke führen zum gleichen Ergebnis, nämlich zur Zahl 14. Wir können diese Multiplikation durchführen, weil die Multiplikationsoperation auf der Menge der reellen Zahlen im Vergleich zur Additionsoperation distributiv ist. Wenn wir also zwei Operationen · und + haben, dann sagen wir allgemein, dass die Operation · auf der Menge M in Bezug auf die Operation + distributiv ist, wenn

$$\begin{eqnarray} a\cdot(b+c) &=& (a\cdot b) + (a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a &=& (b\cdot a) + (c\cdot a) \end{eqnarray}$$

für alle a, b, c ∈ M. Ein weiteres Beispiel für distributive Operationen sind Operationen aus der Aussagenlogik, die Konjunktion ∧ und die Disjunktion ∨. Angenommen, wir haben die Sätze A, B und C. Wenn wir sagen "A und gleichzeitig (B oder C)", schreiben wir dies als

$$A \wedge (B \vee C)$$

Und da die Operation der Konjunktion in Bezug auf die Operation der Disjunktion distributiv ist, ist die gleichzeitige

$$(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$$

Also in Worten: "(A und gleichzeitig B) oder (A und gleichzeitig C)". Um ein Beispiel für Operationen zu haben, die nicht distributiv sind, nehmen wir die Addition und die Subtraktion:

$$10-(5+3)$$

Das richtige Ergebnis ist offensichtlich 2, denn nach dem Hinzufügen der Klammern erhalten wir 10 − 8, was 2 ist. Wenn wir die Distributivitätsregel auf diese Berechnung anwenden würden, bekämen wir den Ausdruck:

$$(10-5)+(10-3)$$

Nach der Addition der Klammern hätten wir 5 + 7, was 12 ist. Wir sehen, dass wir das falsche Ergebnis erhalten haben, also sind die Additions- und Subtraktionsoperationen nicht distributiv.

Andere Beispiele: Einige Matrixoperationen erfüllen das Distributivgesetz. Das gilt auch für Vektoren im Vektorraum. Operationen auf einem Körper müssen distributiv sein.