Assoziativität

Assoziativität ist eine Eigenschaft von Operationen wie der Addition oder Multiplikation. Schauen Sie sich die beiden folgenden Additionsausdrücke einmal bewusst an:

$$(1 + 2) + 3\qquad \qquad 1 + (2 + 3)$$

Die Ausdrücke unterscheiden sich nur darin, wo die Klammer steht. Aber sind die Ergebnisse unterschiedlich? Beide Ausdrücke führen zum gleichen Ergebnis, die Summe ist immer gleich 6. Wenn die Platzierung der Klammern keinen Einfluss auf das Ergebnis hat, sagen wir, dass die Operation assoziativ ist. Genauer gesagt, können wir schreiben, dass die Operation $a \circ b$ assoziativ ist, wenn

$$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$$

Eine weitere Operation, die assoziativ ist, ist die Multiplikation, denn

$$(2\cdot3)\cdot4 = 2\cdot(3\cdot4)=24$$

Operationen, die nicht assoziativ sind

Die Subtraktion ist nicht assoziativ. Als Beispiel können wir den Ausdruck (10 − 4) − 3 nehmen. Zuerst berechnen wir die Differenz in der Klammer und erhalten 6 − 3, was gleich 3 ist. Wenn wir jedoch versuchen, 10 − (4 − 3) zu berechnen, berechnen wir wiederum zuerst den Inhalt der Klammer und erhalten 10 − 1, was 9 ist. Die Subtraktionsoperation ist also nicht assoziativ.

Auch die Divisionsoperation ist nicht assoziativ. Nehmen wir als Beispiel den Ausdruck (64 / 4) / 2. Wir berechnen zunächst die Klammer und erhalten 16/2, was 8 ist. Setzen wir die Klammer jedoch an eine andere Stelle, so erhalten wir 64 / (4 / 2), und nach der Berechnung der Klammer erhalten wir 64 / 2, was 32 ist. Die Divisionsoperation ist also nicht assoziativ.

Eine weitere typische Operation, die nicht assoziativ ist, ist die Potenzoperation:

$$\left(2^3\right)^4 \ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Die Assoziativität bezieht sich auf eine einzige Operation!

Beachten Sie, dass sich die Assoziativität immer auf eine einzige Operation bezieht. Wenn wir einen Ausdruck mit drei Zahlen haben, aber nicht die gleiche Operation, können wir die Assoziativitätsregel nicht anwenden. Ein Beispiel:

$$(1+2)\cdot3$$

Ein Ausdruck enthält zwei Operationen - Addition und Multiplikation. Beide Operationen sind selbst assoziativ, aber wir können die Assoziationsregel an dieser Stelle trotzdem nicht anwenden, wir können sie nicht in

$$1+(2\cdot3)$$

ändern, weil der Ausdruck zwei verschiedene Operationen enthält. Um die Assoziationsregel anwenden zu können, müssten beide Operationen Addition oder beide Operationen Multiplikation sein.

Schnittmenge und Vereinigung

DieSchnittmenge von Mengen ist assoziativ. Ein Beispiel:

$$(\left\{1{,}2,3\right\} \cap \left\{1{,}3,5\right\}) \cap \left\{1{,}5,7\right\}$$

Wir würden zunächst die Schnittmenge der Mengen in den Klammern berechnen, um

$$\left\{1{,}3\right\} \cap \left\{1{,}5,7\right\}$$

Und die Schnittmenge dieser Mengen ist gleich {1}. Wenn wir die Klammern vertauschen, erhalten wir

$$\left\{1{,}2,3\right\} \cap (\left\{1{,}3,5\right\} \cap \left\{1{,}5,7\right\})$$

und nach Anpassung der Klammern:

$$\left\{1{,}2,3\right\} \cap \left\{1{,}5\right\}$$

A würden wir wieder {1} erhalten. Wir sehen, dass die Platzierung der Klammern keine Rolle spielt und die Schnittmenge der Mengen daher assoziativ ist. In ähnlicher Weise wäre auch die Vereinigung von Mengen assoziativ.

Wortkomposition / Verkettung

Stellen Sie sich vor, es gäbe eine Konkatenationsoperation für Wortteile, die einfach eine Verkettung von Wörtern bedeuten würde. So wäre "count" + "tach" gleich "computer". Eine solche Operation wäre assoziativ. Wenn wir zum Beispiel ("glow" + "ov") + "ka" schreiben, würden wir zuerst die Klammern hinzufügen, um "glow" + "ka" zu erhalten, was uns das Wort "bulb" geben würde. Wenn wir die Klammern "glow" + ("ov" + "ka") vertauschen würden, bekämen wir nach Hinzufügen der Klammern "glow" + "ovka", was wiederum das Wort "bulb" ergeben würde.

Das Maximum oder Minimum ist assoziativ

Betrachten wir die Operation $a \lor b$, die die größere der beiden Zahlen zurückgibt. Eine solche Operation wäre assoziativ. Für das Beispiel würden wir $(5 \lor 10) \lor 7$ in $10 \lor 7$ ändern, und das wäre gleich 10. Zehn ist die größte der drei Zahlen. Wenn wir die Klammern umstellen, erhalten wir $5 \lor (10 \lor 7)$, was nach der Änderung $5 \lor 10$ ist, was wiederum 10 ist.

Das Minimum würde sich genau gleich verhalten.